Структурная динамика

Поведение конструкции, подверженной динамическим (воздействиям с большим ускорением) нагрузкам

Структурная динамика — это тип структурного анализа , который охватывает поведение конструкции, подверженной динамической ( воздействия с высоким ускорением) нагрузке. Динамические нагрузки включают людей, ветер, волны, движение, землетрясения и взрывы. Любая конструкция может быть подвергнута динамической нагрузке. Динамический анализ может использоваться для поиска динамических смещений , временной истории и модального анализа .

Структурный анализ в основном занимается выяснением поведения физической конструкции при воздействии силы. Это воздействие может быть в форме нагрузки из-за веса вещей, таких как люди, мебель, ветер, снег и т. д., или какого-либо другого вида возбуждения, такого как землетрясение, сотрясение земли из-за взрыва поблизости и т. д. По сути, все эти нагрузки являются динамическими, включая собственный вес конструкции, поскольку в какой-то момент времени этих нагрузок не было. Различие между динамическим и статическим анализом проводится на основе того, имеет ли приложенное воздействие достаточное ускорение по сравнению с собственной частотой конструкции. Если нагрузка прикладывается достаточно медленно, силы инерции ( первый закон движения Ньютона ) можно игнорировать, и анализ можно упростить до статического анализа.

Статическая нагрузка — это нагрузка, которая изменяется очень медленно. Динамическая нагрузка — это нагрузка, которая изменяется со временем довольно быстро по сравнению с собственной частотой конструкции. Если она изменяется медленно, реакция конструкции может быть определена с помощью статического анализа, но если она изменяется быстро (относительно способности конструкции реагировать), реакция должна быть определена с помощью динамического анализа.

Динамический анализ простых конструкций можно выполнить вручную, но для сложных конструкций можно использовать конечно-элементный анализ для расчета форм колебаний и частот.

Смещения

Динамическая нагрузка может иметь значительно больший эффект, чем статическая нагрузка той же величины из-за неспособности конструкции быстро реагировать на нагрузку (прогибаясь). Увеличение эффекта динамической нагрузки определяется динамическим коэффициентом усиления (DAF) или динамическим коэффициентом нагрузки (DLF):

${\displaystyle {\text{DAF}}={\text{DLF}}={\frac {u_{\max }}{u_{\text{static}}}}}$

где u — прогиб конструкции под действием приложенной нагрузки.

Графики динамических коэффициентов усиления в зависимости от безразмерного времени нарастания ( t _r / T ) существуют для стандартных функций нагрузки (для объяснения времени нарастания см. анализ истории времени ниже). Таким образом, DAF для заданной нагрузки можно прочитать из графика, статический прогиб можно легко рассчитать для простых конструкций и найти динамический прогиб.

Анализ истории времени

Полная история времени даст ответ конструкции с течением времени во время и после приложения нагрузки. Чтобы найти полную историю времени ответа конструкции, необходимо решить уравнение движения конструкции .

Пример

Система с одной степенью свободы: простая модель пружины массы

Простая система с одной степенью свободы ( например , масса M на пружине жесткостью k ) имеет следующее уравнение движения:

${\displaystyle M{\ddot {x}}+kx=F(t)}$

где — ускорение (двойная производная смещения), а x — смещение. ${\displaystyle {\ddot {x}}}$

Если нагрузка F ( t ) является ступенчатой ​​функцией Хевисайда (внезапное приложение постоянной нагрузки), то решение уравнения движения имеет вид:

${\displaystyle x={\frac {F_{0}}{k}}[1-\cos(\omega t)]}$

где и основная собственная частота, . ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{M}}}}$ ${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}}$

Статическое отклонение системы с одной степенью свободы равно:

${\displaystyle x_{\text{static}}={\frac {F_{0}}{k}}}$

поэтому мы можем записать, объединив приведенные выше формулы:

${\displaystyle x=x_{\text{static}}[1-\cos(\omega t)]}$

Это дает (теоретическую) временную динамику конструкции под действием нагрузки F(t), где делается ложное предположение об отсутствии демпфирования .

Хотя это слишком упрощенно для применения к реальной конструкции, функция шага Хевисайда является разумной моделью для приложения многих реальных нагрузок, таких как внезапное добавление предмета мебели или удаление подпорки к недавно отлитому бетонному полу. Однако в реальности нагрузки никогда не прикладываются мгновенно — они нарастают в течение некоторого периода времени (который может быть действительно очень коротким). Это время называется временем подъема .

По мере увеличения числа степеней свободы конструкции очень быстро становится слишком сложно рассчитать временную динамику вручную — реальные конструкции анализируются с использованием программного обеспечения для нелинейного конечно-элементного анализа .

Демпфирование

Любая реальная структура будет рассеивать энергию (в основном за счет трения). Это можно смоделировать, изменив DAF

${\displaystyle {\text{DAF}}=1+e^{-c\pi }}$

где и обычно составляет 2–10% в зависимости от типа конструкции: ${\displaystyle c={\frac {\text{damping coefficient}}{\text{critical damping coefficient}}}}$

• Болтовая сталь ~6%
• Железобетон ~5%
• Сварная сталь ~2%
• Кирпичная кладка ~10%

Методы увеличения демпфирования

Одним из широко используемых методов увеличения демпфирования является прикрепление к вибрирующей конструкции слоя материала с высоким коэффициентом демпфирования, например, резины.

Модальный анализ

Модальный анализ вычисляет частотные моды или собственные частоты данной системы, но не обязательно ее полную историю отклика на данный вход. Собственная частота системы зависит только от жесткости конструкции и массы , которая участвует в конструкции (включая собственный вес). Она не зависит от функции нагрузки.

Полезно знать модальные частоты конструкции, поскольку это позволяет гарантировать, что частота любой приложенной периодической нагрузки не будет совпадать с модальной частотой и, следовательно, вызывать резонанс , который приводит к большим колебаниям .

Метод таков:

1. Найдите собственные моды (форму, которую принимает конструкция) и собственные частоты.
2. Рассчитайте реакцию каждой моды
3. При желании можно наложить отклик каждой моды, чтобы найти полный модальный отклик на заданную нагрузку.

Энергетический метод

Частоту различных форм колебаний системы можно рассчитать вручную с помощью энергетического метода . Для заданной формы колебаний системы с несколькими степенями свободы можно найти «эквивалентную» массу, жесткость и приложенную силу для системы с одной степенью свободы. Для простых структур основные формы колебаний можно найти путем осмотра, но это не консервативный метод. Принцип Рэлея гласит:

«Частота ω произвольного режима колебаний, рассчитанная энергетическим методом, всегда больше или равна основной частоте ω _n ».

Для предполагаемой формы колебаний структурной системы с массой M; жесткостью на изгиб EI ( модуль Юнга E , умноженный на момент инерции I ); и приложенной силой F ( x ): ${\displaystyle {\bar {u}}(x)}$

${\displaystyle {\text{Equivalent mass, }}M_{\text{eq}}=\int M{\bar {u}}^{2}\,du}$

${\displaystyle {\text{Equivalent stiffness, }}k_{\text{eq}}=\int EI\left({\frac {d^{2}{\bar {u}}}{dx^{2}}}\right)^{2}\,dx}$

${\displaystyle {\text{Equivalent force, }}F_{\text{eq}}=\int F{\bar {u}}\,dx}$

затем, как указано выше:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k_{\text{eq}}}{M_{\text{eq}}}}}}$

Модальный ответ

Полный модальный отклик на заданную нагрузку F ( x , t ) равен . Суммирование может быть выполнено одним из трех распространенных методов: ${\displaystyle v(x,t)=\sum u_{n}(x,t)}$

• Наложить полные временные диаграммы каждого режима (требует много времени, но точно)
• Наложить максимальные амплитуды каждой моды (быстро, но консервативно)
• Наложить квадратный корень на сумму квадратов (хорошая оценка для хорошо разделенных частот, но небезопасно для близко расположенных частот)

Наложить вручную индивидуальные модальные отклики, рассчитав их энергетическим методом:

Предполагая, что время нарастания t _r известно ( T = 2 π / ω ), можно прочитать DAF из стандартного графика. Статическое смещение можно рассчитать с помощью . Динамическое смещение для выбранного режима и приложенной силы затем можно найти из: ${\displaystyle u_{\text{static}}={\frac {F_{1,{\text{eq}}}}{k_{1,{\text{eq}}}}}}$

${\displaystyle u_{\max }=u_{\text{static}}{\text{DAF}}}$

Модальный фактор участия

Для реальных систем часто есть масса, участвующая в силовой функции (например, масса грунта при землетрясении ), и масса, участвующая в эффектах инерции (масса самой конструкции, M _eq ). Модальный фактор участия Γ представляет собой сравнение этих двух масс. Для системы с одной степенью свободы Γ = 1.

${\displaystyle \Gamma ={\frac {\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}}{\sum M_{n}{\bar {u}}_{n}^{2}}}}$

Внешние ссылки

• Лаборатория динамики конструкций и вибрации Университета Макгилла
• Частотная характеристика функции от модальных параметров
• Учебники по структурной динамике и скрипты Matlab
• AIAA Exploring Structural Dynamics (http://www.exploringstructuraldynamics.org/) – Структурная динамика в аэрокосмической технике: интерактивные демонстрации, видео и интервью с практикующими инженерами