Симплектическая сумма

В математике , в частности в симплектической геометрии , симплектическая сумма — это геометрическая модификация симплектических многообразий , которая склеивает два заданных многообразия в одно новое. Это симплектическая версия связного суммирования вдоль подмногообразия, часто называемая суммой по волокнам.

Симплектическая сумма является обратной симплектическому разрезу , который разлагает заданное многообразие на две части. Вместе симплектическую сумму и разрез можно рассматривать как деформацию симплектических многообразий, аналогичную, например, деформации нормального конуса в алгебраической геометрии .

Симплектическая сумма была использована для построения ранее неизвестных семейств симплектических многообразий и для вывода соотношений между инвариантами Громова–Виттена симплектических многообразий.

Определение

Пусть и — два симплектических -многообразия и симплектическое -многообразие, вложенное как подмногообразие в оба и посредством ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (2n-2)}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$

${\displaystyle j_{i}:V\hookrightarrow M_{i},}$

такие, что классы Эйлера нормальных расслоений противоположны:

${\displaystyle e(N_{M_{1}}V)=-e(N_{M_{2}}V).}$

В статье 1995 года, в которой была определена симплектическая сумма, Роберт Гомпф доказал, что для любой ориентации -обратный изоморфизм

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

существует канонический изотопический класс симплектических структур на связной сумме

${\displaystyle (M_{1},V)\#(M_{2},V)}$

удовлетворяя нескольким условиям совместимости со слагаемыми . Другими словами, теорема определяет симплектическую операцию суммы , результатом которой является симплектическое многообразие, единственное с точностью до изотопии. ${\displaystyle M_{i}}$

Чтобы создать хорошо определенную симплектическую структуру, связная сумма должна быть выполнена с особым вниманием к выбору различных идентификаций. Грубо говоря, изоморфизм составлен с обращающей ориентацию симплектической инволюцией нормальных расслоений (или, скорее, их соответствующих проколотых единичных дисковых расслоений); затем эта композиция используется для склеивания с вдоль двух копий . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$

Обобщения

В более общем случае симплектическую сумму можно выполнить на одном симплектическом многообразии, содержащем две непересекающиеся копии , склеивая многообразие с собой вдоль двух копий. Предыдущее описание суммы двух многообразий тогда соответствует частному случаю, когда состоит из двух связных компонент, каждая из которых содержит копию . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$

Кроме того, сумму можно выполнять одновременно на подмногообразиях одинаковой размерности, пересекающихся трансверсально . ${\displaystyle X_{i}\subseteq M_{i}}$ ${\displaystyle V}$

Существуют и другие обобщения. Однако невозможно устранить требование иметь коразмерность два в , как показывает следующий аргумент. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Симплектическая сумма вдоль подмногообразия коразмерности требует симплектической инволюции -мерного кольца. Если эта инволюция существует, ее можно использовать для склеивания двух -мерных шаров вместе, чтобы сформировать симплектическую -мерную сферу . Поскольку сфера является компактным многообразием, симплектическая форма на ней индуцирует ненулевой класс когомологий ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle 2k}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle [\omega ]\in H^{2}(\mathbb {S} ^{2k},\mathbb {R} ).}$

Но эта вторая группа когомологий равна нулю, если только . Так что симплектическая сумма возможна только вдоль подмногообразия коразмерности два. ${\displaystyle 2k=2}$

Элемент идентичности

Для данного симплектического подмногообразия коразмерности два можно проективно дополнить нормальное расслоение в -расслоение ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$

${\displaystyle P:=\mathbb {P} (N_{M}V\oplus \mathbb {C} ).}$

Это содержит две канонические копии : нулевое сечение , которое имеет нормальное расслоение, равное расслоению в , и бесконечное сечение , которое имеет противоположное нормальное расслоение. Поэтому можно симплектически суммировать с ; результат снова , теперь играя роль : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle (M,V)}$ ${\displaystyle (P,V_{\infty })}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle (M,V)=((M,V)\#(P,V_{\infty }),V_{0}).}$

Итак, для любой конкретной пары существует элемент тождества для симплектической суммы. Такие элементы тождества использовались как при установлении теории, так и в вычислениях; см. ниже. ${\displaystyle (M,V)}$ ${\displaystyle P}$

Симплектическая сумма и разрез как деформация

Иногда бывает полезно рассматривать симплектическую сумму как семейство многообразий. В этом контексте заданные данные , , , , определяют единственное гладкое -мерное симплектическое многообразие и расслоение ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle j_{1}}$ ${\displaystyle j_{2}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle (2n+2)}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z\to D\subseteq \mathbb {C} }$

в котором центральное волокно является особым пространством

${\displaystyle Z_{0}=M_{1}\cup _{V}M_{2}}$

полученный путем объединения слагаемых вдоль , а общее волокно является симплектической суммой . (То есть все общие волокна являются членами уникального изотопического класса симплектической суммы.) ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z_{\epsilon }}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Грубо говоря, это семейство строится следующим образом. Выбираем неисчезающее голоморфное сечение тривиального комплексного линейного расслоения ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle N_{M_{1}}V\otimes _{\mathbb {C} }N_{M_{2}}V.}$

Тогда в прямой сумме

${\displaystyle N_{M_{1}}V\oplus N_{M_{2}}V,}$

с представлением нормального вектора к в , рассмотрим геометрическое место квадратного уравнения ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}=\epsilon \eta }$

для выбранного малого . Можно склеить оба (слагаемые с удаленными) на это локус; результатом будет симплектическая сумма . ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M_{i}\setminus V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Z_{\epsilon }}$

При изменении суммы естественным образом образуют семейство, описанное выше. Центральное волокно — это симплектическое сечение общего волокна. Таким образом, симплектическую сумму и сечение можно рассматривать вместе как квадратичную деформацию симплектических многообразий. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle Z_{\epsilon }}$ ${\displaystyle Z\to D}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

Важный пример возникает, когда одно из слагаемых является единичным элементом . Тогда общее волокно является симплектическим многообразием , а центральное волокно с нормальным расслоением «отсечено на бесконечности» для формирования -расслоения . Это аналогично деформации к нормальному конусу вдоль гладкого дивизора в алгебраической геометрии. Фактически, симплектические трактовки теории Громова–Виттена часто используют симплектическую сумму/разрез для «масштабирования целевых» аргументов, в то время как алгебро-геометрические трактовки используют деформацию к нормальному конусу для тех же самых аргументов. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$

Однако симплектическая сумма в общем случае не является сложной операцией. Сумма двух кэлеровых многообразий не обязательно должна быть кэлеровой.

История и применение

Симплектическая сумма была впервые четко определена в 1995 году Робертом Гомпфом. Он использовал ее, чтобы продемонстрировать, что любая конечно представленная группа появляется как фундаментальная группа симплектического четырехмерного многообразия. Таким образом, было показано, что категория симплектических многообразий намного больше категории кэлеровых многообразий.

Примерно в то же время Юджин Лерман предложил симплектическое разрезание как обобщение симплектического раздутия и использовал его для изучения симплектического фактора и других операций на симплектических многообразиях.

Ряд исследователей впоследствии исследовали поведение псевдоголоморфных кривых при симплектических суммах, доказав различные версии формулы симплектической суммы для инвариантов Громова–Виттена. Такая формула помогает вычислениям, позволяя разложить заданное многообразие на более простые части, чьи инварианты Громова–Виттена должны быть проще для вычисления. Другой подход заключается в использовании элемента тождества для записи многообразия в виде симплектической суммы ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (M,V)=(M,V)\#(P,V_{\infty }).}$

Формула для инвариантов Громова–Виттена симплектической суммы затем дает рекурсивную формулу для инвариантов Громова–Виттена . ${\displaystyle M}$

Ссылки

• Роберт Гомпф: Новая конструкция симплектических многообразий, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
• Дюса Макдафф и Дитмар Саламон: Введение в симплектическую топологию (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN  0-19-850451-9
• Дюса Макдафф и Дитмар Саламон: J-голоморфные кривые и симплектическая топология (2004) Публикации коллоквиума Американского математического общества, ISBN 0-8218-3485-1