Стационарное пространство-время

Пространство-время, допускающее вектор Киллинга, который асимптотически времениподобен

В общей теории относительности , в частности в уравнениях поля Эйнштейна , пространство-время называется стационарным, если оно допускает вектор Киллинга , который асимптотически времениподобен . ^[1]

Описание и анализ

В стационарном пространстве-времени компоненты метрического тензора, , могут быть выбраны так, чтобы они все были независимы от координаты времени. Линейный элемент стационарного пространства-времени имеет вид ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle (i,j=1,2,3)}$

${\displaystyle ds^{2}=\lambda (dt-\omega _{i}\,dy^{i})^{2}-\lambda ^{-1}h_{ij}\,dy^{i}\,dy^{j},}$

где — временная координата, — три пространственные координаты, а — метрический тензор 3-мерного пространства. В этой системе координат векторное поле Киллинга имеет компоненты . — положительный скаляр, представляющий норму вектора Киллинга, т. е. , и — 3-вектор, называемый вектором закручивания, который обращается в нуль, когда вектор Киллинга ортогонален гиперповерхности. Последний возникает как пространственные компоненты 4-вектора закручивания (см., например, ^[2] с. 163), который ортогонален вектору Киллинга , т. е. удовлетворяет . Вектор закручивания измеряет степень, в которой вектор Киллинга не ортогонален семейству 3-поверхностей. Ненулевой закручивание указывает на наличие вращения в геометрии пространства-времени. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y^{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }=(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =g_{\mu \nu }\xi ^{\mu }\xi ^{\nu }}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }=e_{\mu \nu \rho \sigma }\xi ^{\nu }\nabla ^{\rho }\xi ^{\sigma }}$ ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }\xi ^{\mu }=0}$

Координатное представление, описанное выше, имеет интересную геометрическую интерпретацию. ^[3] Вектор временного переноса Киллинга генерирует однопараметрическую группу движения в пространстве-времени . Определив точки пространства-времени, которые лежат на определенной траектории (также называемой орбитой), можно получить трехмерное пространство (многообразие траекторий Киллинга) , фактор-пространство. Каждая точка представляет траекторию в пространстве-времени . Эта идентификация, называемая канонической проекцией, является отображением, которое отправляет каждую траекторию в точку в и индуцирует метрику на посредством обратного отката. Величины , и являются полями на и, следовательно, не зависят от времени. Таким образом, геометрия стационарного пространства-времени не меняется со временем. В особом случае пространство-время называется статическим . По определению, каждое статическое пространство-время является стационарным, но обратное, как правило, неверно, поскольку метрика Керра дает контрпример. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V=M/G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi :M\rightarrow V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h=-\lambda \pi *g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle h_{ij}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \omega _{i}=0}$

Использовать в качестве отправной точки для уравнений вакуумного поля

В стационарном пространстве-времени, удовлетворяющем вакуумным уравнениям Эйнштейна вне источников, 4-вектор поворота не имеет вихрей, ${\displaystyle R_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \omega _{\mu }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\omega _{\nu }-\nabla _{\nu }\omega _{\mu }=0,\,}$

и, следовательно, локально является градиентом скаляра (называемого скаляром твиста): ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega _{\mu }=\nabla _{\mu }\omega .\,}$

Вместо скаляров и удобнее использовать два потенциала Хансена, потенциалы массы и момента импульса, и , определяемые как ^[4] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

${\displaystyle \Phi _{M}={\frac {1}{4}}\lambda ^{-1}(\lambda ^{2}+\omega ^{2}-1),}$

${\displaystyle \Phi _{J}={\frac {1}{2}}\lambda ^{-1}\omega .}$

В общей теории относительности потенциал массы играет роль ньютоновского гравитационного потенциала. Нетривиальный потенциал углового момента возникает для вращающихся источников из-за вращательной кинетической энергии, которая из-за эквивалентности массы и энергии может также выступать в качестве источника гравитационного поля. Ситуация аналогична статическому электромагнитному полю, где есть два набора потенциалов, электрический и магнитный. В общей теории относительности вращающиеся источники создают гравитомагнитное поле , не имеющее ньютоновского аналога. ${\displaystyle \Phi _{M}}$ ${\displaystyle \Phi _{J}}$

Стационарная вакуумная метрика, таким образом, выражается через потенциалы Хансена ( , ) и 3-метрику . В терминах этих величин уравнения вакуумного поля Эйнштейна можно представить в виде ^[4] ${\displaystyle \Phi _{A}}$ ${\displaystyle A=M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle h_{ij}}$

${\displaystyle (h^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}-2R^{(3)})\Phi _{A}=0,\,}$

${\displaystyle R_{ij}^{(3)}=2[\nabla _{i}\Phi _{A}\nabla _{j}\Phi _{A}-(1+4\Phi ^{2})^{-1}\nabla _{i}\Phi ^{2}\nabla _{j}\Phi ^{2}],}$

где , а — тензор Риччи пространственной метрики и соответствующий скаляр Риччи. Эти уравнения образуют отправную точку для исследования точных стационарных вакуумных метрик. ${\displaystyle \Phi ^{2}=\Phi _{A}\Phi _{A}=(\Phi _{M}^{2}+\Phi _{J}^{2})}$ ${\displaystyle R_{ij}^{(3)}}$ ${\displaystyle R^{(3)}=h^{ij}R_{ij}^{(3)}}$

Смотрите также

• Статическое пространство-время
• Сферически симметричное пространство-время

Ссылки

1. Людвигсен, М., Общая теория относительности: геометрический подход, Cambridge University Press, 1999 ISBN  052163976X
2. Wald, RM, (1984). Общая теория относительности, (U. Chicago Press)
3. Герох, Р., (1971). Дж. Математика. Физ. 12, 918
4. Hansen, RO (1974). J. Math. Phys. 15, 46.