Основная особенность

Место, вокруг которого функция демонстрирует нестандартное поведение

График функции exp(1/ z ) , центрированный на существенной сингулярности при z = 0 . Оттенок представляет комплексный аргумент , яркость представляет абсолютное значение . Этот график показывает, как приближение к существенной сингулярности с разных направлений приводит к разному поведению (в отличие от полюса, который при приближении с любого направления будет равномерно белым).

Модель, иллюстрирующая существенную сингулярность комплексной функции 6 w = exp(1/(6 z ))

В комплексном анализе существенной особенностью функции является «жесткая» особенность , вблизи которой функция демонстрирует поразительное поведение.

Категория сущностной сингулярности — это «остаточная» или группа по умолчанию изолированных сингулярностей , которые особенно неуправляемы: по определению они не вписываются ни в одну из двух других категорий сингулярностей, с которыми можно было бы как-то справиться — устранимые сингулярности и полюса . На практике некоторые ^{[ кто? ]} включают также неизолированные сингулярности; у них нет остатка .

Формальное описание

Рассмотрим открытое подмножество комплексной плоскости . Пусть будет элементом , а голоморфная функция . Точка называется существенной особенностью функции , если особенность не является ни полюсом , ни устранимой особенностью . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

Например, функция имеет существенную особенность при . ${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$ ${\displaystyle z=0}$

Альтернативные описания

Пусть — комплексное число , и предположим, что не определено в , но является аналитическим в некоторой области комплексной плоскости, и что каждая открытая окрестность имеет непустое пересечение с . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$

Если существуют оба, и , то есть устранимая особенность обоих , и . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

Если существует, но не существует (фактически ), то является нулем и полюсом . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}|1/f(z)|=\infty }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

Аналогично, если не существует (на самом деле ) , но существует, то является полюсом и нулем . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}|f(z)|=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

Если ни , ни не существует, то есть существенная особенность обоих и . ${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ ${\displaystyle \lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$

Другой способ охарактеризовать существенную особенность состоит в том, что ряд Лорана в точке имеет бесконечно много членов отрицательной степени (т. е. главная часть ряда Лорана является бесконечной суммой). Связанное определение состоит в том, что если существует точка , для которой никакая производная от не сходится к пределу при стремлении к , то является существенной особенностью . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(z)(z-a)^{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$

На сфере Римана с точкой в ​​бесконечности , , функция имеет существенную особенность в этой точке тогда и только тогда, когда имеет существенную особенность в 0: т.е. ни , ни не существует. ^[2] Дзета- функция Римана на сфере Римана имеет только одну существенную особенность в . ^[3] Действительно, каждая мероморфная функция, за исключением той, которая не является рациональной функцией, имеет единственную существенную особенность в . ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle {f(z)}}$ ${\displaystyle {f(1/z)}}$ ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{f(1/z)}}$ ${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{f(1/z)}}}$ ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$

Поведение голоморфных функций вблизи их существенных особенностей описывается теоремой Казорати–Вейерштрасса и значительно более сильной великой теоремой Пикара . Последняя утверждает, что в каждой окрестности существенной особенности функция принимает каждое комплексное значение, за исключением, возможно, одного, бесконечно много раз. (Исключение необходимо; например, функция никогда не принимает значение 0.) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \exp(1/z)}$

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Essential Singularity". MathWorld . Wolfram . Получено 11 февраля 2014 г. .
2. "Бесконечность как изолированная сингулярность" (PDF) . Получено 2022-01-06 .
3. Штеудинг, Йорн; Суриаджая, Аде Ирма (2020-11-01). «Распределение значений дзета-функции Римана вдоль ее линий Жюлиа». Вычислительные методы и теория функций . 20 (3): 389–401. doi : 10.1007/s40315-020-00316-x . hdl : 2324/4483207 . ISSN  2195-3724.

• Ларс В. Альфорс; Комплексный анализ , McGraw-Hill, 1979
• Раджендра Кумар Джейн, SRK Айенгар; Высшая инженерная математика . Страница 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4 

Внешние ссылки

• «Неотъемлемая особенность» Стивена Вольфрама , Демонстрационный проект Вольфрама .
• Основная сингулярность на планете Math