Квадратичная сумма Гаусса

В теории чисел квадратичные суммы Гаусса — это некоторые конечные суммы корней из единицы. Квадратичную сумму Гаусса можно интерпретировать как линейную комбинацию значений комплексной показательной функции с коэффициентами, заданными квадратичным символом; для общего характера получают более общую сумму Гаусса .

Именование

Эти объекты названы в честь Карла Фридриха Гаусса , который тщательно их изучал и применил к квадратичным , кубическим и биквадратичным законам взаимности.

Определение

Для нечетного простого числа p и целого числа a квадратичная сумма Гаусса g ( a ; p ) определяется как

${\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an^{2}},}$

где - примитивный корень p -й степени из единицы , например . Эквивалентно, ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle \zeta _{p}=\exp(2\pi i/p)}$

${\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}{\big (}1+\left({\tfrac {n}{p}}\right){\big )}\,\zeta _{p}^{an}.}$

Для числа , кратного p, выражение оценивается как . Следовательно, мы имеем ${\displaystyle \zeta _{p}^{an^{2}}}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle g(a;p)=p.}$

Для a, не кратного p , это выражение сводится к

${\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}\left({\tfrac {n}{p}}\right)\,\zeta _{p}^{an}=G(a,\left({\tfrac {\cdot }{p}}\right)),}$

где

${\displaystyle G(a,\chi )=\sum _{n=0}^{p-1}\chi (n)\,\zeta _{p}^{an}}$

— сумма Гаусса , определенная для любого характера х по модулю р .

Характеристики

• Значение суммы Гаусса является целым алгебраическим числом в p -м круговом поле . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{p})}$
• Вычисление суммы Гаусса для целого числа a , не делящегося на простое число p > 2, можно свести к случаю a = 1 :

${\displaystyle g(a;p)=\left({\tfrac {a}{p}}\right)g(1;p).}$

• Точное значение суммы Гаусса при a = 1 определяется формулой: ^[1]

${\displaystyle g(1;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi in^{2}}{p}}={\begin{cases}(1+i){\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 0{\pmod {4}},\\{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 1{\pmod {4}},\\0&{\text{if}}\ p\equiv 2{\pmod {4}},\\i{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

Примечание

Фактически, личность

${\displaystyle g(1;p)^{2}=\left({\tfrac {-1}{p}}\right)p}$

было легко доказать и привело к одному из доказательств Гаусса квадратичной взаимности . Однако определение знака суммы Гаусса оказалось значительно сложнее: Гаусс смог установить его только после нескольких лет работы. Позже Дирихле , Кронекер , Шур и другие математики нашли другие доказательства.

Обобщенные квадратичные суммы Гаусса

Пусть a , b , c — натуральные числа . Обобщенная квадратичная сумма Гаусса G ( a , b , c ) определяется формулой

${\displaystyle G(a,b,c)=\sum _{n=0}^{c-1}e^{2\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}}}$.

Классическая квадратичная сумма Гаусса — это сумма g ( a , p ) = G ( a , 0, p ) .

Характеристики

• Сумма Гаусса G ( a , b , c ) зависит только от класса вычетов a и b по модулю c .
• Суммы Гаусса мультипликативны , т.е. для заданных натуральных чисел a , b , c , d с НОД ( c , d ) = 1 имеем

${\displaystyle G(a,b,cd)=G(ac,b,d)G(ad,b,c).}$

Это прямое следствие китайской теоремы об остатках .

• G ( a , b , c ) = 0, если НОД( a , c ) > 1 , за исключением случая, когда НОД( a , c ) делит b, и в этом случае имеем

${\displaystyle G(a,b,c)=\gcd(a,c)\cdot G\left({\frac {a}{\gcd(a,c)}},{\frac {b}{\gcd(a,c)}},{\frac {c}{\gcd(a,c)}}\right)}$.

Таким образом, при вычислении квадратичных сумм Гаусса всегда можно предположить НОД( a , c ) = 1 .

• Пусть a , b , c — целые числа, где ac ≠ 0 и ac + b четное. Имеется следующий аналог квадратичного закона взаимности для (еще более общих) сумм Гаусса ^[2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{|c|-1}e^{\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}}=\left|{\frac {c}{a}}\right|^{\frac {1}{2}}e^{\pi i{\frac {|ac|-b^{2}}{4ac}}}\sum _{n=0}^{|a|-1}e^{-\pi i{\frac {cn^{2}+bn}{a}}}}$.

• Определять

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&{\text{if}}\ m\equiv 1{\pmod {4}}\\i&{\text{if}}\ m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

для каждого нечетного целого числа m . Значения сумм Гаусса с b = 0 и gcd( a , c ) = 1 явно задаются выражением

${\displaystyle G(a,c)=G(a,0,c)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ c\equiv 2{\pmod {4}}\\\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {a}{c}}\right)&{\text{if}}\ c\equiv 1{\pmod {2}}\\(1+i)\varepsilon _{a}^{-1}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {c}{a}}\right)&{\text{if}}\ c\equiv 0{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

Здесь ( ⁠а/с⁠ ) — символ Якоби . Это знаменитая формула Карла Фридриха Гаусса .

• Для b > 0 суммы Гаусса в большинстве случаев можно легко вычислить, дополняя квадрат . Однако в некоторых случаях это не удается (например, c четное и b нечетное), которые можно относительно легко вычислить другими способами. Например, если c нечетно и gcd( a , c ) = 1 , имеем

${\displaystyle G(a,b,c)=\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\cdot \left({\frac {a}{c}}\right)e^{-2\pi i{\frac {\psi (a)b^{2}}{c}}},}$

где ψ ( a ) некоторое число с 4 ψ ( a ) a ≡ 1 (mod c ) . Другой пример: если 4 делит c , а b нечетно и, как всегда, gcd( a , c ) = 1 , то G ( a , b , c ) = 0 . Это можно, например, доказать следующим образом: из-за мультипликативного свойства сумм Гаусса нам нужно только показать, что G ( a , b , 2 ⁿ ) = 0, если n > 1 и a , b нечетны с НОД( a , в ) знак равно 1 . Если b нечетно, то ² + bn четно для всех 0 ≤ n < c − 1 . По лемме Гензеля для любого q уравнение an ² + bn + q = 0 имеет не более двух решений в /2 ⁿ . ^{[ необходимо разъяснение ]} Из-за аргумента подсчета число ² + bn пробегает все четные классы остатков по модулю c ровно два раза. Формула геометрической суммы тогда показывает, что G ( a , b , 2 ⁿ ) = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Если c — нечетное целое число без квадратов и gcd( a , c ) = 1 , то

${\displaystyle G(a,0,c)=\sum _{n=0}^{c-1}\left({\frac {n}{c}}\right)e^{\frac {2\pi ian}{c}}.}$

Если c не является бесквадратным, то правая часть обращается в нуль, а левая — нет. Часто правильную сумму еще называют квадратичной суммой Гаусса.

• Еще одна полезная формула

${\displaystyle G\left(n,p^{k}\right)=p\cdot G\left(n,p^{k-2}\right)}$

справедливо для k ≥ 2 и нечетного простого числа p , а также для k ≥ 4 и p = 2 .

Смотрите также

• Сумма Гаусса
• Гауссов период
• Куммеровая сумма
• Отношение Ландсберга – Шаара

Рекомендации

1. М. Мурти, С. Патак, Студент-математик Том. 86, №№ 1-2, январь-июнь (2017 г.), xx-yy ISSN: 0025-5742 https://mast.queensu.ca/~murty/quadratic2.pdf
2. Теорема 1.2.2 в BC Berndt, RJ Evans, KS Williams, Gauss and Jacobi Sums , John Wiley and Sons, (1998).

• Ирландия; Розен (1990). Классическое введение в современную теорию чисел . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-97329-Х.
• Берндт, Брюс К.; Эванс, Рональд Дж.; Уильямс, Кеннет С. (1998). Суммы Гаусса и Якоби . Уайли и сыновья. ISBN 0-471-12807-4.
• Иванец, Хенрик; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3633-1.