Суперэллипс

Семейство замкнутых математических кривых

Примеры суперэллипсов для ${\displaystyle a=1,\ b=0.75}$

Суперэллипс , также известный как кривая Ламе в честь Габриэля Ламе , представляет собой замкнутую кривую, напоминающую эллипс , сохраняющую геометрические особенности большой и малой полуосей , а также симметрию относительно них, но определяемую уравнением, которое допускает различные формы между прямоугольником и эллипсом.

В двумерной декартовой системе координат суперэллипс определяется как множество всех точек на кривой, удовлетворяющих уравнению , где и — положительные числа, называемые полудиаметрами или полуосями суперэллипса, и — положительный параметр, определяющий форму. Когда , суперэллипс является обычным эллипсом. Для форма более прямоугольная с закругленными углами, а для — более заостренная. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle 0<n<2}$

В полярной системе координат уравнение суперэллипса имеет вид (множество всех точек кривой удовлетворяет уравнению): ${\displaystyle (r,\theta )}$ $${\displaystyle r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!.}$$

Конкретные случаи

Эта формула определяет замкнутую кривую, содержащуюся в прямоугольнике − a ≤ x ≤ + a и − b ≤ y ≤ + b . Параметры и являются полудиаметрами или полуосями кривой. Общая форма кривой определяется значением показателя степени , как показано в следующей таблице: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

Если , фигура также называется гипоэллипс ; если , то гиперэллипс . При и , суперэллипс является границей шара в -норме . Крайние точки суперэллипса — это ( ) и ( ), а его четыре «угла» — это ( , ), где (иногда называемые «супернесом» ^[4] ). ${\displaystyle n<2}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pm a,0}$ ${\displaystyle 0,\pm b}$ ${\displaystyle \pm s_{a}}$ ${\displaystyle \pm s_{b}}$ ${\displaystyle s=2^{-1/n}}$

Математические свойства

Когда n — положительное рациональное число (в наименьшем смысле), то каждый квадрант суперэллипса представляет собой плоскую алгебраическую кривую порядка . ^[5] В частности, когда и n — четное целое число, то это кривая Ферма степени n . В этом случае она невырожденная, но в общем случае она будет вырожденной . Если числитель не четный, то кривая собирается из частей одной и той же алгебраической кривой в разных ориентациях. ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle a=b=1}$

Кривая задается параметрическими уравнениями (с параметром, не имеющим элементарной геометрической интерпретации) , где каждый может быть выбран отдельно, так что каждое значение дает четыре точки на кривой. Эквивалентно, позволяя диапазону , где функция знака равна Здесь не является углом между положительной горизонтальной осью и лучом из начала координат в точку, поскольку тангенс этого угла равен, в то время как в параметрических выражениях ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}$$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0\leq t<2\pi ,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y/x}$ ${\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{2/n}\neq \tan t.}$

Область

Площадь внутри суперэллипса может быть выражена через гамма-функцию как или через бета-функцию как $${\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}},}$$

${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).}$^[6]

Периметр

Периметр суперэллипса, как и периметр эллипса , не допускает решения в замкнутой форме , используя только элементарные функции . Точные решения для периметра суперэллипса существуют с использованием бесконечных сумм ; ^[7] их можно усечь, чтобы получить приближенные решения. Численное интегрирование является еще одним вариантом для получения оценок периметра с произвольной точностью.

Аппроксимация замкнутой формы, полученная с помощью символической регрессии , также является вариантом, который уравновешивает экономичность и точность. Рассмотрим суперэллипс, центрированный в начале координат двумерной плоскости. Теперь представьте, что суперэллипс (с параметром формы ) растянут таким образом, что первый квадрант (например, , ) представляет собой дугу от до , с . Затем длина дуги суперэллипса в пределах этого одного квадранта аппроксимируется как следующая функция от и : ^[8] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle (0,h)}$ ${\displaystyle h\geq 1}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$

h + (((((n-0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

Это приближение длины дуги в одном квадранте имеет точность в пределах ±0,2% для всех значений и может использоваться для эффективной оценки общего периметра суперэллипса. ${\displaystyle n}$

Кривая педали

Кривую педали вычислить относительно просто. В частности, педаль задается в полярных координатах как ^[9] $${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}$$ $${\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}$$

Обобщения

Обобщение этих форм может включать несколько подходов. Обобщения суперэллипса в более высоких измерениях сохраняют фундаментальную математическую структуру суперэллипса, адаптируя ее к различным контекстам и приложениям.

Более высокие измерения

Обобщения суперэллипса в более высоких измерениях сохраняют фундаментальную математическую структуру суперэллипса, адаптируя ее к различным контекстам и приложениям. ^[10]

• Суперэллипсоид расширяет суперэллипс в трех измерениях, создавая формы, которые варьируются от эллипсоидов до прямоугольных тел с закругленными краями. Суперэллипсоид определяется как множество всех точек , которые удовлетворяют уравнению: где и — положительные числа, называемые полуосями суперэллипсоида, а — положительный параметр, определяющий форму. ^[6] ${\displaystyle (x,y,z)}$ $${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{n}\!=1,}$$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$
• Гиперэллипсоид — это -мерный аналог эллипсоида ( и, по расширению, суперэллипсоида). Он определяется как множество всех точек , удовлетворяющих уравнению: где — положительные числа, называемые полуосями гиперэллипсоида, а — положительный параметр, определяющий форму. ^[11] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})}$ $${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{d}}{a_{d}}}\right|^{n}\!=1,}$$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{d}}$ ${\displaystyle n}$

Различные показатели

Вариации суперэллипса с разными показателями степени

Использование различных показателей степеней для каждого члена уравнения обеспечивает большую гибкость в формировании формы. ^[12]

Для двумерного случая уравнение имеет вид где либо равно, либо отличается от . Если , то это суперэллипс Ламе. Если , то кривая обладает большей гибкостью поведения и лучше подходит для описания некоторой экспериментальной информации. ^[11] ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1;m,n>0,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle m\neq n}$

Национальный центр исполнительских искусств

Для трехмерного случая в уравнении можно использовать три различные положительные степени , и . Если , получается суперэллипсоид. Если любые две или все три степени отличаются друг от друга, получается твердое тело, которое может обладать большей гибкостью в представлении реальных структурных данных, чем суперэллипсоид. Трехмерный суперэллипсоид с , и полудиаметрами , представляет собой структуру Национального центра исполнительских искусств в Китае. ^[11] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{p}\!=1}$ ${\displaystyle m=n=p}$ ${\displaystyle m=n=2.2}$ ${\displaystyle p=2.4}$ ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle c=0.5}$

В общем случае –мерном уравнение имеет вид , где В общем случае могут отличаться друг от друга. Это суперэллипсоид только в том случае, если . ^[11] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{N_{1}}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{N_{2}}\!+\ldots +\left|{\frac {x_{N}}{a_{N}}}\right|^{N_{N}}\!=1}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{N}}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{2}=\ldots =n_{N}=n}$

Связанные формы

Суперквадрики — это семейство фигур, включающее суперэллипсоиды как частный случай. Они используются в компьютерной графике и геометрическом моделировании для создания сложных, гладких фигур с легко настраиваемыми параметрами. ^{[13] Хотя} гиперсферы не являются прямым обобщением суперэллипсов, они также разделяют концепцию расширения геометрических фигур в более высокие измерения. Эти родственные фигуры демонстрируют универсальность и широкую применимость фундаментальных принципов, лежащих в основе суперэллипсов.

Анизотропное масштабирование

Анизотропное масштабирование подразумевает масштабирование формы по-разному вдоль разных осей, что обеспечивает дополнительный контроль над геометрией. Этот подход может быть применен к суперэллипсам, суперэллипсоидам и их более многомерным аналогам для создания более широкого спектра форм и лучшего соответствия конкретным требованиям в таких приложениях, как компьютерная графика, структурное проектирование и визуализация данных. Например, анизотропное масштабирование позволяет создавать формы, которые могут более точно моделировать объекты реального мира, регулируя пропорции вдоль каждой оси независимо. ^[14]

История

Общая декартова запись формы принадлежит французскому математику Габриэлю Ламе (1795–1870), который обобщил уравнение эллипса.

Внешние контуры букв «o» и «O» в шрифте Цапфа Melior описываются суперэллипсами с n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2,758

Шрифт Melior Германа Цапфа , опубликованный в 1952 году, использует суперэллипс для таких букв, как o . Тридцать лет спустя Дональд Кнут встроил возможность выбора между истинными эллипсами и суперэллипсами (оба аппроксимируются кубическими сплайнами ) в свою семью шрифтов Computer Modern .

Центральный фонтан Сергельсторга очерчен суперэллипсом с n = 2,5 и a / b = 6/5.

Суперэллипс был назван датским поэтом и ученым Питом Хайном (1905–1996), хотя он не открыл его, как это иногда утверждают. В 1959 году городские планировщики Стокгольма , Швеция, объявили конкурс на проектирование кольцевой развязки на городской площади Сергельс Торг . Победившее предложение Пита Хайна основывалось на суперэллипс с n = 2,5 и a / b = 6/5. ^[15] Как он объяснил это:

Человек — это животное, которое рисует линии, о которые он сам же потом и спотыкается. Во всей структуре цивилизации было две тенденции: одна к прямым линиям и прямоугольным узорам, а другая к круговым линиям. Для обеих тенденций есть причины, механические и психологические. Вещи, сделанные из прямых линий, хорошо подходят друг другу и экономят место. И мы можем легко перемещаться — физически или мысленно — вокруг вещей, сделанных из круглых линий. Но мы в смирительной рубашке, вынужденные принимать одно или другое, когда часто какая-то промежуточная форма была бы лучше. Нарисовать что-то от руки — например, лоскутное дорожное кольцо, которое они пытались сделать в Стокгольме, — не получится. Это не фиксировано, не определено, как круг или квадрат. Вы не знаете, что это. Это не эстетически удовлетворительно. Суперэллипс решил проблему. Он не круглый и не прямоугольный, а что-то среднее. И все же он фиксирован, он определен — у него есть единство.

Sergels Torg был завершён в 1967 году. Тем временем Пит Хайн продолжал использовать суперэллипс в других артефактах, таких как кровати, блюда, столы и т. д. ^[16] Вращая суперэллипс вокруг самой длинной оси, он создал суперяйцо , твёрдую яйцевидную форму, которая могла стоять вертикально на плоской поверхности и продавалась как новинка .

В 1968 году, когда участники переговоров в Париже по поводу войны во Вьетнаме не смогли договориться о форме стола переговоров, Балински, Кирон Андервуд и Холт в письме в New York Times предложили суперэллипсоидный стол . ^[15] Суперэллипс был использован для формы Олимпийского стадиона Ацтека 1968 года в Мехико .

Второй этаж первоначального Всемирного торгового центра в Нью-Йорке состоял из большого нависающего балкона в форме суперэллипса.

Уолдо Р. Тоблер разработал картографическую проекцию , гиперэллиптическую проекцию Тоблера , опубликованную в 1973 году ^[17] , в которой меридианы представляют собой дуги суперэллипсов.

Логотип новостной компании The Local состоит из наклонного суперэллипса, соответствующего пропорциям Sergels Torg. Три соединенных суперэллипса используются в логотипе Pittsburgh Steelers .

В вычислительной технике мобильная операционная система iOS использует суперэллипсную кривую для иконок приложений, заменяя стиль с закругленными углами, использовавшийся до версии 6. ^[18]

Смотрите также

• Астроида , суперэллипс с n  =  2 ⁄ 3 и a  =  b , является гипоциклоидой с четырьмя вершинами.
  • Дельтовидная кривая , гипоциклоида с тремя выступами.
• Сквиркл , суперэллипс с n  = 4 и a  =  b , выглядит как «четырехугольное колесо».
  • Треугольник Рёло , «Треугольное колесо».
• Суперформула , обобщение суперэллипса.
• Суперквадрики : суперэллипсоиды и супертороиды , трехмерные «родственники» суперэллипсов.
• Суперэллиптическая кривая , уравнение вида Y ⁿ = f ( X ).
• L ^p пространства

Ссылки

1. Ши, Пэй-Цзянь; Хуан, Цзянь-Го; Хуэй, Цан; Гриссино-Майер, Анри Д.; Тардиф, Жак К.; Чжай, Ли-Хун; Ван, Фу-Шэн; Ли, Бай-Лянь (15 октября 2015 г.). «Оценка спирального радиального роста хвойных с использованием суперэллипса для моделирования геометрической формы годичных колец». Frontiers in Plant Science . 6 : 856. doi : 10.3389/fpls.2015.00856 . ISSN  1664-462X. PMC  4606055 . PMID  26528316.
2. Барр (1981). «Суперквадрики и преобразования, сохраняющие углы». IEEE Computer Graphics and Applications . 1 (1): 11–23. doi :10.1109/MCG.1981.1673799. ISSN  1558-1756. S2CID  9389947.
3. Лю, Вэйсяо; У, Ювэй; Руан, Сипу; Чирикджян, Грегори С. (2022). «Надежное и точное суперквадратное восстановление: вероятностный подход». Конференция IEEE/CVF по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR) 2022 г. стр. 2666–2675. arXiv : 2111.14517 . doi :10.1109/CVPR52688.2022.00270. ISBN 978-1-6654-6946-3. S2CID  244715106.
4. Дональд Кнут: Книга METAFONTbook , стр. 126
5. "Astroid" (PDF) . Код Xah . Получено 14 марта 2023 г. .
6. "Эллипсоиды в высших измерениях". analyticphysics.com . Получено 19 июня 2024 г. .
7. "Superellipse (Lame curve)" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 31 марта 2022 г. . Получено 9 ноября 2023 г. .
8. Шарп, Питер. "AeroSandbox". GitHub . Получено 9 ноября 2023 г.
9. Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co., стр. 164.
10. Boult, Terrance E.; Gross, Ari D. (19 февраля 1988 г.). «Восстановление суперквадриков из трехмерной информации». В Casasent, David P.; Hall, Ernest L. (ред.). Intelligent Robots and Computer Vision VI . SPIE Proceedings. Vol. 0848. SPIE. стр. 358. Bibcode :1988SPIE..848..358B. doi :10.1117/12.942759.
11. Ni, BY; Elishakoff, I.; Jiang, C.; Fu, CM; Han, X. (1 ноября 2016 г.). «Обобщение концепции суперэллипсоида и ее применение в механике». Прикладное математическое моделирование . 40 (21): 9427–9444. doi :10.1016/j.apm.2016.06.011. ISSN  0307-904X.
12. Ченг, Синьюй; Ли, Чэнбо; Пэн, Исюэ; Чжао, Чуан (17 апреля 2021 г.). «Дискретно-элементное моделирование систем суперэллипса». Гранулированная материя . 23 (2): 50. дои :10.1007/с10035-021-01107-4. ISSN  1434-7636.
13. "SuperQuadrics - Applications". www.cs.mcgill.ca . Получено 18 июня 2024 г. .
14. Лэнд, Ричард; Фоли, Джеймс Д.; Дам, Андрис Ван (1984). «Основы интерактивной компьютерной графики». Leonardo . 17 (1): 59. doi :10.2307/1574879. ISSN  0024-094X. JSTOR  1574879.
15. Gardner, Martin (1977), "Суперэллипс Пита Хейна" , Математический карнавал. Новый обзор заманчивых загадок и головоломок из Scientific American , Нью-Йорк: Vintage Press , стр. 240–254, ISBN 978-0-394-72349-5
16. Суперэллипс, в «Руководстве по жизни, Вселенной и всему остальному » от BBC (27 июня 2003 г.)
17. Тоблер, Уолдо (1973), «Гиперэллиптические и другие новые псевдоцилиндрические равновеликие картографические проекции», Журнал геофизических исследований , 78 (11): 1753–1759, Bibcode : 1973JGR....78.1753T, CiteSeerX 10.1.1.495.6424 , doi : 10.1029/JB078i011p01753. 
18. Мюнттинен, Иво. «Руководство по дизайну iOS».

Внешние ссылки

• Соколов, ДД (2001) [1994], "Кривая Ламе", Энциклопедия математики , EMS Press
• «Кривая Ламе» на MathCurve.
• Вайсштейн, Эрик В. «Суперэллипс». MathWorld .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Хромые кривые», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс
• «Суперэллипс» на 2dcurves.com
• Калькулятор и генератор шаблонов суперэллипса
• Набор инструментов для подгонки суперэллипса в MATLAB
• Код C для подгонки суперэллипсов