Векторная авторегрессия

Статистическая модель для расчета значений нескольких величин по мере их изменения с течением времени.

Векторная авторегрессия ( VAR ) — это статистическая модель, используемая для определения взаимосвязи между несколькими величинами по мере их изменения с течением времени. VAR — это разновидность модели стохастического процесса . Модели VAR обобщают авторегрессионную модель с одной переменной (одномерной), допуская многомерные временные ряды . Модели VAR часто используются в экономике и естественных науках .

Как и в модели авторегрессии, каждая переменная имеет уравнение, моделирующее ее эволюцию с течением времени. Это уравнение включает в себя лагированные (прошлые) значения переменной , лагированные значения других переменных в модели и член ошибки . Модели VAR не требуют столько знаний о силах, влияющих на переменную, как структурные модели с одновременными уравнениями . Единственные необходимые предварительные знания — это список переменных, которые, как можно предположить, будут влиять друг на друга с течением времени.

Спецификация

Определение

Модель VAR описывает эволюцию набора из k переменных, называемых эндогенными переменными , с течением времени. Каждый период времени пронумерован, t = 1, ..., T . Переменные собираются в вектор y t _длиной k . (Эквивалентно, этот вектор можно описать как матрицу ( k  × 1) . ) Вектор моделируется как линейная функция от своего предыдущего значения. Компоненты вектора обозначаются как y _{i , t} , что означает наблюдение в момент времени t i- й переменной. Например, если первая переменная в модели измеряет цену пшеницы с течением времени, то _{1,1998 год} будет указывать цену пшеницы в 1998 году.

Модели VAR характеризуются своим порядком , который относится к числу более ранних периодов времени, которые будет использовать модель. Продолжая приведенный выше пример, VAR 5-го порядка будет моделировать цену на пшеницу каждого года как линейную комбинацию цен на пшеницу за последние пять лет. Лаг — это значение переменной в предыдущий период времени. Таким образом, в общем случае VAR p -го порядка относится к модели VAR, которая включает в себя лаги для последних p периодов времени. VAR p -го порядка обозначается «VAR( p )» и иногда называется «VAR с p задержками». Модель VAR p - го порядка записывается как

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t},\,}$

Переменные формы y _{t -i} указывают на то, что значение переменной на i период времени было раньше, и называются «i- м лагом» y _t . Переменная c представляет собой k -вектор констант, служащий точкой пересечения модели. A _i — инвариантная во времени ( k  ×  k )-матрица, а e _t — k -вектор ошибок . Условия ошибки должны удовлетворять трем условиям:

1. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t})=0\,}$. Каждый термин ошибки имеет среднее значение , равное нулю.
2. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\Omega \,}$. Современная ковариационная матрица членов ошибок представляет собой положительно-полуопределенную матрицу размера k  ×  k , обозначаемую Ω.
3. ${\displaystyle \mathrm {E} (e_{t}e_{t-k}')=0\,}$для любого ненулевого k . Никакой корреляции во времени нет . В частности, не существует серийной корреляции с точки зрения отдельных ошибок. ^[1]

Процесс выбора максимального лага p в модели VAR требует особого внимания, поскольку вывод зависит от правильности выбранного порядка лага. ^{[2] [3]}

Порядок интегрирования переменных

Обратите внимание, что все переменные должны иметь один и тот же порядок интегрирования . Отличительными являются следующие случаи:

• Все переменные I(0) (стационарные): это в стандартном случае, т.е. VAR на уровне
• Все переменные I( d ) (нестационарные) с d  > 0: ^{[ нужна ссылка ]}
  • Переменные коинтегрированы : в VAR необходимо включить фактор коррекции ошибок. Модель становится моделью векторного исправления ошибок (VECM), которую можно рассматривать как ограниченную VAR.
  • Переменные не коинтегрированы : во-первых, переменные должны быть различны d раз, и разница будет VAR.

Краткое матричное обозначение

Можно сложить векторы, чтобы записать VAR( p ) в виде стохастического матричного разностного уравнения с кратким матричным обозначением:

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

Подробности о матрицах на отдельной странице.

Пример

Общий пример VAR( p ) с k переменными см. в разделе «Общие матричные обозначения VAR(p»).

VAR(1) с двумя переменными можно записать в матричной форме (более компактное обозначение) как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{1,t}\\e_{2,t}\end{bmatrix}},}$

(в котором появляется только одна матрица A , поскольку в этом примере максимальный лаг p равен 1) или, что то же самое, как следующая система двух уравнений

${\displaystyle y_{1,t}=c_{1}+a_{1,1}y_{1,t-1}+a_{1,2}y_{2,t-1}+e_{1,t}\,}$

${\displaystyle y_{2,t}=c_{2}+a_{2,1}y_{1,t-1}+a_{2,2}y_{2,t-1}+e_{2,t}.\,}$

Каждая переменная в модели имеет одно уравнение. Текущее (время t ) наблюдение каждой переменной зависит от ее собственных запаздывающих значений, а также от запаздывающих значений каждой другой переменной в VAR.

Запись VAR( p ) как VAR(1)

VAR с p -лагами всегда можно эквивалентно переписать как VAR только с одним лагом, соответствующим образом переопределив зависимую переменную. Преобразование сводится к суммированию лагов переменной VAR( p ) в новой зависимой переменной VAR(1) и добавлению тождеств для завершения количества уравнений.

Например, модель VAR(2)

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+e_{t}}$

может быть преобразована в модель VAR(1)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{t}\\y_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{t-1}\\y_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e_{t}\\0\end{bmatrix}},}$

где I — единичная матрица .

Эквивалентная форма VAR(1) более удобна для аналитических выводов и допускает более компактные формулировки.

Структурная и уменьшенная форма

Структурная ВАР

Структурный VAR с p-лагами (иногда сокращенно SVAR ) — это

${\displaystyle B_{0}y_{t}=c_{0}+B_{1}y_{t-1}+B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{p}y_{t-p}+\epsilon _{t},}$

где c ₀ —  вектор констант размером k × 1, B _i — матрица размера k  ×  k (для каждого i = 0,..., p ), а ε _t — вектор ошибок размером k  × 1 . Главные диагональные члены матрицы B ₀ (коэффициенты при i ^-й переменной в i ^-м уравнении) масштабируются до 1.

Члены ошибок ε _t ( структурные потрясения ) удовлетворяют условиям (1)–(3) в приведенном выше определении с той особенностью, что все элементы внедиагонали ковариационной матрицы равны нулю. То есть структурные шоки некоррелированы. ${\displaystyle \mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')=\Sigma }$

Например, структурная VAR(1) с двумя переменными:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2}\\B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t}\\y_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{0;1}\\c_{0;2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2}\\B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1,t-1}\\y_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\epsilon _{1,t}\\\epsilon _{2,t}\end{bmatrix}},}$

где

${\displaystyle \Sigma =\mathrm {E} (\epsilon _{t}\epsilon _{t}')={\begin{bmatrix}\sigma _{1}^{2}&0\\0&\sigma _{2}^{2}\end{bmatrix}};}$

то есть дисперсии структурных шоков обозначаются ( i = 1, 2), а ковариация равна . ${\displaystyle \mathrm {var} (\epsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {cov} (\epsilon _{1},\epsilon _{2})=0}$

Записав первое уравнение явно и подставив y _2,t в правую часть, получим

${\displaystyle y_{1,t}=c_{0;1}-B_{0;1,2}y_{2,t}+B_{1;1,1}y_{1,t-1}+B_{1;1,2}y_{2,t-1}+\epsilon _{1,t}\,}$

Обратите внимание, что y _{2, t} может одновременно влиять на y _1,t , если B _0;1,2 не равно нулю. Это отличается от случая, когда B ₀ является единичной матрицей (все недиагональные элементы равны нулю — случай в исходном определении), когда y _{2, t} может напрямую влиять на y _{1, t +1} и последующие будущие значения, но не у _{1, т} .

Из-за проблемы идентификации параметров обычная оценка структурной VAR методом наименьших квадратов приведет к противоречивым оценкам параметров. Эту проблему можно решить, переписав VAR в сокращенном виде.

С экономической точки зрения, если совместная динамика набора переменных может быть представлена ​​моделью VAR, то структурная форма является изображением лежащих в основе «структурных» экономических отношений. Две особенности структурной формы делают ее предпочтительным кандидатом для представления основных отношений:

1. Условия ошибки не коррелируют . Предполагается, что структурные экономические шоки, которые определяют динамику экономических переменных, независимы , что подразумевает нулевую корреляцию между членами ошибки как желаемое свойство. Это полезно для разделения эффектов экономически несвязанных влияний в VAR. Например, нет причин, по которым шок цен на нефть (как пример шока предложения ) должен быть связан со сдвигом предпочтений потребителей в сторону стиля одежды (как пример шока спроса ); поэтому можно было бы ожидать, что эти факторы будут статистически независимыми.

2. Переменные могут оказывать одновременное влияние на другие переменные . Это желательная функция, особенно при использовании низкочастотных данных. Например, повышение ставки косвенного налога не повлияет на налоговые поступления в день объявления решения, но эффект можно обнаружить в данных за этот квартал.

Уменьшенная форма VAR

Путем предварительного умножения структурной VAR на обратную величину B ₀

${\displaystyle y_{t}=B_{0}^{-1}c_{0}+B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1}+B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2}+\cdots +B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p}+B_{0}^{-1}\epsilon _{t},}$

и обозначая

${\displaystyle B_{0}^{-1}c_{0}=c,\quad B_{0}^{-1}B_{i}=A_{i}{\text{ for }}i=1,\dots ,p{\text{ and }}B_{0}^{-1}\epsilon _{t}=e_{t}}$

получаем пониженную VAR p -го порядка

${\displaystyle y_{t}=c+A_{1}y_{t-1}+A_{2}y_{t-2}+\cdots +A_{p}y_{t-p}+e_{t}}$

Обратите внимание, что в сокращенной форме все переменные в правой части предопределены в момент времени t . Поскольку в правой части нет эндогенных переменных времени t , ни одна переменная не оказывает прямого одновременного влияния на другие переменные в модели.

Однако члены ошибок в уменьшенной VAR представляют собой совокупность структурных потрясений e _t = B ₀ ^-1 ε _t . Таким образом, возникновение одного структурного шока ε _i,t потенциально может привести к возникновению шоков во всех членах ошибки e _j,t , создавая тем самым одновременное движение во всех эндогенных переменных. Следовательно, ковариационная матрица приведенной VAR

${\displaystyle \Omega =\mathrm {E} (e_{t}e_{t}')=\mathrm {E} (B_{0}^{-1}\epsilon _{t}\epsilon _{t}'(B_{0}^{-1})')=B_{0}^{-1}\Sigma (B_{0}^{-1})'\,}$

может иметь ненулевые недиагональные элементы, что обеспечивает ненулевую корреляцию между членами ошибки.

Оценка

Оценка параметров регрессии

Начиная с краткой матричной записи (подробнее см. в этом приложении):

${\displaystyle Y=BZ+U\,}$

• Многомерный подход наименьших квадратов (MLS) для оценки доходности B дает:

${\displaystyle {\hat {B}}=YZ'(ZZ')^{-1}.}$

Альтернативно это можно записать так:

${\displaystyle \operatorname {Vec} ({\hat {B}})=((ZZ')^{-1}Z\otimes I_{k})\ \operatorname {Vec} (Y),}$

где обозначает произведение Кронекера , а Vec — векторизацию указанной матрицы. ${\displaystyle \otimes }$

Эта оценка непротиворечива и асимптотически эффективна . Кроме того, он равен условной оценке максимального правдоподобия . ^[4]

• Поскольку объясняющие переменные в каждом уравнении одинаковы, многомерная оценка методом наименьших квадратов эквивалентна обычной оценке методом наименьших квадратов, применяемой к каждому уравнению отдельно. ^[5]

Оценка ковариационной матрицы ошибок

Как и в стандартном случае, оценка максимального правдоподобия (MLE) ковариационной матрицы отличается от обычной оценки наименьших квадратов (OLS).

Оценщик MLE: ^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

Оценщик OLS: ^{[ нужна ссылка ]} для модели с константой, k переменными и p -лагами. ${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}\sum _{t=1}^{T}{\hat {\epsilon }}_{t}{\hat {\epsilon }}_{t}'}$

В матричной записи это дает:

${\displaystyle {\hat {\Sigma }}={\frac {1}{T-kp-1}}(Y-{\hat {B}}Z)(Y-{\hat {B}}Z)'.}$

Оценка ковариационной матрицы средства оценки

^{Ковариационная} матрица параметров может быть ^{оценена как}

${\displaystyle {\widehat {\mbox{Cov}}}({\mbox{Vec}}({\hat {B}}))=({ZZ'})^{-1}\otimes {\hat {\Sigma }}.\,}$

Степени свободы

Модели векторной авторегрессии часто включают оценку многих параметров. Например, с семью переменными и четырьмя лагами каждая матрица коэффициентов для заданной длины лага равна 7 на 7, а вектор констант имеет 7 элементов, поэтому всего оценивается 49 × 4 + 7 = 203 параметра, что существенно снижает степени свободы регрессии (количество точек данных минус количество оцениваемых параметров). Это может повлиять на точность оценок параметров и, следовательно, на точность прогнозов, предоставляемых моделью.

Интерпретация расчетной модели

Свойства модели VAR обычно суммируются с помощью структурного анализа с использованием причинно-следственной связи Грейнджера , импульсных характеристик и разложения дисперсии ошибок прогноза .

Импульсивный ответ

Рассмотрим случай первого порядка (т. е. только с одним лагом) с уравнением эволюции

${\displaystyle y_{t}=Ay_{t-1}+e_{t},}$

для вектора развития (состояния) и вектора потрясений. Чтобы найти, скажем, влияние j -го элемента вектора потрясений на i -й элемент вектора состояния через 2 периода, который представляет собой конкретный импульсный отклик, сначала напишите приведенное выше уравнение эволюции с отставанием на один период: ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.}$

Используйте это в исходном уравнении эволюции, чтобы получить

${\displaystyle y_{t}=A^{2}y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t};}$

затем повторите, используя уравнение эволюции с двойным лагом, чтобы получить

${\displaystyle y_{t}=A^{3}y_{t-3}+A^{2}e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_{t}.}$

Отсюда влияние j -го компонента на i - й компонент является i, j- элементом матрицы ${\displaystyle e_{t-2}}$ ${\displaystyle y_{t}}$ ${\displaystyle A^{2}.}$

Из этого индукционного процесса видно , что любой шок будет оказывать влияние на элементы y бесконечно далеко вперед во времени, хотя эффект будет становиться все меньше и меньше с течением времени, если предположить, что процесс AR стабилен, то есть что все собственные значения матрицы A по абсолютной величине меньше 1 .

Прогнозирование с использованием расчетной модели VAR

Оценочную модель VAR можно использовать для прогнозирования , а качество прогнозов можно оценивать способами, полностью аналогичными методам, используемым в одномерном авторегрессионном моделировании.

Приложения

Кристофер Симс выступал в защиту моделей VAR, критикуя утверждения и эффективность более ранних моделей в макроэкономической эконометрике . ^[6] Он рекомендовал модели VAR, которые ранее появлялись в статистике временных рядов и в идентификации систем , статистической специальности в теории управления . Симс выступал за модели VAR как за свободный от теории метод оценки экономических отношений, тем самым являющийся альтернативой «невероятным ограничениям идентификации» в структурных моделях. ^[6] Модели VAR также все чаще используются в медицинских исследованиях для автоматического анализа дневниковых данных ^[7] или данных датчиков.

Программное обеспечение

• R : Пакет vars включает функции для моделей VAR. ^{[8] [9]} Другие пакеты R перечислены в представлении задач CRAN: анализ временных рядов.
• Python : модуль tsa (анализ временных рядов) пакета statsmodels поддерживает VAR. PyFlux поддерживает VAR и байесовские VAR.
• САС : ВАРМАКС
• Стата : «вар»
• EViews : «ВАР»
• Гретл : "вар"
• Матлаб : «варм»
• Регрессионный анализ временных рядов : «СИСТЕМА»
• ЛДТ

Смотрите также

• Байесовская векторная авторегрессия
• Конвергентное перекрестное отображение
• Причинность Грейнджер
• Панельная векторная авторегрессия, расширение моделей VAR для панельных данных ^[10]
• Разложение дисперсии

Примечания

1. Многомерные тесты на автокорреляцию в моделях VAR см. Hatemi-J, A. (2004). «Многомерные тесты на автокорреляцию в стабильных и нестабильных моделях VAR». Экономическое моделирование . 21 (4): 661–683. doi :10.1016/j.econmod.2003.09.005.
2. Хакер, РС; Хатеми-Дж, А. (2008). «Оптимальный выбор длины лага в стабильных и нестабильных моделях VAR в ситуациях гомоскедастичности и ARCH». Журнал прикладной статистики . 35 (6): 601–615. дои : 10.1080/02664760801920473.
3. Хатеми-Дж, А.; Хакер, РС (2009). «Может ли тест LR быть полезным при выборе оптимального порядка задержек в модели VAR, когда информационные критерии предполагают разные порядки задержек?». Прикладная экономика . 41 (9): 1489–1500.
4. Гамильтон, Джеймс Д. (1994). Анализ временных рядов . Издательство Принстонского университета. п. 293.
5. Зеллнер, Арнольд (1962). «Эффективный метод оценки, казалось бы, несвязанных регрессий и тестов на предвзятость агрегирования». Журнал Американской статистической ассоциации . 57 (298): 348–368. дои : 10.1080/01621459.1962.10480664.
6. Симс, Кристофер (1980). «Макроэкономика и реальность». Эконометрика . 48 (1): 1–48. CiteSeerX 10.1.1.163.5425 . дои : 10.2307/1912017. JSTOR  1912017. 
7. ван дер Крике; и другие. (2016). «Временная динамика здоровья и благополучия: краудсорсинговый подход к мгновенным оценкам и автоматизированному генерированию персонализированной обратной связи (2016)». Психосоматическая медицина : 1. doi :10.1097/PSY.0000000000000378. ПМИД  27551988.
8. Бернхард Пфафф Модели VAR, SVAR и SVEC: реализация в вариантах пакета R
9. Гайндман, Роб Дж; Атанасопулос, Джордж (2018). «11.2: Векторные авторегрессии». Прогнозирование: принципы и практика. Отексты. стр. 333–335. ISBN 978-0-9875071-1-2.
10. Хольц-Икин, Д., Ньюи, В. и Розен, HS (1988). Оценка векторной авторегрессии с помощью панельных данных. Эконометрика, 56(6):1371–1395.

дальнейшее чтение

• Астериу, Димитриос; Холл, Стивен Г. (2011). «Модели векторной авторегрессии (VAR) и тесты причинности». Прикладная эконометрика (второе изд.). Лондон: Пэлгрейв Макмиллан. стр. 319–333.
• Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 272–355. ISBN 978-0-470-50539-7.
• Фаверо, Карло А. (2001). Прикладная макроэконометрика . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. стр. 162–213. ISBN 0-19-829685-1.
• Люткеполь, Хельмут (2005). Новое введение в анализ множественных временных рядов . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-40172-5.
• Цинь, Дуэт (2011). «Подход к моделированию VAR». Журнал экономических обзоров . 25 (1): 156–174. дои : 10.1111/j.1467-6419.2010.00637.x.