Мощность свертки

В математике мощность свертки — это n -кратная итерация свертки с самой собой. Таким образом, если — функция на евклидовом пространстве R ^d и — натуральное число , то мощность свертки определяется как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x^{*n}=\underbrace {x*x*x*\cdots *x*x} _{n},\quad x^{*0}=\delta _{0}}$

где ∗ обозначает операцию свертки функций на R ^d , а δ ₀ — дельта-распределение Дирака . Это определение имеет смысл, если x — интегрируемая функция (в L 1 ), быстро убывающее распределение (в частности, распределение с компактным носителем) или конечная борелевская мера .

Если x — функция распределения случайной величины на действительной прямой, то n ^-я степень свертки x дает функцию распределения суммы n независимых случайных величин с одинаковым распределением x . Центральная предельная теорема утверждает, что если x находится в L ¹ и L ² со средним значением нулевым и дисперсией σ ² , то

${\displaystyle P\left({\frac {x^{*n}}{\sigma {\sqrt {n}}}}<\beta \right)\to \Phi (\beta )\quad {\rm {{as}\ n\to \infty }}}$

где Φ — кумулятивное стандартное нормальное распределение на действительной прямой. Эквивалентно, слабо стремится к стандартному нормальному распределению. ${\displaystyle x^{*n}/\sigma {\sqrt {n}}}$

В некоторых случаях можно определить степени x ^{* t} для произвольного действительного t  > 0. Если μ является вероятностной мерой , то μ бесконечно делима при условии, что для каждого положительного целого числа n существует вероятностная мера μ _{1/ n} такая, что

${\displaystyle \mu _{1/n}^{*n}=\mu .}$

То есть, мера бесконечно делима, если возможно определить все n- е корни. Не каждая вероятностная мера бесконечно делима, и характеристика бесконечно делимых мер имеет центральное значение в абстрактной теории стохастических процессов . Интуитивно, мера должна быть бесконечно делимой, если она имеет хорошо определенный «логарифм свертки». Естественным кандидатом на меры, имеющие такой логарифм, являются меры (обобщенного) пуассоновского типа, заданные в виде

${\displaystyle \pi _{\alpha ,\mu }=e^{-\alpha }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!}}\mu ^{*n}.}$

Фактически, теорема Леви–Хинчина утверждает, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы мера была бесконечно делимой, является то, что она должна лежать в замыкании относительно нечеткой топологии класса мер Пуассона (Stroock 1993, §3.2).

Многие приложения сверточной мощности опираются на возможность определения аналога аналитических функций как формальных степенных рядов с заменой степеней на сверточную мощность. Таким образом, если является аналитической функцией, то хотелось бы иметь возможность определить ${\displaystyle \textstyle {F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}}$

${\displaystyle F^{*}(x)=a_{0}\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{*n}.}$

Если x  ∈  L ¹ ( R ^d ) или, в более общем случае, является конечной борелевской мерой на R ^d , то последний ряд сходится абсолютно по норме при условии, что норма x меньше радиуса сходимости исходного ряда, определяющего F ( z ). В частности, для таких мер возможно определить сверточную экспоненту

${\displaystyle \exp ^{*}(x)=\delta _{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{*n}}{n!}}.}$

В общем случае невозможно распространить это определение на произвольные распределения, хотя класс распределений, на которых этот ряд все еще сходится в соответствующем слабом смысле, был выделен Беном Чроудой, Эль Уэдом и Уэрдианом (2002).

Характеристики

Если x сам по себе достаточно дифференцируем, то из свойств свертки следует

${\displaystyle {\mathcal {D}}{\big \{}x^{*n}{\big \}}=({\mathcal {D}}x)*x^{*(n-1)}=x*{\mathcal {D}}{\big \{}x^{*(n-1)}{\big \}}}$

где обозначает оператор производной . В частности, это справедливо, если x — распределение с компактным носителем или лежит в пространстве Соболева W ^1,1, чтобы гарантировать, что производная достаточно регулярна для корректного определения свертки. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Приложения

В графе случайной конфигурации распределение размеров связанных компонентов можно выразить через мощность свертки избыточного распределения степеней (Kryven (2017)):

${\displaystyle w(n)={\begin{cases}{\frac {\mu _{1}}{n-1}}u_{1}^{*n}(n-2),&n>1,\\u(0)&n=1.\end{cases}}}$

Здесь — распределение размеров для связанных компонентов, — избыточное распределение степеней, а обозначает распределение степеней . ${\displaystyle w(n)}$ ${\displaystyle u_{1}(k)={\frac {k+1}{\mu _{1}}}u(k+1),}$ ${\displaystyle u(k)}$

Поскольку алгебры свертки являются частными случаями алгебр Хопфа , степень свертки является частным случаем (обычной) степени в алгебре Хопфа. В приложениях к квантовой теории поля экспонента свертки, логарифм свертки и другие аналитические функции, основанные на свертке, строятся как формальные степенные ряды по элементам алгебры (Brouder, Frabetti & Patras 2008). Если, кроме того, алгебра является банаховой алгеброй , то сходимость ряда может быть определена, как указано выше. В формальной обстановке знакомые тождества, такие как

${\displaystyle x=\log ^{*}(\exp ^{*}x)=\exp ^{*}(\log ^{*}x)}$

продолжают выполняться. Более того, в силу постоянства функциональных отношений они выполняются на уровне функций, при условии, что все выражения хорошо определены в открытом множестве сходящимися рядами.

Смотрите также

• Свертка
• Теорема о свертке
• преобразование Фурье
• ряд Тейлора

Ссылки

• Шварц, Лоран (1951), Теория распределения, Том II , Герман, Париж.
• Хорват, Джон (1966), Топологические векторные пространства и распределения , Addison-Wesley Publishing Company: Рединг, Массачусетс, США.
• Бен Чруда, Мохамед; Эль Уэд, Мохамед; Уэрдиан, Хабиб (2002), «Исчисление сверток и его применение к стохастическим дифференциальным уравнениям», Soochow Journal of Mathematics , 28 (4): 375–388, ISSN  0250-3255, MR  1953702.
• Броудер, Кристиан; Фрабетти, Алессандра; Патрас, Фредерик (2008). «Разложение на одночастичные неприводимые функции Грина в физике многих тел». arXiv : 0803.3747 [cond-mat.str-el]..
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Stroock, Daniel W. (1993), Теория вероятностей, аналитический взгляд , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43123-1, г-н  1267569.
• Кривен, И (2017), "Общее выражение для распределения размеров компонентов в сетях с бесконечной конфигурацией", Physical Review E , 95 (5): 052303, arXiv : 1703.05413 , Bibcode : 2017PhRvE..95e2303K, doi : 10.1103/physreve.95.052303, PMID  28618550, S2CID  8421307.