Тензорный оператор

Тензорный оператор обобщает понятие операторов, которые являются скалярами и векторами.

В чистой и прикладной математике , квантовой механике и компьютерной графике тензорный оператор обобщает понятие операторов , которые являются скалярами и векторами . Особый класс из них — сферические тензорные операторы , применяющие понятия сферического базиса и сферических гармоник . Сферический базис тесно связан с описанием углового момента в квантовой механике и сферических гармонических функций. Бескоординатное обобщение тензорного оператора известно как оператор представления . ^[1]

Общее понятие скалярных, векторных и тензорных операторов.

В квантовой механике физические наблюдаемые, являющиеся скалярами, векторами и тензорами, должны быть представлены скалярными, векторными и тензорными операторами соответственно. Является ли что-либо скаляром, вектором или тензором, зависит от того, как оно рассматривается двумя наблюдателями, чьи системы координат связаны друг с другом вращением. В качестве альтернативы можно задаться вопросом, как для одного наблюдателя преобразуется физическая величина, если состояние системы меняется. Рассмотрим, например, систему, состоящую из молекулы массы , движущейся с определенным импульсом центра масс , в направлении. Если мы повернём систему вокруг оси , импульс изменится на , что соответствует направлению . Однако кинетическая энергия центра масс молекулы не изменится при . Кинетическая энергия является скаляром, а импульс — вектором, и эти две величины должны быть представлены скалярным и векторным операторами соответственно. Под последним, в частности, мы подразумеваем оператор, ожидаемые значения которого в начальном и повернутом состояниях равны и . С другой стороны, кинетическая энергия должна быть представлена ​​скалярным оператором, ожидаемое значение которого должно быть одинаковым в начальном и повернутом состояниях. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p^{2}/2M}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {z}} }}$ ${\displaystyle p{\mathbf {\hat {x}} }}$

Точно так же тензорные величины должны быть представлены тензорными операторами. Примером тензорной величины (второго ранга) является электрический квадрупольный момент указанной выше молекулы. Аналогично, октупольный и гексадекапольный моменты будут тензорами третьего и четвертого ранга соответственно.

Другими примерами скалярных операторов являются оператор полной энергии (чаще называемый гамильтонианом ), потенциальная энергия и энергия диполь-дипольного взаимодействия двух атомов. Примерами векторных операторов являются импульс, положение, орбитальный угловой момент и спиновый угловой момент . (Мелкий шрифт: угловой момент является вектором с точки зрения вращения, но в отличие от положения или импульса он не меняет знак при инверсии пространства, и когда кто-то хочет предоставить эту информацию, его называют псевдовектором.) ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

Скалярные, векторные и тензорные операторы также могут быть образованы произведениями операторов. Например, скалярное произведение двух векторных операторов и является скалярным оператором, который занимает видное место в обсуждениях спин-орбитального взаимодействия . Аналогично, тензор квадрупольного момента молекулы в нашем примере имеет девять компонентов ${\displaystyle {\mathbf {L} }\cdot {\mathbf {S} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {L} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {S} }}$

$${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }\left(3r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij}\right).}$$

${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle q_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle r_{\alpha ,i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{\alpha ,i}r_{\alpha ,j}}$ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{\alpha }}$

Вращения квантовых состояний

Оператор квантового вращения

Оператор вращения вокруг единичного вектора n (определяющего ось вращения) на угол θ равен

$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$$

где J = ( J _x , J _y , J _z ) — генераторы вращения (также матрицы углового момента):

$${\displaystyle J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&i&0\\-i&0&i\\0&-i&0\end{pmatrix}}\,\quad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

и пусть будет матрицей вращения . Согласно формуле вращения Родригеса , оператор вращения тогда равен ${\displaystyle {\widehat {R}}={\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})}$

$${\displaystyle U[R(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})]=1\!\!1-{\frac {i\sin \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} -{\frac {1-\cos \theta }{\hbar ^{2}}}({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}.}$$

Оператор инвариантен относительно унитарного преобразования U , если ${\displaystyle {\widehat {\Omega }}}$

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U;}$$

${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$

$${\displaystyle {\widehat {\Omega }}={U(R)}^{\dagger }{\widehat {\Omega }}U(R)=\exp \left({\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right){\widehat {\Omega }}\exp \left(-{\frac {i\theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} \right).}$$

Собственные угловой момент

Ортонормированный базисный набор для полного углового момента равен , где j - квантовое число полного углового момента, а m - квантовое число магнитного углового момента, которое принимает значения - j , - j + 1, ..., j - 1, j . Общее состояние в подпространстве j ${\displaystyle |j,m\rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}|j,m\rangle }$$

переходит в новое состояние:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =U(R)|\psi \rangle =\sum _{m}c_{jm}U(R)|j,m\rangle }$$

Используя условие полноты :

$${\displaystyle I=\sum _{m'}|j,m'\rangle \langle j,m'|}$$

у нас есть

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =IU(R)|\psi \rangle =\sum _{mm'}c_{jm}|j,m'\rangle \langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

Представляем элементы матрицы Вигнера D :

$${\displaystyle {D(R)}_{m'm}^{(j)}=\langle j,m'|U(R)|j,m\rangle }$$

дает умножение матрицы:

$${\displaystyle |{\bar {\psi }}\rangle =\sum _{mm'}c_{jm}D_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle \quad \Rightarrow \quad |{\bar {\psi }}\rangle =D^{(j)}|\psi \rangle }$$

Для одного базисного набора:

$${\displaystyle |{\overline {j,m}}\rangle =\sum _{m'}{D(R)}_{m'm}^{(j)}|j,m'\rangle }$$

В случае орбитального углового момента собственные состояния оператора орбитального углового момента L и решения уравнения Лапласа на трехмерной сфере являются сферическими гармониками : ${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )=\langle \theta ,\phi |\ell ,m\rangle ={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\phi }}$$

где P _ℓ ^m — ассоциированный полином Лежандра , ℓ — квантовое число орбитального углового момента, а m — орбитальное магнитное квантовое число , которое принимает значения — ℓ, — ℓ + 1, ... ℓ — 1, ℓ. Формализм сферические гармоники имеют широкое применение в прикладной математике и тесно связаны с формализмом сферических тензоров, как показано ниже.

Сферические гармоники являются функциями полярного и азимутального углов φ и θ соответственно, которые можно удобно собрать в единичный вектор n ( θ , φ ), указывающий в направлении этих углов, в декартовом базисе это:

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}(\theta ,\phi )=\cos \phi \sin \theta \mathbf {e} _{x}+\sin \phi \sin \theta \mathbf {e} _{y}+\cos \theta \mathbf {e} _{z}}$$

Поэтому можно записать и сферическую гармонику . Сферические гармонические состояния вращаются согласно обратной матрице вращения , а вращаются по исходной матрице вращения . ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=\langle \mathbf {n} |\ell m\rangle }$ ${\displaystyle |m,\ell \rangle }$ ${\displaystyle U(R^{-1})}$ ${\displaystyle |\ell ,m\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {U}}(R)}$

$${\displaystyle |{\overline {\ell ,m}}\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(\ell )}[U(R^{-1})]|\ell ,m'\rangle \,,\quad |{\overline {\hat {\mathbf {n} }}}\rangle =U(R)|{\hat {\mathbf {n} }}\rangle }$$

Вращение тензорных операторов

Мы определяем вращение оператора, требуя, чтобы математическое ожидание исходного оператора по отношению к начальному состоянию было равно математическому ожиданию повернутого оператора по отношению к повернутому состоянию: ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {A} }}}$

$${\displaystyle \langle \psi '|{\widehat {A'}}|\psi '\rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

Теперь, как

$${\displaystyle |\psi \rangle ~\rightarrow ~|\psi '\rangle =U(R)|\psi \rangle \,,\quad \langle \psi |~\rightarrow ~\langle \psi '|=\langle \psi |U^{\dagger }(R)}$$

у нас есть,

$${\displaystyle \langle \psi |U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)|\psi \rangle =\langle \psi |{\widehat {A}}|\psi \rangle }$$

поскольку является произвольным, ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle U^{\dagger }(R){\widehat {A}}'U(R)={\widehat {A}}}$$

Скалярные операторы

Скалярный оператор инвариантен относительно вращений: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {S}}U(R)={\widehat {S}}}$$

Это эквивалентно тому, что скалярный оператор коммутирует с генераторами вращения:

$${\displaystyle \left[{\widehat {S}},{\widehat {\mathbf {J} }}\right]=0}$$

Примеры скалярных операторов включают в себя

• энергетический оператор :
  $${\displaystyle {\widehat {E}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$$
• потенциальная энергия V (только в случае центрального потенциала)
  $${\displaystyle {\widehat {V}}(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=V(r,t)\psi (\mathbf {r} ,t)}$$
• кинетическая энергия Т :
  $${\displaystyle {\widehat {T}}\psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\nabla ^{2}\psi )(\mathbf {r} ,t)}$$
• спин -орбитальная связь :
  $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}={\widehat {L}}_{x}{\widehat {S}}_{x}+{\widehat {L}}_{y}{\widehat {S}}_{y}+{\widehat {L}}_{z}{\widehat {S}}_{z}\,.}$$

Векторные операторы

Векторные операторы (а также псевдовекторные операторы) представляют собой набор из трех операторов, которые можно вращать согласно: ^[2]

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{i}U(R)=\sum _{j}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}}$$

$${\displaystyle \langle {\bar {\psi }}|{\widehat {V}}_{a}|{\bar {\psi }}\rangle =\langle \psi |{U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)|\psi \rangle =\sum _{b}R_{ab}\langle \psi |{\widehat {V}}_{b}|\psi \rangle }$$

| Ψ ⟩

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{a}U(R)=\sum _{b}R_{ab}{\widehat {V}}_{b}}$$

| ψ ⟩

Из приведенного выше соотношения для бесконечно малых вращений и леммы Бейкера Хаусдорфа , приравнивая коэффициенты порядка , можно вывести коммутационное соотношение с генератором вращения: ^[2] ${\displaystyle \delta \theta }$

$${\displaystyle {\left[{\widehat {V}}_{a},{\widehat {J}}_{b}\right]=\sum _{c}i\hbar \varepsilon _{abc}{\widehat {V}}_{c}}}$$

εijkсимвол Леви-Чивита _,леммы Бейкера Хаусдорфаε _ijkпсевдотензоромс точностью доправильных вращенийнеправильных вращений

Поскольку можно показать, что операторы образуют векторный оператор посредством своего коммутационного соотношения с компонентами углового момента (которые являются генераторами вращения), его примеры включают:

• оператор позиции :
  $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {r} }}\psi =\mathbf {r} \psi }$$
• оператор импульса :
  $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}\psi =-i\hbar \nabla \psi }$$

и операторы пеусодовектора включают

• оператор орбитального углового момента :
  $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}\psi =-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla \psi }$$
• а также оператор спина S и, следовательно, полный угловой момент
  $${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}\,.}$$

Скалярные операторы из векторных операторов

Если и являются двумя векторными операторами, скалярное произведение между двумя векторными операторами можно определить как: ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}=\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}}$

При вращении координат вновь определенный оператор преобразуется как:

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)={U(R)}^{\dagger }\left(\sum _{i=1}^{3}{\hat {V_{i}}}{\hat {W_{i}}}\right)U(R)=\sum _{i=1}^{3}({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{i}U(R))=\sum _{i=1}^{3}\left(\sum _{j=1}^{3}R_{ij}{\widehat {V}}_{j}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{ik}{\widehat {W}}_{k}\right)}$$

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\left(\sum _{i=1}^{3}R_{ji}^{T}R_{ik}\right){\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\delta _{j,k}{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{k}=\sum _{i=1}^{3}{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{i}}$$

${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$

Сферические векторные операторы

Векторным оператором в сферическом базисе является V = ( V ₊₁ , V ₀ , V ₋₁ ) , где компоненты: ^[2]

$${\displaystyle V_{+1}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}+iV_{y})\,\quad V_{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(V_{x}-iV_{y})\,,\quad V_{0}=V_{z}\,,}$$

${\textstyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},V_{+1}\right]&=+\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{z},V_{0}\right]&=0V_{0}\\[1ex]\left[J_{z},V_{-1}\right]&=-\hbar V_{-1}\\[2ex]\left[J_{+},V_{+1}\right]&=0\\[1ex]\left[J_{+},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{+1}\\[1ex]\left[J_{+},V_{-1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[2ex]\left[J_{-},V_{+1}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{0}\\[1ex]\left[J_{-},V_{0}\right]&={\sqrt {2}}\hbar V_{-1}\\[1ex]\left[J_{-},V_{-1}\right]&=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

которые имеют сходную форму

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}|1,+1\rangle &=+\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{z}|1,0\rangle &=0|1,0\rangle \\[1ex]J_{z}|1,-1\rangle &=-\hbar |1,-1\rangle \\[2ex]J_{+}|1,+1\rangle &=0\\[1ex]J_{+}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,+1\rangle \\[1ex]J_{+}|1,-1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[2ex]J_{-}|1,+1\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,0\rangle \\[1ex]J_{-}|1,0\rangle &={\sqrt {2}}\hbar |1,-1\rangle \\[1ex]J_{-}|1,-1\rangle &=0\\[1ex]\end{aligned}}}$$

В сферическом основании генераторами вращения являются:

$${\displaystyle J_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}J_{\pm }\,,\quad J_{0}=J_{z}}$$

Из преобразования операторов и леммы Бейкера Хаусдорфа :

${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)={\widehat {V}}_{q}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},{\widehat {V}}_{q}\right]+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}},.]\right)^{k}}{k!}}{\widehat {V}}_{q}=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot Ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {V}}_{q}}$

по сравнению с

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =|j,k\rangle -i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}|j,k\rangle +\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\left(-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}\right)^{k}}{k!}}|j,k\rangle =exp\left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle }$

можно утверждать, что коммутатор с оператором заменяет действие оператора на состояние при преобразованиях операторов по сравнению с действием состояний:

${\displaystyle U(R)|j,k\rangle =\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{j',k'}|j',k'\rangle \langle j',k'|\exp \left({-i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,k\rangle =\sum _{k'}D_{k'k}^{(j)}(R)|j,k'\rangle }$

Тогда преобразование вращения в сферическом базисе (первоначально записанном в декартовом базисе) происходит из-за сходства коммутации и оператора, показанного выше:

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {V}}_{q}U(R)=\sum _{q'}{{D_{q'q}^{(1)}}(R^{-1})}{\widehat {V}}_{q'}}$$

Понятие векторного оператора можно легко обобщить на тензорные операторы , показанные ниже.

Тензорные операторы

В общем, тензорный оператор — это оператор, который преобразует согласно тензору:

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }^{abc\cdots }U(R)=R_{p,\alpha }R_{q,\beta }R_{r,\gamma }\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }^{\alpha \beta \gamma \cdots }R_{i,a}^{-1}R_{j,b}^{-1}R_{k,c}^{-1}\cdots }$$

${\displaystyle R^{-1}}$ ${\displaystyle R}$

В последующем обсуждении тензорных операторов индексные обозначения, касающиеся ковариантного/контравариантного поведения, полностью игнорируются. Вместо этого контравариантные компоненты подразумеваются контекстом. Следовательно, для n-кратного контравариантного тензора: ^[2]

$${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{pqr\cdots }U(R)=R_{pi}R_{qj}R_{rk}\cdots {\widehat {T}}_{ijk\cdots }}$$

Примеры тензорных операторов

• Оператор квадрупольного момента ,
  $${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\alpha }q_{\alpha }(3r_{\alpha i}r_{\alpha j}-r_{\alpha }^{2}\delta _{ij})}$$
• Компоненты двух тензорных векторных операторов можно умножить, чтобы получить другой тензорный оператор.
  $${\displaystyle T_{ij}=V_{i}W_{j}}$$
  В общем случае n тензорных операторов также даст еще один тензорный оператор
  $${\displaystyle T_{pqr\cdots k}=V_{p}^{(1)}V_{q}^{(2)}V_{r}^{3)}\cdots V_{k}^{(n)}}$$
  или,
  $${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots j_{1}j_{2}\cdots }=V_{i_{1}i_{2}\cdots }W_{j_{1}j_{2}\cdots }}$$

Примечание. Как правило, тензорный оператор не может быть записан как тензорное произведение других тензорных операторов, как показано в приведенном выше примере.

Тензорный оператор из векторных операторов

Если и - два трехмерных векторных оператора, то декартовы двоичные тензоры ранга 2 могут быть сформированы из девяти операторов вида ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)={U(R)}^{\dagger }({\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}})U(R)=({U(R)}^{\dagger }{\hat {V}}_{i}U(R))({U(R)}^{\dagger }{\hat {W}}_{j}U(R))=\left(\sum _{l=1}^{3}R_{il}{\hat {V}}_{l}\cdot \sum _{k=1}^{3}R_{jk}{\hat {W}}_{k}\right)}$$

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\hat {T}}_{ij}U(R)=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\left(R_{il}R_{jk}{\hat {T}}_{lk}\right)}$$

${\displaystyle R^{-1}}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {T} }}={\vec {V}}\otimes {\vec {W}}=({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j})}$$

Заметим, что подпространство, натянутое линейными комбинациями компонент тензора второго ранга, образует инвариантное подпространство, т.е. подпространство не меняется при вращении, поскольку преобразованные компоненты сами по себе представляют собой линейную комбинацию компонентов тензора. Однако это подпространство не является неприводимым, т.е. его можно дополнительно разделить на инвариантные подпространства при вращении. В противном случае подпространство называется приводимым. Другими словами, существуют определенные наборы различных линейных комбинаций компонентов, которые при вращении превращаются в линейную комбинацию того же набора. ^[3] В приведенном выше примере мы покажем, что 9 независимых компонентов тензора можно разделить на набор из 1, 3 и 5 комбинаций операторов, каждый из которых образует неприводимые инвариантные подпространства.

Неприводимые тензорные операторы

Подпространство, охватываемое можно разделить на два подпространства; три независимых антисимметричных компонента и шесть независимых симметричных компонентов , определяемых как и . Используя формулу преобразования при вращении, можно показать, что оба и преобразуются в линейную комбинацию членов своих собственных множеств. Хотя это и нередуцируемо, то же самое нельзя сказать о . ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {A}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {S}}_{ij}\}}$

Набор из шести независимых симметричных компонентов можно разделить на пять независимых бесследовых симметричных компонентов, а инвариантный след может быть отдельным подпространством.

Следовательно, инвариантные подпространства образуются соответственно: ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Один инвариантный след тензора, ${\displaystyle {\hat {t}}=\sum _{k=1}^{3}{\hat {T}}_{kk}}$
2. Три линейно независимых антисимметричных компонента из: ${\displaystyle {\hat {A}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}-{\hat {T}}_{ji})}$
3. Пять линейно независимых бесследовых симметричных компонентов из ${\displaystyle {\hat {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}({\hat {T}}_{ij}+{\hat {T}}_{ji})-{\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}}$

Если , то инвариантные подпространства сформированного представлены: ^[4] ${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\hat {V_{i}}}{\hat {W_{j}}}}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

1. Один инвариантный скалярный оператор ${\displaystyle {\vec {V}}\cdot {\vec {W}}}$
2. Три линейно независимых компонента из ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})}$
3. Пять линейно независимых компонентов из ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}}$

В приведенных выше примерах девять компонентов разделены на подпространства, образованные одним, тремя и пятью компонентами. Эти числа суммируются с количеством компонентов исходного тензора аналогично размерности векторных подпространств, добавляющей размерность пространства, которая является прямой суммой этих подпространств. Аналогично каждый элемент можно выразить через линейную комбинацию компонентов из его инвариантных подпространств: ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$ ${\displaystyle \{{\hat {T}}_{ij}\}}$

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}{\hat {t}}\delta _{ij}+{\hat {A}}_{ij}+{\hat {S}}_{ij}}$

или

${\displaystyle {\hat {T}}_{ij}={\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}-{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})\right)+\left({\frac {1}{2}}({\hat {V}}_{i}{\hat {W}}_{j}+{\hat {V}}_{j}{\hat {W}}_{i})-{\frac {1}{3}}({\vec {V}}\cdot {\vec {W}})\delta _{ij}\right)=\mathbf {T} ^{(0)}+\mathbf {T} ^{(1)}+\mathbf {T} ^{(2)}}$

где:

$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(0)}={\frac {{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}}{3}}\delta _{ij}}$$

$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(1)}={\frac {1}{2}}\left[{\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}-{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right]={\widehat {V}}_{[i}{\widehat {W}}_{j]}}$$

$${\displaystyle {\widehat {T}}_{ij}^{(2)}={\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {V}}_{i}{\widehat {W}}_{j}+{\widehat {V}}_{j}{\widehat {W}}_{i}\right)-{\tfrac {1}{3}}{\widehat {V}}_{k}{\widehat {W}}_{k}\delta _{ij}={\widehat {V}}_{(i}{\widehat {W}}_{j)}-T_{ij}^{(0)}}$$

В общем случае декартовы тензоры ранга больше 1 приводимы. В квантовой механике этот конкретный пример имеет сходство с добавлением двух частиц со спином один, где обе являются трехмерными, следовательно, общее пространство, являющееся девятимерным, может быть образовано системами со спином 0, спином 1 и спином 2, каждая из которых имеет одномерную, трехмерную системы. мерное и пятимерное пространство соответственно. ^[4] Эти три члена неприводимы, что означает, что их нельзя разложить дальше и при этом они остаются тензорами, удовлетворяющими определяющим законам преобразования, согласно которым они должны быть инвариантными. Каждое из неприводимых представлений T ⁽⁰⁾ , T ⁽¹⁾ , T ⁽²⁾ ... преобразуется как собственное состояние углового момента в соответствии с количеством независимых компонентов.

Возможно, что у данного тензора одна или несколько из этих компонент исчезают. Например, тензор квадрупольного момента уже симметричен и бесследен и, следовательно, изначально имеет только 5 независимых компонент. ^[3]

Сферические тензорные операторы

Сферические тензорные операторы обычно определяются как операторы со следующим правилом преобразования при вращении системы координат:

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Коммутационные отношения можно найти, разложив левую и правую части как: ^[4]

${\displaystyle U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}\left(1-{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)=\sum _{m'}\langle j,m'|\left(1+{\frac {i\epsilon {\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar }}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\right)|j,m\rangle {\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

Упрощая и применяя ограничения для выбора только членов первого порядка, мы получаем:

${\displaystyle {[{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}]=\sum _{m'}{\widehat {T}}_{m'}^{(j)}\langle j,m'|{\vec {J}}\cdot {\hat {n}}|j,m\rangle }$

При выборе или получаем: ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {x}}\pm i{\hat {y}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}={\hat {z}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{\pm },{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}{\widehat {T}}_{m\pm 1}^{(j)}\\[1ex]\left[J_{z},{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\right]&=\hbar m{\widehat {T}}_{m}^{(j)}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\pm }|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}|j,m\pm 1\rangle \\[1ex]J_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}}$$

${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle J_{\pm }}$

Если справедливы только коммутационные соотношения, используя следующее соотношение: ${\displaystyle |j,m\rangle \rightarrow U(R)|j,m\rangle =exp\left(-{i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot {\vec {J}}}\right)|j,m\rangle =\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R)|j,m'\rangle }$

находим из-за подобия действий на волновую функцию и коммутационных соотношений на , что: ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle |j,m\rangle }$ ${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}}$

${\displaystyle {\widehat {T}}_{m}^{(j)}\rightarrow U(R)^{\dagger }{\widehat {T}}_{m}^{(j)}U(R)=exp\left({i{\frac {\theta }{\hbar }}{\hat {n}}\cdot ad_{\vec {J}}}\right){\widehat {T}}_{m}^{(j)}=\sum _{m'}D_{m'm}^{(j)}(R^{-1}){\widehat {T}}_{m'}^{(j)}}$

где экспоненциальный вид задается леммой Бейкера–Хаусдорфа . Следовательно, приведенные выше коммутационные соотношения и свойство преобразования являются эквивалентными определениями сферических тензорных операторов. Также можно показать, что они преобразуются как вектор из-за их коммутационного отношения. ${\displaystyle \{ad_{{\hat {J}}_{i}}\}}$

В следующем разделе будет обсуждаться построение сферических тензоров. Например, поскольку показан пример сферических векторных операторов, его можно использовать для построения сферических тензорных операторов более высокого порядка. В общем, сферические тензорные операторы могут быть построены с двух точек зрения. ^[5] Один из способов — указать, как сферические тензоры трансформируются при физическом вращении — теоретико-групповое определение. Собственное состояние повернутого углового момента можно разложить на линейную комбинацию исходных собственных состояний: коэффициенты в линейной комбинации состоят из элементов матрицы вращения Вигнера. Или, продолжив предыдущий пример двоичного тензора второго порядка T = a ⊗ b , приведя каждый из a и b к сферическому базису и подставив в T , получим сферические тензорные операторы второго порядка. ^{[ нужна цитата ]}

Построение с использованием коэффициентов Клебша – Гордана.

Можно доказать, что комбинация двух сферических тензоров с использованием коэффициентов Клебша – Гордана следующим образом дает еще один сферический тензор вида: ^[4] ${\displaystyle A_{q_{1}}^{(k_{1})}}$ ${\displaystyle B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$

$${\displaystyle T_{q}^{(k)}=\sum _{q_{1},q_{2}}\langle k_{1},k_{2};q_{1},q_{2}|k_{1},k_{2};k,q\rangle A_{q_{1}}^{(k_{1})}B_{q_{2}}^{(k_{2})}}$$

Это уравнение можно использовать для построения сферических тензорных операторов более высокого порядка, например, сферических тензорных операторов второго порядка с использованием двух сферических тензорных операторов первого порядка, скажем A и B, обсуждавшихся ранее:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {T}}_{\pm 2}^{(2)}&={\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{\pm 1}\\[1ex]{\widehat {T}}_{\pm 1}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\widehat {a}}_{\pm 1}{\widehat {b}}_{0}+{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{\pm 1}\right)\\[1ex]{\widehat {T}}_{0}^{(2)}&={\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\left({\widehat {a}}_{+1}{\widehat {b}}_{-1}+{\widehat {a}}_{-1}{\widehat {b}}_{+1}+2{\widehat {a}}_{0}{\widehat {b}}_{0}\right)\end{aligned}}}$$

Используя бесконечно малый оператор вращения и его эрмитово сопряжение, можно вывести коммутационное соотношение в сферическом базисе:

$${\displaystyle \left[J_{a},{\widehat {T}}_{q}^{(2)}\right]=\sum _{q'}{D(J_{a})}_{qq'}^{(2)}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}=\sum _{q'}\langle j{=}2,m{=}q|J_{a}|j{=}2,m{=}q'\rangle {\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$

$${\displaystyle {U(R)}^{\dagger }{\widehat {T}}_{q}^{(2)}U(R)=\sum _{q'}{{D(R)}_{qq'}^{(2)}}^{*}{\widehat {T}}_{q'}^{(2)}}$$

Использование сферических гармоник

Определите оператор по его спектру:

$${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}|r\rangle =r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )|r\rangle =\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})|r\rangle }$$

$${\displaystyle Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |k,q\rangle \rightarrow U(R)^{\dagger }Y_{\ell =k}^{m=q}(\mathbf {n} )U(R)=Y_{\ell =k}^{m=q}(R\mathbf {n} )=\langle \mathbf {n} |D(R)^{\dagger }|k,q\rangle =\sum _{q'}D_{q',q}^{(k)}(R^{-1})Y_{\ell =k}^{m=q'}(\mathbf {n} )}$$

$${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})\rightarrow U(R)^{\dagger }\Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})U(R)=\sum _{m'}D_{m',m}^{(l)}(R^{-1})\Upsilon _{l}^{m'}({\vec {r}})}$$

_xyz^ ${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {V}})}$ ${\displaystyle {\vec {V}}}$ ${\displaystyle \Upsilon _{l}^{m}({\vec {r}})=r^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=\Upsilon _{l}^{m}(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{m}^{(l)}}$

Эрмитово сопряжение сферического тензора можно определить как

$${\displaystyle (T^{\dagger })_{q}^{(k)}=(-1)^{k-q}(T_{-q}^{(k)})^{\dagger }.}$$

(−1) ^{± q,[6]}эрмитовых^[7]qkнижний предел^[8]

Угловой момент и сферические гармоники

Орбитальный угловой момент и сферические гармоники

Операторы орбитального углового момента имеют лестничные операторы :

$${\displaystyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$$

которые повышают или понижают орбитальное магнитное квантовое число m _ℓ на одну единицу. Он имеет почти ту же форму, что и сферический базис, за исключением постоянных мультипликативных множителей.

Сферические тензорные операторы и квантовый спин

Сферические тензоры также могут быть сформированы из алгебраических комбинаций операторов спина S _x , S _y , S _z в качестве матриц для спиновой системы с полным квантовым числом j = ℓ + s (и ℓ = 0). Операторы спина имеют операторы лестницы:

$${\displaystyle S_{\pm }=S_{x}\pm iS_{y}}$$

которые увеличивают или уменьшают спиновое магнитное квантовое число m _s на одну единицу.

Приложения

Сферические основания имеют широкое применение в чистой и прикладной математике и физических науках, где встречается сферическая геометрия.

Дипольные радиационные переходы в одноэлектронном атоме (щелочи)

Амплитуда перехода пропорциональна матричным элементам дипольного оператора между начальным и конечным состояниями. Мы используем электростатическую бесспиновую модель атома и рассматриваем переход от начального уровня энергии E _nℓ к конечному уровню E _n′ℓ′ . Эти уровни вырождены, поскольку энергия не зависит от магнитного квантового числа m или m'. Волновые функции имеют вид

$${\displaystyle \psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R_{n\ell }(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$$

Оператор диполя пропорционален оператору положения электрона, поэтому мы должны оценить матричные элементы вида:

$${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|\mathbf {r} |n\ell m\rangle }$$

где начальное состояние находится справа, а конечное — слева. Оператор положения r имеет три компонента, а начальный и конечный уровни состоят из 2ℓ + 1 и 2ℓ′ + 1 вырожденных состояний соответственно. Поэтому, если мы хотим оценить интенсивность спектральной линии в том виде, в котором она будет наблюдаться, нам действительно нужно оценить 3(2ℓ'+ 1)(2ℓ+ 1) матричных элементов, например, 3×3×5 = 45 в Переход 3d → 2p. Как мы увидим, на самом деле это преувеличение, поскольку многие матричные элементы исчезают, но остается еще много ненулевых матричных элементов, которые необходимо вычислить.

Большого упрощения можно добиться, выражая компоненты r не относительно декартова базиса, а относительно сферического базиса. Сначала мы определяем,

$${\displaystyle r_{q}={\hat {\mathbf {e} }}_{q}\cdot \mathbf {r} }$$

Далее, проверив таблицу Y _ℓm , мы обнаруживаем, что для ℓ = 1 имеем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}rY_{11}(\theta ,\phi )&=&&-r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left(-{\frac {x+iy}{\sqrt {2}}}\right)\\rY_{10}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos(\theta )&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}z\\rY_{1-1}(\theta ,\phi )&=&&r{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin(\theta )e^{-i\phi }&=&{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\left({\frac {x-iy}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$

где мы умножили каждый Y _{1 м} на радиус r . С правой стороны мы видим сферические компоненты r _q вектора положения r . Результаты можно обобщить следующим образом:

$${\displaystyle rY_{1q}(\theta ,\phi )={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}r_{q}}$$

для q = 1, 0, −1, где q явно выступает как магнитное квантовое число. Это уравнение показывает связь между векторными операторами и значением углового момента ℓ = 1, о чем нам еще предстоит сказать. Теперь матричные элементы становятся произведением радиального интеграла на угловой интеграл:

$${\displaystyle \langle n'\ell 'm'|r_{q}|n\ell m\rangle =\left(\int _{0}^{\infty }r^{2}drR_{n'\ell '}^{*}(r)rR_{n\ell }(r)\right)\left({\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\int \sin {(\theta )}d\Omega Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{1q}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\right)}$$

Мы видим, что вся зависимость от трёх магнитных квантовых чисел (m′,q,m) содержится в угловой части интеграла. Кроме того, угловой интеграл можно оценить по формуле трех Y _ℓm , после чего он становится пропорциональным коэффициенту Клебша-Гордана:

$${\displaystyle \langle \ell 'm'|\ell 1mq\rangle }$$

Радиальный интеграл не зависит от трех магнитных квантовых чисел ( m ', q , m ), и трюк, который мы только что использовали, не помогает нам его оценить. Но это только один интеграл, и после того, как это будет сделано, все остальные интегралы можно будет вычислить, просто вычислив или найдя коэффициенты Клебша – Гордана.

Правило отбора m ′ = q + m в коэффициенте Клебша–Гордана означает, что многие интегралы обращаются в нуль, поэтому мы преувеличили общее количество интегралов, которые необходимо выполнить. Но если бы мы работали с декартовыми компонентами r _i of r , это правило выбора могло бы быть неочевидным. В любом случае, даже при использовании правила отбора, все равно может оказаться много ненулевых интегралов (девять в случае 3d → 2p). Только что приведенный нами пример упрощения расчета матричных элементов для дипольного перехода на самом деле является применением теоремы Вигнера–Экарта, которую мы рассмотрим позже в этих заметках.

Магнитный резонанс

Формализм сферических тензоров обеспечивает общую платформу для рассмотрения когерентности и релаксации в ядерном магнитном резонансе . В ЯМР и ЭПР операторы сферических тензоров используются для выражения квантовой динамики вращения частиц посредством уравнения движения для элементов матрицы плотности или для формулирования динамики в терминах уравнения движения в пространстве Лиувилля . Уравнение движения в пространстве Лиувилля управляет наблюдаемыми средними значениями спиновых переменных. Когда релаксация формулируется с использованием сферического тензорного базиса в пространстве Лиувилля, достигается понимание, поскольку матрица релаксации напрямую демонстрирует кросс-релаксацию спиновых наблюдаемых. ^[5]

Обработка изображений и компьютерная графика

Смотрите также

• Теорема Вигнера – Эккарта
• Тензор структуры
• Коэффициенты Клебша – Гордана для SU (3)

Рекомендации

Примечания

1. Дживанджи, Надир (2015). Введение в тензоры и теорию групп для физиков (2-е изд.). Биркгаузер. ISBN 978-0-8176-4714-8.
2. Э. Аберс (2004). «5». Квантовая механика . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-13-146100-0.
3. Литтлджон, Роберт Г. (23 сентября 2023 г.). «Неприводимые тензорные операторы и теорема Вигнера-Экарта» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 февраля 2023 года . Проверено 23 сентября 2023 г.
4. Сакураи, Джун Дж.; Наполитано, Джим Дж. (2014). Современная квантовая механика (2-е изд.). Нью-Дели: Pearson Education India. ISBN 978-93-325-1900-8.
5. Р. Д. Нильсен; Б. Х. Робинсон (2006). «Формализм сферического тензора в применении к релаксации в магнитном резонансе». Концепции магнитного резонанса . Часть A. 28А (4): 270–271. doi : 10.1002/cmr.a.20055 . Проверено 06 апреля 2023 г.

Источники

• П.Т. Каллаган (2011). Трансляционная динамика и магнитный резонанс: принципы ЯМР импульсного градиентного спинового эха. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-191-621-048.
• В.В. Балашов; А. Н. Грум-Гржимайло; Н. М. Кабачник (2000). Поляризационные и корреляционные явления в атомных столкновениях: курс практической теории. Спрингер. ISBN 9780306462665.
• Я. А. Тушинский (1990). Сферические тензорные операторы: таблицы матричных элементов и симметрий. Всемирная научная. ISBN 978-981-0202-835.
• Л. Кастеллани; Дж. Весс (1996). Квантовые группы и их применение в физике: Варенна на озере Комо, Вилла Монастеро, 28 июня – 8 июля 1994 г. Società Italiana di Fisica, IOS. ISBN 978-905-199-24-72.
• Введение в графическую теорию углового момента. Спрингер. 2009. ISBN 978-364-203-11-99.
• А. Р. Эдмондс (1996). Угловой момент в квантовой механике (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-025-896.
• Ж. Дж. Мюллер (2011). «Тензоры и вращения в ЯМР». Концепции магнитного резонанса . Часть A. 38А (5): 221–235. doi : 10.1002/cmr.a.20224. S2CID  8889942.
• М. С. Анвар (2004). «Сферические тензорные операторы в ЯМР» (PDF) .
• П. Каллаган (1993). Принципы ядерно-магнитно-резонансной микроскопии. Издательство Оксфордского университета. стр. 56–57. ISBN 978-0-198-539-971.

дальнейшее чтение

Сферические гармоники

• ГВФ Дрейк (2006). Справочник Springer по атомной, молекулярной и оптической физике (2-е изд.). Спрингер. п. 57. ИСБН 978-0-3872-6308-3.
• Ф.А. Дален; Дж. Тромп (1998). Теоретическая глобальная сейсмология (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. п. приложение C. ISBN 978-0-69100-1241.
• Д.О. Томпсон; ДЕ Чименти (1997). Обзор прогресса в области количественного неразрушающего контроля. Том. 16. Спрингер. п. 1708. ISBN 978-0-3064-55971.
• Х. Паец; Г. Шик (2011). Ядерная физика с поляризованными частицами. Конспект лекций по физике. Том. 842. Спрингер. п. 31. ISBN 978-364-224-225-0.
• В. Деванатан (1999). Методы углового момента в квантовой механике. Фундаментальные теории физики. Том. 108. Спрингер. стр. 34, 61. ISBN. 978-0-7923-5866-4.
• В.Д. Клейман; Р. Н. Заре (1998). «5». Спутник углового момента . Джон Уайли и сыновья. п. 112. ИСБН 978-0-4711-9249-7.

Угловой момент и спин

• Деванатан, В. (2002). «Векторы и тензоры в сферическом базисе». Методы углового момента в квантовой механике . Фундаментальные теории физики. Том. 108. С. 24–33. дои : 10.1007/0-306-47123-X_3. ISBN 978-0-306-47123-0.
• КТ Хехт (2000). Квантовая механика. Дипломные тексты по современной физике. Спрингер. ISBN 978-0-387-989-198.

Физика конденсированного состояния

• Дж. А. Меттес; Дж. Б. Кейт; РБ МакКлерг (2002). «Глобальные фазовые диаграммы молекулярных кристаллов: I метод построения» (PDF) .
• Б. Хендерсон, Р. Х. Бартрам (2005). Кристаллополевая инженерия твердотельных лазерных материалов. Кембриджские исследования по современной оптике. Том. 25. Издательство Кембриджского университета. п. 49. ИСБН 978-0-52101-8012.
• Эдвард У. Кондон и Халис Одабаши (1980). Атомная структура. Архив Кубка. ISBN 978-0-5212-98933.
• Мелинда Дж. Дуэр, изд. (2008). «3». ЯМР-спектроскопия твердого тела: принципы и приложения . Джон Уайли и сыновья. п. 113. ИСБН 978-0-4709-9938-7.
• К.Д. Бонин; В.В. Кресин (1997). «2». Электро-дипольные поляризуемости атомов, молекул и кластеров . Всемирная научная. стр. 14–15. ISBN 978-981-022-493-6.
• А.Е. МакДермотт, Т.Поленова (2012). Твердотельный ЯМР-исследования биополимеров. Справочники ЭМИ. Джон Уайли и сыновья. п. 42. ИСБН 978-111-858-889-5.

Магнитный резонанс

• Ж. Дж. Мюллер (2011). «Тензоры и вращения в ЯМР». Концепции магнитного резонанса . Часть A. 38А (5): 221–235. doi : 10.1002/cmr.a.20224. S2CID  8889942.
• М. С. Анвар (2004). «Сферические тензорные операторы в ЯМР» (PDF) .
• П. Каллаган (1993). Принципы ядерно-магнитно-резонансной микроскопии. Издательство Оксфордского университета. стр. 56–57. ISBN 978-0-198-539-971.

Обработка изображений

• М. Рейзерт; Х. Буркхардт (2009). С. Аджа-Фернандес (ред.). Тензоры в обработке изображений и компьютерном зрении. Спрингер. ISBN 978-184-8822-993.
• Д. Х. Лейдлоу; Дж. Вайкерт (2009). Визуализация и обработка тензорных полей: достижения и перспективы. Математика и визуализация. Спрингер. ISBN 978-354-088-378-4.
• М. Фельсберг; Э. Йонссон (2005). Тензоры энергии: квадратичные фазоинвариантные операторы изображения . Конспекты лекций по информатике. Том. 3663. Спрингер. стр. 493–500.
• Э. Кениг; С. Кремер (1979). «Тензорная операторная алгебра для точечных групп». Диаграммы магнетизма ионов переходных металлов . Конспекты лекций по информатике. Том. 3663. Спрингер. стр. 13–20. дои : 10.1007/978-1-4613-3003-5_3. ISBN 978-1-4613-3005-9.

Внешние ссылки

• (2012) Коэффициенты Клебша-Гордона (так в оригинале) и тензорные сферические гармоники
• Тензорные сферические гармоники
• (2010) Неприводимые тензорные операторы и теорема Вигнера-Экарта. Архивировано 20 июля 2014 г. в Wayback Machine.
• Тензорные операторы ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• М. Фаулер (2008), Тензорные операторы
• Тензор_Операторы
• (2009) Тензорные операторы и теорема Вигнера-Экарта
• Теорема Вигнера-Экарта ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
• (2004) Вращательные преобразования и сферические тензорные операторы
• Тензорные операторы
• Оценка матричных элементов радиационных переходов
• Д.К. Гош, (2013) Угловой момент - III: Теорема Вигнера-Экарта
• Б. Бараджола (2002) Тензорные операторы
• Сферические тензоры