Описанная сфера

Сфера, касающаяся всех вершин многогранника

Описанная сфера куба

В геометрии описанная сфера многогранника — это сфера , которая содержит многогранник и касается каждой из его вершин . ^[1] Иногда слово « описанная сфера» используется для обозначения того же самого, по аналогии с термином «описанная окружность» . ^[2] Как и в случае двумерных описанных окружностей (описанных окружностей), радиус сферы, описанной вокруг многогранника P , называется радиусом описанной окружности P , [ ^3] а центральная точка этой сферы называется центром описанной окружности P. [ ^4]

Существование и оптимальность

Когда она существует, описанная сфера не обязательно должна быть наименьшей сферой, содержащей многогранник ; например, тетраэдр, образованный вершиной куба и его тремя соседями, имеет ту же описанную сферу, что и сам куб, но может быть заключен в меньшую сферу, имеющую три соседние вершины на своем экваторе. Однако наименьшая сфера, содержащая данный многогранник, всегда является описанной сферой выпуклой оболочки подмножества вершин многогранника. ^[5]

В работе De solidorum elementis (около 1630 г.) Рене Декарт заметил, что для многогранника с описанной сферой все грани имеют описанные окружности, окружности, где плоскость грани встречается с описанной сферой. Декарт предположил, что это необходимое условие для существования описанной сферы достаточно, но это неверно: некоторые бипирамиды , например, могут иметь описанные окружности для своих граней (все из которых являются треугольниками), но все еще не иметь описанной сферы для всего многогранника. Однако всякий раз, когда простой многогранник имеет описанную окружность для каждой из своих граней, он также имеет описанную сферу. ^[6]

Связанные концепции

Описанная сфера — это трехмерный аналог описанной окружности . Все правильные многогранники имеют описанные сферы, но большинство неправильных многогранников не имеют описанных сфер, поскольку в общем случае не все вершины лежат на общей сфере. Описанная сфера (когда она существует) — это пример ограничивающей сферы , сферы, которая содержит заданную форму. Можно определить наименьшую ограничивающую сферу для любого многогранника и вычислить ее за линейное время . ^[5]

Другие сферы, определенные для некоторых, но не для всех многогранников, включают среднюю сферу , сферу, касательную ко всем ребрам многогранника, и вписанную сферу , сферу, касательную ко всем граням многогранника. В правильных многогранниках вписанная сфера, средняя сфера и описанная сфера существуют и являются концентрическими . ^[7]

Когда описанная сфера представляет собой множество бесконечных предельных точек гиперболического пространства , многогранник, который она описывает, называется идеальным многогранником .

Точка на описанной сфере

Существует пять выпуклых правильных многогранников , известных как Платоновы тела . Все Платоновы тела имеют описанные сферы. Для произвольной точки на описанной сфере каждого Платонового тела с числом вершин , если — расстояния до вершин , то ^[8] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle MA_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle 4(MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+...+MA_{n}^{2})^{2}=3n(MA_{1}^{4}+MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).}$

Ссылки

1. Джеймс, RC (1992), Математический словарь, Springer, стр. 62, ISBN 9780412990410.
2. Попко, Эдвард С. (2012), Разделенные сферы: геодезические и упорядоченное подразделение сферы, CRC Press, стр. 144, ISBN 9781466504295.
3. Смит, Джеймс Т. (2011), Методы геометрии, John Wiley & Sons, стр. 419, ISBN 9781118031032.
4. Альтшиллер-Корт, Натан (1964), Современная чистая стереометрия (2-е изд.), Chelsea Pub. Co., стр. 57.
5. Фишер, Каспар; Гертнер, Бернд; Куц, Мартин (2003), "Быстрое вычисление наименьшего охватывающего шара в больших размерностях", Алгоритмы - ESA 2003: 11-й ежегодный европейский симпозиум, Будапешт, Венгрия, 16-19 сентября 2003 г., Труды (PDF) , Lecture Notes in Computer Science , т. 2832, Springer, стр. 630–641, doi :10.1007/978-3-540-39658-1_57, ISBN 978-3-540-20064-2.
6. Федерико, Паскуале Джозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование «De solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, т. 4, Springer, стр. 52–53
7. Коксетер, HSM (1973), «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение», Регулярные многогранники (3-е изд.), Дувр, стр. 16–17, ISBN 0-486-61480-8.
8. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Сообщения по математике и приложениям . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 2024-09-12).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Окружность». MathWorld .