Площадь – это мера размера региона на поверхности . Площадь плоской области или плоская область относится к площади формы или плоской пластинки , а площадь поверхности относится к площади открытой поверхности или границе трехмерного объекта . Под площадью можно понимать количество материала заданной толщины, которое потребуется для изготовления модели определенной формы, или количество краски, необходимое для покрытия поверхности одним слоем. [ 1] Это двумерный аналог длины кривой ( одномерная концепция) или объема твердого тела (трехмерная концепция). Две разные области могут иметь одинаковую площадь (как при квадратуре круга ); в синекдохе слово «площадь» иногда используется для обозначения региона, например, « многоугольная область ».
Площадь фигуры можно измерить, сравнивая ее с квадратами фиксированного размера. [2] В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей площади является квадратный метр (записывается как м 2 ), который представляет собой площадь квадрата, сторона которого составляет один метр . [3] Фигура площадью три квадратных метра будет иметь такую же площадь, как три таких квадрата. В математике площадь единичного квадрата определяется как единица, а площадь любой другой формы или поверхности представляет собой безразмерное действительное число .
Существует несколько известных формул площадей простых фигур, таких как треугольники , прямоугольники и круги . Используя эти формулы, площадь любого многоугольника можно найти, разделив многоугольник на треугольники . [4] Для фигур с изогнутой границей обычно требуется расчет площади. Действительно, проблема определения площади плоских фигур была основным мотивом исторического развития исчисления . [5]
Для твердой формы, такой как сфера , конус или цилиндр, площадь ее граничной поверхности называется площадью поверхности . [1] [6] [7] Формулы для площадей поверхности простых форм были вычислены древними греками , но вычисление площади поверхности более сложной формы обычно требует многомерного исчисления .
Площадь играет важную роль в современной математике. Помимо своей очевидной важности в геометрии и исчислении, площадь связана с определением определителей в линейной алгебре и является основным свойством поверхностей в дифференциальной геометрии . [8] В анализе площадь подмножества плоскости определяется с использованием меры Лебега , [9] хотя не каждое подмножество измеримо, если предположить аксиому выбора. [10] В целом, площадь в высшей математике рассматривается как частный случай объема двумерных областей. [1]
Площадь можно определить с помощью аксиом, определяя ее как функцию набора определенных плоских фигур в набор действительных чисел. Можно доказать, что такая функция существует.
Подход к определению того, что подразумевается под «площадью», основан на аксиомах . «Площадь» можно определить как функцию набора M особых видов плоских фигур (называемых измеримыми множествами) до набора действительных чисел, которая удовлетворяет следующим свойствам: [11]
Можно доказать, что такая функция площади действительно существует. [12]
Каждой единице длины соответствует единица площади, а именно площадь квадрата с данной длиной стороны. Таким образом, площади можно измерять в квадратных метрах (м 2 ), квадратных сантиметрах (см 2 ), квадратных миллиметрах ( мм 2 ), квадратных километрах (км 2 ), квадратных футах ( футах 2 ), квадратных ярдах ( ярда 2 ), квадратных милях. (ми 2 ) и так далее. [13] Алгебраически эти единицы можно рассматривать как квадраты соответствующих единиц длины.
Единицей площади в системе СИ является квадратный метр, который считается производной единицей системы СИ . [3]
Расчет площади квадрата, длина и ширина которого равны 1 метру, будет выглядеть следующим образом:
1 метр × 1 метр = 1 м 2
Итак, прямоугольник с разными сторонами (скажем, длина 3 метра и ширина 2 метра) будет иметь площадь в квадратных единицах, которую можно рассчитать как:
3 метра × 2 метра = 6 м 2 . Это эквивалентно 6 миллионам квадратных миллиметров. Другие полезные преобразования:
В неметрических единицах преобразование между двумя квадратными единицами представляет собой квадрат преобразования между соответствующими единицами длины.
соотношение между квадратными футами и квадратными дюймами
где 144 = 12 2 = 12 × 12. Аналогично:
Кроме того, коэффициенты пересчета включают в себя:
Есть несколько других общих единиц площади. Это была первоначальная единица площади в метрической системе :
Хотя площадь вышла из употребления, гектар по-прежнему широко используется для измерения земли: [13]
Другие необычные метрические единицы площади включают тетраду , гектаду и мириаду .
Акр также обычно используется для измерения земельных площадей, где
Акр составляет примерно 40% гектара.
В атомном масштабе площадь измеряется в амбарах , так что: [13]
Сарай обычно используется при описании площади поперечного сечения взаимодействия в ядерной физике . [13]
В Южной Азии (в основном в Индии), хотя страны используют единицы СИ в качестве официальных, многие жители Южной Азии по-прежнему используют традиционные единицы. Каждое административное деление имеет свою единицу площади, некоторые из них имеют одинаковые названия, но разные значения. Официального консенсуса относительно значений традиционных единиц измерения нет. Таким образом, преобразования между единицами СИ и традиционными единицами могут иметь разные результаты в зависимости от того, какая ссылка использовалась. [14] [15] [16] [17]
Некоторые традиционные единицы Южной Азии, имеющие фиксированную стоимость:
В V веке до нашей эры Гиппократ Хиосский был первым, кто показал, что площадь диска (область, заключенная в круг) пропорциональна квадрату его диаметра, как часть его квадратуры луны Гиппократа [ 18] . ], но не определил константу пропорциональности . Евдокс Книдский , также живший в V веке до нашей эры, также обнаружил, что площадь диска пропорциональна квадрату его радиуса. [19]
Впоследствии в книге I «Начал» Евклида речь шла о равенстве площадей двумерных фигур. Математик Архимед в своей книге «Измерение круга» использовал инструменты евклидовой геометрии , чтобы показать, что площадь внутри круга равна площади прямоугольного треугольника , основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга . (Окружность равна 2 π r , а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, что дает площадь π r 2 диска.) Архимед аппроксимировал значение π (и, следовательно, площадь круга единичного радиуса ) своим методом удвоения , в котором он вписывал правильный треугольник в круг и отмечал его площадь, затем удваивал количество сторон, чтобы получить правильный шестиугольник , а затем неоднократно удваивал количество сторон по мере того, как площадь многоугольника становилась все ближе и ближе к этой площади. круга (и сделал то же самое с описанными многоугольниками ).
Герон Александрийский нашел так называемую формулу Герона для площади треугольника через его стороны, и доказательство можно найти в его книге « Метрика» , написанной около 60 г. н.э. Было высказано предположение, что Архимед знал эту формулу более двух столетий назад, [20] и, поскольку Метрика представляет собой собрание математических знаний, доступных в древнем мире, возможно, что формула появилась раньше, чем ссылка, приведенная в этой работе. [21] В 300 г. до н. э. греческий математик Евклид в своей книге «Элементы геометрии» доказал, что площадь треугольника равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и высотой . [22]
В 499 году Арьябхата , великий математик - астроном классической эпохи индийской математики и индийской астрономии , выразил площадь треугольника как половину произведения основания на высоту в Арьябхатии (раздел 2.6).
Формула, эквивалентная формуле Герона, была открыта китайцами независимо от греков. Оно было опубликовано в 1247 году в «Шушу Цзючжан» (« Математический трактат в девяти разделах »), написанном Цинь Цзюшао .В VII веке нашей эры Брахмагупта разработал формулу, теперь известную как формула Брахмагупты , для определения площади вписанного четырехугольника ( четырехугольника , вписанного в круг) через его стороны. В 1842 году немецкие математики Карл Антон Бретшнайдер и Карл Георг Кристиан фон Штаудт независимо друг от друга нашли формулу, известную как формула Бретшнайдера , для площади любого четырехугольника.
Разработка декартовых координат Рене Декартом в 17 веке позволила Гауссу в 19 веке разработать формулу геодезиста для площади любого многоугольника с известным расположением вершин .
Развитие интегрального исчисления в конце 17 века предоставило инструменты, которые впоследствии можно было использовать для вычисления более сложных областей, таких как площадь эллипса и площади поверхности различных изогнутых трехмерных объектов.
Для несамопересекающегося ( простого ) многоугольника, декартовы координаты ( i =0, 1, ..., n -1) n вершин которого известны, площадь определяется по формуле геодезиста : [23]
где, когда i = n -1, тогда i +1 выражается как модуль n и поэтому относится к 0.
Самая простая формула площади — это формула площади прямоугольника . Для прямоугольника длиной l и шириной w формула площади следующая: [2]
То есть площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В частном случае, поскольку l = w в случае квадрата, площадь квадрата с длиной стороны s определяется по формуле: [1] [2]
Формула площади прямоугольника вытекает непосредственно из основных свойств площади и иногда принимается как определение или аксиома . С другой стороны, если геометрия разрабатывается раньше арифметики , эту формулу можно использовать для определения умножения действительных чисел .
Большинство других простых формул площади следуют из метода рассечения . Это предполагает разрезание фигуры на части, площади которых должны быть равны площади исходной фигуры. Например, любой параллелограмм можно разделить на трапецию и прямоугольный треугольник , как показано на рисунке слева. Если треугольник переместить на другую сторону трапеции, то полученная фигура будет прямоугольником. Отсюда следует, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника: [2]
Однако тот же параллелограмм можно разрезать и по диагонали на два равных треугольника, как показано на рисунке справа. Отсюда следует, что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма: [2]
Аналогичные аргументы можно использовать для нахождения формул площади трапеции [24], а также более сложных многоугольников . [25]
Формула площади круга ( более правильно называемого площадью, заключенной в круг или площадь диска ) основана на аналогичном методе. Учитывая круг радиуса r , его можно разделить на сектора , как показано на рисунке справа. Каждый сектор имеет примерно треугольную форму, и сектора можно переставлять, образуя приблизительный параллелограмм. Высота этого параллелограмма равна r , а ширина равна половине длины окружности, или π r . Таким образом, общая площадь круга равна π r 2 : [2]
Хотя разделение, используемое в этой формуле, является лишь приблизительным, ошибка становится все меньше и меньше по мере того, как круг разбивается на все больше и больше секторов. Предел площадей приближенных параллелограммов равен ровно π r 2 , что соответствует площади круга. [26]
Этот аргумент на самом деле представляет собой простое применение идей исчисления . В древние времена метод исчерпания использовался аналогичным образом для нахождения площади круга, и теперь этот метод признан предшественником интегрального исчисления . Используя современные методы, площадь круга можно вычислить с помощью определенного интеграла :
Формула площади, заключенной в эллипс , связана с формулой круга; для эллипса с большой и малой полуосями x и y формула : [2]
Большинство основных формул площади поверхности можно получить, разрезав поверхности и выровняв их (см.: Развертывающиеся поверхности ). Например, если боковую поверхность цилиндра ( или любой призмы ) разрезать вдоль, поверхность можно расплющить в прямоугольник. Аналогично, если сделать разрез вдоль стороны конуса , боковую поверхность можно расплющить в сектор круга и вычислить полученную площадь.
Формулу площади поверхности сферы вывести сложнее: поскольку сфера имеет ненулевую гауссову кривизну , ее нельзя сплющить. Формула площади поверхности сферы впервые была получена Архимедом в его работе « О сфере и цилиндре» . Формула: [6]
где r — радиус сферы. Как и в случае с формулой площади круга, любой вывод этой формулы по своей сути использует методы, аналогичные исчислению .
Чтобы найти ограниченную площадь между двумя квадратичными функциями , мы сначала вычитаем одну из другой, записывая разницу так: где f ( x ) — квадратичная верхняя граница, а g ( x ) — квадратичная нижняя граница. Используя приведенные выше формулы интеграла площади и формулу Виеты , мы можем получить, что [28] [29] Вышеизложенное остается в силе, если одна из ограничивающих функций является линейной, а не квадратичной.
Общая формула площади поверхности графика непрерывно дифференцируемой функции где и – область в плоскости xy с гладкой границей:
Еще более общая формула площади графика параметрической поверхности в векторной форме где – непрерывно дифференцируемая векторная функция : [8]
Приведенные выше расчеты показывают, как найти площади многих распространенных фигур .
Площади неправильных (и, следовательно, произвольных) многоугольников можно вычислить с помощью « формулы геодезиста » (формулы шнурков). [26]
Изопериметрическое неравенство гласит, что для замкнутой кривой длины L (поэтому область, которую она охватывает, имеет периметр L ) и для площади A области, которую она ограничивает,
и равенство имеет место тогда и только тогда, когда кривая представляет собой круг . Таким образом, круг имеет наибольшую площадь среди всех замкнутых фигур с данным периметром.
С другой стороны, фигура с заданным периметром L может иметь сколь угодно малую площадь, как показано на ромбе , который «опрокинут» на сколь угодно далеко так, что два его угла сколь угодно близки к 0°, а два других сколь угодно близки. до 180°.
Для круга отношение площади к окружности (термин, обозначающий периметр круга) равно половине радиуса r . Это видно из формулы площади πr 2 и формулы окружности 2 πr .
Площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (где апофема — это расстояние от центра до ближайшей точки на любой стороне).
Удвоение длины ребра многоугольника умножает его площадь на четыре, что составляет два (отношение длины новой стороны к старой), возведенное в степень двойки (размер пространства, в котором находится многоугольник). Но если все одномерные длины фрактала, нарисованного в двух измерениях, удваиваются, пространственное содержание фрактала масштабируется в степени двойки, которая не обязательно является целым числом. Эта мощность называется фрактальной размерностью фрактала. [31]
Существует бесконечное количество линий, делящих площадь треугольника пополам. Три из них являются медианами треугольника (которые соединяют середины сторон с противоположными вершинами), и они совпадают в центроиде треугольника ; действительно, это единственные биссектрисы площади, проходящие через центроид. Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности ). В любом треугольнике их может быть один, два или три.
Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит площадь пополам.
Все биссектрисы круга или другого эллипса проходят через центр, а любые хорды, проходящие через центр, делят площадь пополам. В случае круга это диаметры круга.
Учитывая контур провода, поверхность наименьшей площади, охватывающая («заполняющая») его, является минимальной поверхностью . Знакомые примеры включают мыльные пузыри .
Вопрос о площади заполнения римановой окружности остается открытым. [32]
Круг имеет наибольшую площадь среди всех двумерных объектов с таким же периметром.
Циклический многоугольник ( вписанный в окружность) имеет наибольшую площадь среди всех многоугольников с заданным количеством сторон одинаковой длины.
Версия изопериметрического неравенства для треугольников гласит, что треугольник наибольшей площади среди всех треугольников с данным периметром является равносторонним . [33]
Треугольник наибольшей площади из всех вписанных в данный круг является равносторонним; и треугольник наименьшей площади из всех описанных вокруг данной окружности является равносторонним. [34]
Отношение площади вписанной окружности к площади равностороннего треугольника больше, чем у любого неравностороннего треугольника. [35]
Отношение площади к квадрату периметра равностороннего треугольника больше, чем у любого другого треугольника. [33]
Однако косвенным рассуждением Евдокс (пятый век до н. э.) использовал истощение, чтобы доказать известную формулу площади круга: