Аттрактор

Концепция в динамических системах

Визуальное представление странного аттрактора. ^[1] Еще одна визуализация того же 3D-аттрактора — это видео . Код, способный это отобразить, доступен.

В математической области динамических систем аттрактор — это набор состояний, к которым система стремится развиваться ^[2] для широкого разнообразия начальных условий системы. Системные ценности, которые достаточно близки к значениям аттрактора, остаются близкими, даже если они слегка нарушены.

В конечномерных системах развивающаяся переменная может быть представлена ​​алгебраически как n -мерный вектор . Аттрактор — это область в n -мерном пространстве . В физических системах n измерений могут быть, например, двумя или тремя позиционными координатами для каждого из одного или нескольких физических объектов; в экономических системах они могут быть отдельными переменными, такими как уровень инфляции и уровень безработицы . ^{[ не проверено в теле ]}

Если развивающаяся переменная является двух- или трехмерной, аттрактор динамического процесса может быть представлен геометрически в двух или трех измерениях (как, например, в трехмерном случае, изображенном справа). Аттрактором может быть точка , конечное множество точек, кривая , многообразие или даже сложное множество с фрактальной структурой, известное как странный аттрактор (см. странный аттрактор ниже). Если переменная является скаляром , аттрактор является подмножеством прямой вещественной числа. Описание аттракторов хаотических динамических систем было одним из достижений теории хаоса .

Траектория динамической системы в аттракторе не должна удовлетворять каким-либо особым ограничениям, за исключением того, что она остается на аттракторе вперед во времени . Траектория может быть периодической или хаотичной . Если набор точек является периодическим или хаотичным, но поток в окрестности находится вдали от набора, набор не является аттрактором, а называется отталкивателем ( или репеллером ).

Мотивация аттракторов

Динамическая система обычно описывается одним или несколькими дифференциальными или разностными уравнениями . Уравнения данной динамической системы определяют ее поведение в течение любого заданного короткого периода времени. Чтобы определить поведение системы в течение более длительного периода, часто необходимо интегрировать уравнения либо аналитическими методами, либо путем итерации , часто с помощью компьютеров.

Динамические системы в физическом мире имеют тенденцию возникать из диссипативных систем : если бы не какая-то движущая сила, движение прекратилось бы. (Диссипация может быть вызвана внутренним трением , термодинамическими потерями или потерей материала, а также многими другими причинами.) Диссипация и движущая сила имеют тенденцию уравновешиваться, уничтожая начальные переходные процессы и возвращая систему к ее типичному поведению. Подмножеством фазового пространства динамической системы, соответствующим типичному поведению, является аттрактор, также известный как притягивающая часть или аттрактор.

Инвариантные множества и предельные множества аналогичны концепции аттрактора. Инвариантное множество — это множество, которое развивается само по себе под действием динамики. ^[3] Аттракторы могут содержать инвариантные множества. Предельное множество — это набор точек, в котором существует некоторое начальное состояние, которое оказывается сколь угодно близким к предельному множеству (т. е. к каждой точке множества) по мере стремления времени к бесконечности. Аттракторы представляют собой предельные множества, но не все предельные множества являются аттракторами: некоторые точки системы могут сходиться к предельному множеству, но разные точки, слегка отклоняющиеся от предельного множества, могут быть сбиты и никогда не вернуться в окрестность предельного множества. установленный лимит.

Например, затухающий маятник имеет две инвариантные точки: точку x ₀ минимальной высоты и точку x ₁ максимальной высоты. Точка x0 также является предельным множеством, поскольку к ней сходятся траектории _; точка x ₁ не является предельным множеством. Из-за диссипации из-за сопротивления воздуха точка _x0 также является аттрактором. Если бы не было диссипации, x0 не был _бы аттрактором. Аристотель считал, что объекты движутся только до тех пор, пока их толкают, что является ранней формулировкой диссипативного аттрактора.

Известно, что некоторые аттракторы хаотичны (см. Странный аттрактор), и в этом случае эволюция любых двух различных точек аттрактора приводит к экспоненциальному расхождению траекторий , что усложняет прогнозирование, когда в системе присутствует даже самый маленький шум. ^[4]

Математическое определение

Пусть представляет время и пусть это функция, которая определяет динамику системы. То есть, если - точка в -мерном фазовом пространстве, представляющая начальное состояние системы, то и при положительном значении - результат эволюции этого состояния через единицы времени. Например, если система описывает эволюцию свободной частицы в одном измерении, то фазовым пространством является плоскость с координатами , где – положение частицы, – ее скорость, и эволюция определяется выражением ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t,\cdot )}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(0,a)=a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(t,a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle a=(x,v)}$

^Цикл притяжения периода-3 и его непосредственный бассейн притяжения для определенной параметризации множества Жюлиа , которое повторяет функцию f ( z ) =  z2  +  c . Три самые темные точки — это точки 3-цикла, которые последовательно ведут друг к другу, и итерация от любой точки бассейна притяжения приводит к (обычно асимптотической) сходимости к этой последовательности из трех точек.

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

Аттрактор — это подмножество фазового пространства , характеризующееся следующими тремя условиями: ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle A}$является прямым инвариантом относительно : если является элементом, то то же самое и для всех . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(t,a)}$ ${\displaystyle t>0}$
• Существует окрестность , называемая бассейном притяжения для и обозначаемая , состоящая из всех точек , «входящих» в предел . Более формально, это набор всех точек фазового пространства со следующим свойством: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B(A)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle B(A)}$ ${\displaystyle b}$

Для любой открытой окрестности существует положительная константа такая, что для всех вещественных . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(t,b)\in N}$ ${\displaystyle t>T}$

• Не существует правильного (непустого) подмножества, обладающего первыми двумя свойствами. ${\displaystyle A}$

Поскольку бассейн притяжения содержит открытое множество, содержащее , каждая точка, достаточно близкая к, притягивается к . В определении аттрактора используется метрика фазового пространства, но результирующее понятие обычно зависит только от топологии фазового пространства. В случае обычно используется евклидова норма. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В литературе встречается множество других определений аттрактора. Например, некоторые авторы требуют, чтобы аттрактор имел положительную меру (чтобы точка не была аттрактором), другие ослабляют требование быть окрестностью. ^[5] ${\displaystyle B(A)}$

Виды аттракторов

Аттракторы — это части или подмножества фазового пространства динамической системы . До 1960-х годов аттракторы считались простыми геометрическими подмножествами фазового пространства, такими как точки , линии , поверхности и простые области трехмерного пространства . В то время были известны более сложные аттракторы, которые нельзя отнести к простым геометрическим подмножествам, например топологически дикие множества, но они считались хрупкими аномалиями. Стивен Смейл смог показать, что его карта-подкова была надежной и что ее аттрактор имел структуру множества Кантора .

Два простых аттрактора — это фиксированная точка и предельный цикл . Аттракторы могут принимать множество других геометрических форм (подмножеств фазового пространства). Но когда эти множества (или движения внутри них) не могут быть легко описаны как простые комбинации (например, пересечение и объединение ) фундаментальных геометрических объектов (например , линий , поверхностей , сфер , тороидов , многообразий ), тогда аттрактор называется странным аттрактором .

Фиксированная точка

Слабо притягивающая неподвижная точка для комплексного числа, развивающегося по комплексному квадратичному многочлену . Фазовое пространство представляет собой горизонтальную комплексную плоскость; вертикальная ось измеряет частоту посещения точек комплексной плоскости. Точка на комплексной плоскости непосредственно под пиковой частотой является аттрактором фиксированной точки.

Неподвижная точка функции или преобразования — это точка, которая отображается сама в себя функцией или преобразованием. Если мы рассматриваем эволюцию динамической системы как серию преобразований, то может существовать или не быть точка, которая остается фиксированной при каждом преобразовании. Конечное состояние, к которому развивается динамическая система, соответствует притягивающей фиксированной точке функции эволюции для этой системы, такой как центральное положение дна затухшего маятника , уровень и плоская линия плещущейся воды в стакане или дно. центр чаши с катящимся шариком. Но неподвижная точка(и) динамической системы не обязательно является аттрактором системы. Например, если чаша с катящимся шариком была перевернута, а шарик балансировал наверху чаши, то центральное дно (теперь верх) чаши находится в фиксированном состоянии, но не является аттрактором. Это эквивалентно разнице между устойчивым и неустойчивым равновесием . В случае шарика на вершине перевернутой чаши (холма) эта точка на вершине чаши (холма) является фиксированной точкой (равновесие), но не аттрактором (неустойчивое равновесие).

Кроме того, физические динамические системы , по крайней мере, с одной неподвижной точкой, неизменно имеют множество неподвижных точек и аттракторов из-за реальности динамики в физическом мире, включая нелинейную динамику прилипания , трения , шероховатости поверхности , деформации (как упругой , так и пластической ), и даже квантовая механика . ^[6] В случае с шариком на перевернутой чаше, даже если чаша кажется совершенно полусферической , и сферическая форма шарика представляют собой гораздо более сложные поверхности при рассмотрении под микроскопом, и их формы изменяются или деформируются во время контакта. . Любая физическая поверхность может рассматриваться как неровная местность с множеством вершин, долин, седловин, хребтов, оврагов и равнин. ^[7] На этой поверхности (и динамической системе такого же грубого мрамора, катящегося по этой микроскопической местности) есть много точек, которые считаются стационарными или фиксированными точками, некоторые из которых относятся к категории аттракторов.

Конечное количество очков

В системе с дискретным временем аттрактор может принимать форму конечного числа точек, которые посещаются последовательно. Каждая из этих точек называется периодической точкой . Это иллюстрируется логистической картой , которая в зависимости от значения конкретного параметра может иметь аттрактор, состоящий из 1 точки, 2 точек, 2 ⁿ точек, 3 точек, 3×2 ⁿ точек, 4 точек, 5 точек или любого заданного положительного значения. целое число точек.

Предельный цикл

Предельный цикл — это периодическая орбита непрерывной изолированной динамической системы . Речь идет о циклическом аттракторе . Примеры включают колебания маятниковых часов и сердцебиение во время отдыха. Предельный цикл идеального маятника не является примером аттрактора предельного цикла, поскольку его орбиты не изолированы: в фазовом пространстве идеального маятника вблизи любой точки периодической орбиты есть еще одна точка, принадлежащая другой периодической орбите. , поэтому прежняя орбита не притягивается. Для физического маятника, находящегося в состоянии трения, состояние покоя будет аттрактором с фиксированной точкой. Разница с маятником в часах заключается в том, что в них энергия подается спусковым механизмом для поддержания цикла.

Фазовый портрет Ван дер Поля : притягивающий предельный цикл

Предельный тор

В периодической траектории прохождения системы через состояние предельного цикла может быть более одной частоты. Например, в физике одна частота может определять скорость вращения планеты вокруг звезды, а вторая частота описывает колебания расстояния между двумя телами. Если две из этих частот образуют иррациональную дробь (т.е. они несоизмеримы ), траектория перестает быть замкнутой, и предельный цикл становится предельным тором . Такой аттрактор называется N _t -тором, если существует N _t несоизмеримых частот. Например, вот 2-тор:

Временной ряд, соответствующий этому аттрактору, представляет собой квазипериодический ряд: дискретно выбранную сумму N _t периодических функций (не обязательно синусоидальных волн) с несоизмеримыми частотами. Такой временной ряд не имеет строгой периодичности, но его спектр мощности все равно состоит только из резких линий.

Странный аттрактор

График странного аттрактора Лоренца для значений  ρ  = 28,  σ  = 10,  β  = 8/3

Аттрактор называется странным, если он имеет фрактальную структуру. ^{[ нужны разъяснения ]} Часто бывает, что динамика на нем хаотична , но существуют и странные нехаотические аттракторы . Если странный аттрактор хаотичен и демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий , то любые две сколь угодно близкие альтернативные начальные точки аттрактора после любого из различного числа итераций приведут к точкам, которые находятся сколь угодно далеко друг от друга (с учетом границ аттрактора). аттрактор), и после любого другого количества итераций приведет к точкам, сколь угодно близким друг к другу. Таким образом, динамическая система с хаотичным аттрактором локально неустойчива, но глобально стабильна: как только некоторые последовательности вошли в аттрактор, близлежащие точки расходятся друг от друга, но никогда не покидают аттрактор. ^[8]

Термин «странный аттрактор» был придуман Дэвидом Рюэлем и Флорисом Такенсом для описания аттрактора, возникающего в результате серии бифуркаций системы, описывающей поток жидкости. ^[9] Странные аттракторы часто дифференцируемы в нескольких направлениях, но некоторые из них подобны канторовской пыли и, следовательно, не дифференцируемы. Странные аттракторы также могут быть обнаружены в присутствии шума, где можно показать, что они поддерживают инвариантные случайные вероятностные меры типа Синай-Рюэля-Боуэна. ^[10]

Примеры странных аттракторов включают аттрактор с двойной прокруткой , аттрактор Энона , аттрактор Ресслера и аттрактор Лоренца .

Аттракторы характеризуют эволюцию системы.

Бифуркационная диаграмма логистической карты . Аттрактор(ы) для любого значения параметра показаны по оси ординат в области . Цвет точки показывает, как часто точка посещается в течение 10 ⁶ итераций: часто встречающиеся значения окрашены в синий цвет, реже встречающиеся — в желтый. Бифуркация появляется вокруг , вторая бифуркация (ведущая к четырем значениям аттрактора) вокруг . Поведение становится все более сложным для , перемежаясь областями более простого поведения (белые полосы). ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle (r,x)}$ ${\displaystyle r\approx 3.0}$ ${\displaystyle r\approx 3.5}$ ${\displaystyle r>3.6}$

Параметры динамического уравнения изменяются по мере итерации уравнения, и конкретные значения могут зависеть от начальных параметров. Примером может служить хорошо изученная логистическая карта , , бассейны притяжения которой для различных значений параметра показаны на рисунке. Если , все начальные значения быстро приведут к значениям функции, стремящимся к отрицательной бесконечности; начальные значения также будут стремиться к отрицательной бесконечности. Но поскольку значения быстро сходятся к , т.е. при этом значении , единственное значение является аттрактором поведения функции. Для других значений можно посетить более одного значения : если равно 3,2, начальные значения приведут к значениям функции, которые чередуются между и . При одних значениях аттрактором является одна точка («фиксированная точка»), при других значениях посещаются поочередно два значения ( бифуркация удвоения периода ) или, в результате дальнейшего удвоения, любые числовые значения из ; при других значениях по очереди посещается любое заданное количество значений ; наконец, для некоторых значений посещается бесконечное количество точек. Таким образом, одно и то же динамическое уравнение может иметь различные типы аттракторов в зависимости от его исходных параметров. ${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=2.6}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>1}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\approx 0.615}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 0<x<1}$ ${\displaystyle x\approx 0.513}$ ${\displaystyle x\approx 0.799}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k\times 2^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r}$

Бассейны притяжения

Бассейн притяжения аттрактора — это область фазового пространства , в которой определены итерации, так что любая точка (любое начальное условие ) в этой области будет асимптотически повторяться в аттракторе. Для устойчивой линейной системы каждая точка фазового пространства находится в зоне притяжения. Однако в нелинейных системах некоторые точки могут напрямую или асимптотически отображаться в бесконечность, в то время как другие точки могут лежать в другом бассейне притяжения и асимптотически отображаться в другой аттрактор; другие начальные условия могут находиться в непритягивающей точке или цикле или отображаться непосредственно в ней. ^[11]

Линейное уравнение или система

Одномерное линейное однородное разностное уравнение расходится на бесконечность, если из всех начальных точек, кроме 0; нет аттрактора и, следовательно, нет бассейна притяжения. Но если все точки на числовой прямой асимптотически (или непосредственно в случае 0) отображаются в 0; 0 — аттрактор, а вся числовая линия — бассейн притяжения. ${\displaystyle x_{t}=ax_{t-1}}$ ${\displaystyle |a|>1}$ ${\displaystyle |a|<1}$

Аналогично, линейное матричное разностное уравнение в динамическом векторе однородной формы с точки зрения квадратной матрицы будет иметь все элементы динамического вектора, расходящиеся до бесконечности, если наибольшие собственные значения больше 1 по абсолютному значению; нет ни аттрактора, ни бассейна притяжения. Но если наибольшее собственное значение по величине меньше 1, все начальные векторы будут асимптотически сходиться к нулевому вектору, который является аттрактором; все трехмерное пространство потенциальных начальных векторов является бассейном притяжения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{t}=AX_{t-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$

Подобные особенности применимы и к линейным дифференциальным уравнениям . Скалярное уравнение приводит к тому, что все начальные значения, кроме нуля, расходятся к бесконечности, если но сходятся к аттрактору со значением 0, если , делая всю числовую линию бассейном притяжения для 0. И матричная система дает расхождение от всех начальных точек, кроме вектор нулей, если любое собственное значение матрицы положительно; но если все собственные значения отрицательны, вектор нулей представляет собой аттрактор, областью притяжения которого является все фазовое пространство. ${\displaystyle dx/dt=ax}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle dX/dt=AX}$ ${\displaystyle A}$

Нелинейное уравнение или система

Нелинейные уравнения или системы могут привести к более широкому разнообразию поведения, чем линейные системы. Одним из примеров является метод Ньютона итерации до корня нелинейного выражения. Если выражение имеет более одного действительного корня, некоторые отправные точки итерационного алгоритма будут асимптотически приводить к одному из корней, а другие отправные точки приведут к другому. Бассейны притяжения для корней выражения, как правило, не просты - дело не просто в том, что все точки, ближайшие к одному корню, отображаются туда, образуя бассейн притяжения, состоящий из близлежащих точек. Бассейны притяжения могут быть бесконечными и сколь угодно малыми. Например, в ^[12] для функции следующие начальные условия находятся в последовательных бассейнах притяжения: ${\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12}$

Фрактал Ньютона , показывающий бассейны притяжения на комплексной плоскости для использования метода Ньютона для решения x ⁵  - 1 = 0. Точки в областях одинакового цвета отображаются на один и тот же корень; темнее означает, что для сходимости необходимо больше итераций.

2,35287527 сходится к 4;

2,35284172 сходится к -3;

2,35283735 сходится к 4;

2,352836327 сходится к -3;

2,352836323 сходится к 1.

Метод Ньютона также можно применять к сложным функциям , чтобы найти их корни. Каждый корень имеет бассейн притяжения в комплексной плоскости ; эти бассейны можно нанести на карту, как показано на изображении. Как можно видеть, объединенный бассейн притяжения для конкретного корня может иметь множество несвязанных областей. Для многих сложных функций границы бассейнов притяжения являются фракталами .

Уравнения в частных производных

Параболические уравнения в частных производных могут иметь конечномерные аттракторы. Диффузионная часть уравнения гасит более высокие частоты и в некоторых случаях приводит к глобальному аттрактору. Известно, что уравнения Гинзбурга -Ландау , Курамото-Сивашинского и двумерные вынужденные уравнения Навье-Стокса имеют глобальные аттракторы конечной размерности.

Для трехмерного несжимаемого уравнения Навье–Стокса с периодическими граничными условиями , если оно имеет глобальный аттрактор, то этот аттрактор будет иметь конечные размерности. ^[13]

Смотрите также

• Обнаружение цикла
• Гиперболический набор
• Стабильный коллектор
• Устойчивое состояние
• Бассейн Вада
• Скрытые колебания
• Аттрактор Ресслера
• Стабильное распространение
• Конвергентная эволюция

Рекомендации

1. На изображении и видео показан аттрактор трехмерного полинома типа Спротта второго порядка, первоначально вычисленный Николасом Деспре с использованием бесплатного программного обеспечения Chascope (см. http://www.chascope.org/gallery.htm и связанные файлы проекта). для параметров).
2. Вайсштейн, Эрик В. «Аттрактор». Математический мир . Проверено 30 мая 2021 г.
3. Карвалью, А.; Ланга, JA; Робинсон, Дж. (2012). Аттракторы бесконечномерных неавтономных динамических систем . Том. 182. Спрингер. п. 109.
4. Канц, Х.; Шрайбер, Т. (2004). Нелинейный анализ временных рядов . Издательство Кембриджского университета.
5. Джон Милнор (1985). «О понятии аттрактора». Связь в математической физике . 99 (2): 177–195. Бибкод : 1985CMaPh..99..177M. дои : 10.1007/BF01212280. S2CID  120688149.
6. Гринвуд, Дж.А.; JBP Уильямсон (6 декабря 1966 г.). «Контакт номинально плоских поверхностей». Труды Королевского общества . 295 (1442): 300–319. Бибкод : 1966RSPSA.295..300G. дои : 10.1098/rspa.1966.0242. S2CID  137430238.
7. Форбергер, ТВ (1990). Учебное пособие по метрологии отделки поверхности (PDF) . Министерство торговли США, Национальный институт стандартов (NIST). п. 5.
8. Гребоги Селсо, Отт Эдвард, Йорк Джеймс А. (1987). «Хаос, странные аттракторы и границы фрактальных бассейнов в нелинейной динамике». Наука . 238 (4827): 632–638. Бибкод : 1987Sci...238..632G. дои : 10.1126/science.238.4827.632. PMID  17816542. S2CID  1586349.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. Рюэль, Дэвид; Такенс, Флорис (1971). «О природе турбулентности». Связь в математической физике . 20 (3): 167–192. Бибкод : 1971CMaPh..20..167R. дои : 10.1007/bf01646553. S2CID  17074317.
10. Чекроун, доктор медицинских наук; Симоннет Э. и Гил М. (2011). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и зависящие от времени инвариантные меры». Физика Д. 240 (21): 1685–1700. Бибкод : 2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX 10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005. 
11. Стрельев, К.; Хюблер, А. (2006). «Среднесрочное предсказание хаоса». Физ. Преподобный Летт . 96 (4): 044101. Бибкод : 2006PhRvL..96d4101S. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.044101. ПМИД  16486826.
12. Денс, Томас, «Кубики, хаос и метод Ньютона», Mathematical Gazette 81, ноябрь 1997 г., 403–408.
13. Женевьева Рогель , Глобальные аттракторы в уравнениях с частными производными,  Справочник по динамическим системам , Elsevier, 2002, стр. 885–982.

дальнейшее чтение

• Джон Милнор (ред.). «Аттрактор». Схоларпедия .
• Дэвид Рюэль ; Флорис Такенс (1971). «О природе турбулентности». Связь в математической физике . 20 (3): 167–192. Бибкод : 1971CMaPh..20..167R. дои : 10.1007/BF01646553. S2CID  17074317.
• Д. Рюэль (1981). «Малые случайные возмущения динамических систем и определение аттракторов» (PDF) . Связь в математической физике . 82 (1): 137–151. Бибкод : 1981CMaPh..82..137R. дои : 10.1007/BF01206949. S2CID  55827557.
• Дэвид Рюэль (1989). Элементы дифференцируемой динамики и теории бифуркаций . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-601710-6.
• Рюэль, Дэвид (август 2006 г.). «Что такое… странный аттрактор?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (7): 764–765 . Проверено 16 января 2008 г.
• Селсо Гребожи ; Эдвард Отт ; Пеликан; Йорк (1984). «Странные аттракторы, которые не хаотичны». Физика Д. 13 (1–2): 261–268. Бибкод : 1984PhyD...13..261G. дои : 10.1016/0167-2789(84)90282-3.
• Чекруун, доктор медицины; Э. Симонне; М. Гил (2011). «Стохастическая динамика климата: случайные аттракторы и зависящие от времени инвариантные меры». Физика Д. 240 (21): 1685–1700. Бибкод : 2011PhyD..240.1685C. CiteSeerX  10.1.1.156.5891 . doi :10.1016/j.physd.2011.06.005.
• Эдвард Н. Лоренц (1996) Сущность хаоса ISBN 0-295-97514-8 
• Джеймс Глейк (1988) Хаос: создание новой науки ISBN 0-14-009250-1 

Внешние ссылки

• Бассейн притяжения в Scholarpedia
• Галерея тригонометрических странных аттракторов
• Моделирование схемы аттрактора с двойной прокруткой Чуа
• Галерея полиномиальных странных аттракторов
• Chascope, бесплатная программа для рендеринга 3D Strange Attractor
• Научно-реферативная и программная лаборатория
• Онлайн генератор странных аттракторов
• Интерактивный генератор тригонометрических аттракторов
• Экономический аттрактор