Симметрия временного трансляционного преобразования

Математическое преобразование в физике

Симметрия временного переноса или симметрия временного переноса ( TTS ) — это математическое преобразование в физике , которое перемещает время событий через общий интервал. Симметрия временного переноса — это закон, согласно которому законы физики остаются неизменными (т. е. инвариантными) при таком преобразовании. Симметрия временного переноса — это строгий способ сформулировать идею о том, что законы физики остаются неизменными на протяжении всей истории. Симметрия временного переноса тесно связана, через теорему Нётер , с сохранением энергии . ^[1] В математике множество всех временных переносов в данной системе образует группу Ли .

В природе существует множество симметрий помимо временной трансляции, например, пространственная трансляция или вращательная симметрия . Эти симметрии могут быть нарушены и объясняют различные явления, такие как кристаллы , сверхпроводимость и механизм Хиггса . ^[2] Однако до недавнего времени считалось, что симметрия временной трансляции не может быть нарушена. ^[3] Кристаллы времени , состояние материи, впервые обнаруженное в 2017 году, нарушают симметрию временной трансляции. ^[4]

Обзор

Симметрии имеют первостепенное значение в физике и тесно связаны с гипотезой о том, что некоторые физические величины являются только относительными и ненаблюдаемыми . ^[5] Симметрии применяются к уравнениям, которые управляют физическими законами (например, к гамильтониану или лагранжиану ), а не к начальным условиям, значениям или величинам самих уравнений, и утверждают, что законы остаются неизменными при преобразовании. ^[1] Если симметрия сохраняется при преобразовании, то говорят, что она инвариантна . Симметрии в природе напрямую приводят к законам сохранения, что точно сформулировано теоремой Нётер . ^[6]

Ньютоновская механика

Для формального описания симметрии временного сдвига мы говорим об уравнениях или законах, которые описывают систему в моменты времени и являются одинаковыми для любых значений и . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+\tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau }$

Например, рассмотрим уравнение Ньютона:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {dV}{dx}}(x)}$

Для ее решения можно найти комбинацию: ${\displaystyle x=x(t)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {x}}(t)^{2}+V(x(t))}$

не зависит от переменной . Конечно, эта величина описывает полную энергию, сохранение которой обусловлено инвариантностью уравнения движения относительно временных трансляций. Изучая состав преобразований симметрии, например, геометрических объектов, можно прийти к выводу, что они образуют группу и, более конкретно, группу преобразований Ли, если рассматривать непрерывные, конечные преобразования симметрии. Различные симметрии образуют различные группы с различными геометриями. Независимые от времени гамильтоновы системы образуют группу временных трансляций, которая описывается некомпактной, абелевой , группой Ли . Таким образом, TTS является динамической или зависящей от гамильтона симметрией, а не кинематической симметрией, которая была бы одинаковой для всего набора рассматриваемых гамильтонианов. Другие примеры можно увидеть при изучении уравнений эволюции во времени классической и квантовой физики. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Многие дифференциальные уравнения, описывающие уравнения эволюции во времени, являются выражениями инвариантов, связанных с некоторой группой Ли , и теория этих групп обеспечивает объединяющую точку зрения для изучения всех специальных функций и всех их свойств. Фактически, Софус Ли изобрел теорию групп Ли, изучая симметрии дифференциальных уравнений. Интеграция (частного) дифференциального уравнения методом разделения переменных или алгебраическими методами Ли тесно связана с существованием симметрий. Например, точную разрешимость уравнения Шредингера в квантовой механике можно проследить до лежащих в его основе инвариантностей. В последнем случае исследование симметрий позволяет интерпретировать вырождения , когда различные конфигурации имеют одинаковую энергию, что обычно происходит в энергетическом спектре квантовых систем. Непрерывные симметрии в физике часто формулируются в терминах бесконечно малых, а не конечных преобразований, т. е. рассматривается алгебра Ли , а не группа преобразований Ли.

Квантовая механика

Инвариантность гамильтониана изолированной системы относительно временного сдвига подразумевает, что ее энергия не меняется с течением времени. Сохранение энергии подразумевает, согласно уравнениям движения Гейзенберга, что . ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {H}}]=0}$

${\displaystyle [e^{i{\hat {H}}t/\hbar },{\hat {H}}]=0}$

или:

${\displaystyle [{\hat {T}}(t),{\hat {H}}]=0}$

Где — оператор переноса во времени, который подразумевает инвариантность гамильтониана относительно операции переноса во времени и приводит к сохранению энергии. ${\displaystyle {\hat {T}}(t)=e^{i{\hat {H}}t/\hbar }}$

Нелинейные системы

Во многих нелинейных теориях поля, таких как общая теория относительности или теории Янга-Миллса , основные уравнения поля являются сильно нелинейными, и точные решения известны только для «достаточно симметричных» распределений материи (например, вращательно или аксиально симметричных конфигураций). Симметрия временного трансляции гарантируется только в пространстве-времени , где метрика статична: то есть, где есть система координат, в которой коэффициенты метрики не содержат временной переменной. Многие системы общей теории относительности не являются статичными ни в одной системе отсчета, поэтому нельзя определить сохраняющуюся энергию.

Нарушение симметрии временного транслятора (TTSB)

Кристаллы времени , состояние материи, впервые обнаруженное в 2017 году, нарушают дискретную симметрию временного преобразования. ^[4]

Смотрите также

• Абсолютное время и пространство
• принцип Маха
• Пространство-время
• Симметрия обращения времени

Ссылки

1. Wilczek, Frank (16 июля 2015 г.). "3". Красивый вопрос: поиск глубинного замысла природы. Penguin Books Limited. ISBN 978-1-84614-702-9.
2. Richerme, Phil (18 января 2017 г.). «Точка зрения: как создать кристалл времени». Physics . 10 . APS Physics: 5. Bibcode :2017PhyOJ..10....5R. doi : 10.1103/Physics.10.5 . Архивировано из оригинала 2 февраля 2017 г.
3. Else, Dominic V.; Bauer, Bela; Nayak, Chetan (2016). "Floquet Time Crystals". Physical Review Letters . 117 (9): 090402. arXiv : 1603.08001 . Bibcode : 2016PhRvL.117i0402E. doi : 10.1103/PhysRevLett.117.090402. ISSN  0031-9007. PMID  27610834. S2CID  1652633.
4. Гибни, Элизабет (2017). «Попытка кристаллизовать время». Nature . 543 (7644): 164–166. Bibcode :2017Natur.543..164G. doi :10.1038/543164a. ISSN  0028-0836. PMID  28277535. S2CID  4460265.
5. Feng, Duan; Jin, Guojun (2005). Введение в физику конденсированных сред. Сингапур: World Scientific . стр. 18. ISBN 978-981-238-711-0.
6. Цао, Тянь Юй (25 марта 2004 г.). Концептуальные основы квантовой теории поля. Кембридж: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-60272-3.

Внешние ссылки

• Фейнмановские лекции по физике – Перевод времени