Березинский

В математике и теоретической физике березиниан или супердетерминант является обобщением детерминанта на случай суперматриц . Назван в честь Феликса Березина . Березиниан играет роль, аналогичную детерминанту, при рассмотрении изменений координат для интегрирования на супермногообразии .

Определение

Березинский ярус однозначно определяется двумя определяющими свойствами:

• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }\,}$

где str( X ) обозначает суперслед X. В отличие от классического определителя, березиниан определен только для обратимых суперматриц .

Простейшим случаем для рассмотрения является березиниан суперматрицы с элементами в поле K. Такие суперматрицы представляют собой линейные преобразования супервекторного пространства над K. Конкретная четная суперматрица — это блочная матрица вида

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}}$

Такая матрица обратима тогда и только тогда, когда обе матрицы A и D являются обратимыми над K. Березиновская матрица X задается выражением

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}}$

Для обоснования отрицательного показателя степени см. формулу подстановки в нечетном случае.

В более общем случае рассмотрим матрицы с элементами в суперкоммутативной алгебре R. Тогда четная суперматрица имеет вид

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

где A и D имеют четные элементы, а B и C — нечетные. Такая матрица обратима тогда и только тогда, когда и A , и D обратимы в коммутативном кольце R ₀ ( четной подалгебре R ). В этом случае березиниан задается как

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.}$

Эти формулы хорошо определены, поскольку мы берем только определители матриц, элементы которых находятся в коммутативном кольце R ₀ . Матрица

${\displaystyle D-CA^{-1}B\,}$

известно как дополнение Шура к A относительно ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.}$

Нечетная матрица X может быть обратимой только в том случае, если число четных измерений равно числу нечетных измерений. В этом случае обратимость X эквивалентна обратимости JX , где

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}.}$

Тогда березиниан X определяется как

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\operatorname {Ber} (JX)=\det(C-DB^{-1}A)\det(-B)^{-1}.}$

Характеристики

• Березиниан всегда является единицей в кольце R ₀ . ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{-1})=\operatorname {Ber} (X)^{-1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{st})=\operatorname {Ber} (X)}$где обозначает супертранспонирование . ${\displaystyle X^{st}}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)}$

модуль Березина

Определитель эндоморфизма свободного модуля M можно определить как индуцированное действие на одномерную высшую внешнюю степень M. В суперсимметричном случае высшей внешней степени нет, но есть еще похожее определение березиниана следующим образом.

Предположим, что M — свободный модуль размерности ( p , q ) над R. Пусть A — (супер)симметричная алгебра S *( M *) дуальной M * для M. Тогда автоморфизм M действует на ext -модуль

${\displaystyle Ext_{A}^{p}(R,A)}$

(которая имеет размерность (1,0), если q четное, и размерность (0,1), если q нечетное)) как умножение на березиниан.

Смотрите также

• Интеграция Березина

Ссылки

• Березин, Феликс Александрович (1966) [1965], Метод вторичного квантования, Чистая и прикладная физика, т. 24, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-089450-5, МР  0208930
• Делинь, Пьер ; Морган, Джон В. (1999), «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернстайном)», в Делинь, Пьер ; Этингоф, Павел; Фрид, Дэниел С.; Джеффри, Лиза К.; Каждан, Дэвид; Морган, Джон В.; Моррисон, Дэвид Р.; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, т. 1 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, МР  1701597
• Манин, Юрий Иванович (1997), Калибровочная теория поля и комплексная геометрия (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61378-7