Совершенная сила

Положительное целое число, которое является целой степенью другого положительного целого числа.

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера совершенной природы мощности 4, 8 и 9

В математике совершенная степень — это натуральное число , которое является произведением равных натуральных множителей, или, другими словами, целое число , которое может быть выражено как квадрат или более высокая целая степень другого целого числа, большего единицы. Более формально, n является совершенной степенью, если существуют натуральные числа m > 1 и k > 1, такие что m ^k = n . В этом случае n можно назвать совершенной k -й степенью . Если k = 2 или k = 3, то n называется совершенным квадратом или совершенным кубом соответственно. Иногда 0 и 1 также считаются совершенными степенями (0 ^k = 0 для любого k > 0, 1 ^k = 1 для любого k ).

Примеры и суммы

Последовательность совершенных степеней может быть сгенерирована путем перебора возможных значений m и k . Первые несколько возрастающих совершенных степеней в числовом порядке (показывающие повторяющиеся степени) следующие (последовательность A072103 в OEIS ) :

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

Сумма обратных величин совершенных степеней (включая дубликаты, такие как 3 4 ^и 9 ² , оба из которых равны 81) равна 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

что можно доказать следующим образом:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

Первые совершенные степени без повторений:

(иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (последовательность A001597 в OEIS )

Сумма обратных величин совершенных степеней p без повторений равна: ^[1]

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }$

где μ( k ) — функция Мёбиуса , а ζ( k ) — дзета-функция Римана .

По словам Эйлера , Гольдбах показал (в ныне утерянном письме), что сумма ⁠1/п − 1⁠ по множеству совершенных степеней p , исключая 1 и исключая дубликаты, равно 1:

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

Это иногда называют теоремой Гольдбаха–Эйлера .

Обнаружение совершенных степеней

Определение того, является ли заданное натуральное число n совершенной степенью, может быть выполнено многими различными способами с разным уровнем сложности . Один из самых простых таких методов — рассмотреть все возможные значения k для каждого из делителей n , вплоть до . Таким образом, если делители равны , то одно из значений должно быть равно n, если n действительно является совершенной степенью. ${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$ ${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$

Этот метод можно сразу упростить, рассматривая только простые значения k . Это потому, что если для композита , где p является простым числом, то это можно просто переписать как . Из-за этого результата минимальное значение k обязательно должно быть простым. ${\displaystyle n=m^{k}}$ ${\displaystyle k=ap}$ ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$

Если известна полная факторизация n , скажем , где — различные простые числа, то n является совершенной степенью тогда и только тогда, когда где gcd обозначает наибольший общий делитель . В качестве примера рассмотрим n = 2 ⁹⁶ · 3 ⁶⁰ · 7 ²⁴ . Поскольку gcd(96, 60, 24) = 12, n является совершенной 12-й степенью (и совершенной 6-й степенью, 4-й степенью, кубом и квадратом, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12). ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$

Разрывы между совершенными степенями

В 2002 году румынский математик Преда Михайлеску доказал, что единственной парой последовательных совершенных степеней является 2 ³ = 8 и 3 ² = 9, тем самым доказав гипотезу Каталана .

Гипотеза Пиллаи утверждает, что для любого заданного положительного целого числа k существует лишь конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна k . Это нерешенная проблема. ^[2]

Смотрите также

• Основная мощность

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Совершенная сила». MathWorld .
2. Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Пиллаи». MathWorld .

• Daniel J. Bernstein (1998). "Обнаружение совершенных степеней за существенно линейное время" (PDF) . Mathematics of Computation . 67 (223): 1253–1283. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

Внешние ссылки

• Луис Бибилони, Пелегри Виадер и Хауме Парадис, О серии Гольдбаха и Эйлера, 2004 г. (PDF)