Слабая гипотеза Гольдбаха

Решена гипотеза о простых числах

В теории чисел слабая гипотеза Гольдбаха , также известная как нечетная гипотеза Гольдбаха , троичная проблема Гольдбаха или проблема трех простых чисел , гласит, что

Каждое нечетное число больше 5 можно выразить как сумму трех простых чисел . (Простое число может использоваться более одного раза в одной и той же сумме.)

Эта гипотеза называется «слабой», потому что если бы сильная гипотеза Гольдбаха (относительно суммы двух простых чисел) была доказана, то это тоже было бы верно. Ведь если каждое четное число больше 4 является суммой двух нечетных простых чисел, то прибавление 3 к каждому четному числу больше 4 даст нечетные числа больше 7 (а само 7 равно 2+2+3).

В 2013 году Харальд Хелфготт опубликовал доказательство слабой гипотезы Гольдбаха. ^[2] Доказательство было принято к публикации в серии «Анналы математических исследований» ^[3] в 2015 году и с тех пор подвергается дальнейшему рассмотрению и доработке; полностью рецензированные главы в близкой к окончательной форме публикуются в процессе. ^[4]

Некоторые выдвигают эту гипотезу как

Каждое нечетное число больше 7 можно выразить как сумму трех нечетных простых чисел. ^[5]

Эта версия исключает 7 = 2+2+3, поскольку для этого требуется четное простое число 2. Для нечетных чисел больше 7 она немного сильнее, поскольку также исключает такие суммы, как 17 = 2+2+13, которые разрешены в другой формулировке. Доказательство Хелфготта охватывает обе версии гипотезы. Как и другая формулировка, эта также непосредственно следует из сильной гипотезы Гольдбаха.

Происхождение

Гипотеза возникла в переписке между Кристианом Гольдбахом и Леонардом Эйлером . Одна формулировка сильной гипотезы Гольдбаха, эквивалентная более распространенной гипотезе в терминах сумм двух простых чисел, выглядит так:

Любое целое число больше 5 можно записать как сумму трёх простых чисел.

Слабая гипотеза заключается в том, что это утверждение ограничено случаем, когда целое число нечетно (и, возможно, с дополнительным требованием, чтобы три простых числа в сумме были нечетными).

Хронология результатов

В 1923 году Харди и Литтлвуд показали, что в предположении обобщенной гипотезы Римана слабая гипотеза Гольдбаха верна для всех достаточно больших нечетных чисел. В 1937 году Иван Матвеевич Виноградов устранил зависимость от обобщенной гипотезы Римана и непосредственно доказал (см. теорему Виноградова ), что все достаточно большие нечетные числа можно выразить в виде суммы трех простых чисел. Первоначальное доказательство Виноградова, поскольку оно использовало неэффективную теорему Зигеля-Вальфиса , не давало оценки «достаточно большого»; его ученик К. Бороздкин (1956) получил достаточно большую величину. ^[6] Целая часть этого числа имеет 4 008 660 десятичных цифр, поэтому проверка каждого числа ниже этой цифры была бы совершенно неосуществимой. ${\displaystyle e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}}$

В 1997 году Дешуйерс , Эффингер, те Риле и Зиновьев опубликовали результат, показывающий ^[7] , что из обобщенной гипотезы Римана следует слабая гипотеза Гольдбаха для всех чисел. Этот результат сочетает в себе общее утверждение, справедливое для чисел больше 10 ²⁰ , с обширным компьютерным поиском небольших случаев. Саутер также примерно в то же время провел компьютерный поиск по тем же делам. ^[8]

Оливье Рамаре в 1995 году показал, что каждое четное число n ≥ 4 на самом деле представляет собой сумму не более шести простых чисел, из чего следует, что каждое нечетное число n ≥ 5 является суммой не более семи простых чисел. Лешек Канецкий показал, что каждое нечетное целое число является суммой не более пяти простых чисел в соответствии с гипотезой Римана . ^[9] В 2012 году Теренс Тао доказал это без гипотезы Римана; это улучшает оба результата. ^[10]

В 2002 году Лю Мин-Чит ( Университет Гонконга ) и Ван Тянь-Цзе снизили порог Бороздкина примерно до . Показатель степени все еще слишком велик, чтобы можно было проверить с помощью компьютера все меньшие числа. (Компьютерные поиски достигли лишь 10 ¹⁸ для сильной гипотезы Гольдбаха и не намного больше, чем для слабой гипотезы Гольдбаха.) ${\displaystyle n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}}$

В 2012 и 2013 годах перуанский математик Харальд Хелфготт опубликовал пару статей, улучшивших оценки большой и малой дуг в достаточной степени, чтобы безоговорочно доказать слабую гипотезу Гольдбаха. ^{[11] [12] [2] [13] [14]} Здесь большие дуги представляют собой объединение интервалов вокруг рациональных чисел , где – константа. Второстепенные дуги определяются как . ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ${\displaystyle \left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)}$ ${\displaystyle a/q,q<r_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}}$

Рекомендации

1. Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIème Siècle (Группа 1), Санкт-Петербург, 1843, стр. 125–129.
2. Хелфготт, Харальд А. (2013). «Тройная гипотеза Гольдбаха верна». arXiv : 1312,7748 [math.NT].
3. «Анналы математических исследований». Издательство Принстонского университета . 14 декабря 1996 г. Проверено 5 февраля 2023 г.
4. "Харальд Андрес Хелфготт". webusers.imj-prg.fr . Проверено 06 апреля 2021 г.
5. Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Гольдбаха». Математический мир .
6. Хелфготт, Харальд Андрес (2015). «Тройная проблема Гольдбаха». arXiv : 1501.05438 [math.NT].
7. Дешуйе, Жан-Марк; Эффингер, Гоув В.; Те Риле, Герман Дж. Дж.; Зиновьев, Дмитрий (1997). «Полная теорема Виноградова о 3 простых числах согласно гипотезе Римана» (PDF) . Электронные объявления об исследованиях Американского математического общества . 3 (15): 99–104. дои : 10.1090/S1079-6762-97-00031-0 . МР  1469323.
8. Янник Заутер (1998). «Проверка нечетной гипотезы Гольдбаха до 1020» (PDF) . Математика. Комп. 67 (222): 863–866. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00928-4 . МР  1451327.
9. Канецкий, Лешек (1995). «О постоянной Шнирельмана согласно гипотезе Римана» (PDF) . Акта Арифметика . 72 (4): 361–374. дои : 10.4064/aa-72-4-361-374 . МР  1348203.
10. Тао, Теренс (2014). «Каждое нечетное число больше 1 представляет собой сумму не более пяти простых чисел». Математика. Комп. 83 (286): 997–1038. arXiv : 1201.6656 . дои : 10.1090/S0025-5718-2013-02733-0. МР  3143702. S2CID  2618958.
11. Хелфготт, Харальд А. (2012). «Второстепенные дуги проблемы Гольдбаха». arXiv : 1205,5252 [math.NT].
12. Хелфготт, Харальд А. (2013). «Основные дуги теоремы Гольдбаха». arXiv : 1305.2897 [math.NT].
13. Хелфготт, Харальд Андрес (2014). «Тройная проблема Гольдбаха» (PDF) . Ин Чан, Сунь Ён (ред.). Труды Сеульского международного конгресса математиков . Том. 2. Сеул, Южная Корея: Кён Мун SA. стр. 391–418. ISBN 978-89-6105-805-6. ОКЛК  913564239.{{cite book}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
14. Хелфготт, Харальд А. (2015). «Тройная проблема Гольдбаха». arXiv : 1501.05438 [math.NT].