Оператор углового момента

Квантово-механический оператор, связанный с вращательной симметрией

В квантовой механике оператор углового момента является одним из нескольких родственных операторов , аналогичных классическому угловому моменту . Оператор углового момента играет центральную роль в теории атомной и молекулярной физики и других квантовых проблемах, связанных с вращательной симметрией . Такой оператор применяется к математическому представлению физического состояния системы и дает значение углового момента, если состояние имеет для него определенное значение. И в классических, и в квантово-механических системах угловой момент (вместе с линейным моментом и энергией ) является одним из трёх фундаментальных свойств движения. ^[1]

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначаемый J ), орбитальный угловой момент (обычно обозначаемый L ) и спиновый угловой момент ( для краткости спин , обычно обозначаемый S ). Термин «оператор углового момента» может (что сбивает с толку) относиться как к полному, так и к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется , см. теорему Нётер .

Обзор

«Векторные конусы» полного углового момента J (зеленый), орбитали L (синий) и спина S (красный). Конусы возникают из-за квантовой неопределенности между измерениями компонентов углового момента (см. ниже).

В квантовой механике угловой момент может относиться к одному из трех разных, но связанных между собой явлений.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение углового момента : . Квантово-механические аналоги этих объектов имеют те же отношения: ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$

r — операторpмоментавекторное произведениеLоператор орбитального углового моментаLи)векторный оператор_{где Lx, Ly ,}— _три разныхоператора ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в базисе позиций как:

$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$

∇del

Спиновый угловой момент

Существует другой тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина ), представленный оператором спина . Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: ближайший классический аналог основан на волновой циркуляции. ^[2] Все элементарные частицы имеют характерный спин ( скалярные бозоны имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (подробности ниже). ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$

Полный угловой момент

Наконец, существует полный угловой момент , который объединяет как спин, так и орбитальный угловой момент частицы или системы: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

Сохранение углового момента означает, что J для закрытой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако L и S обычно не сохраняются . Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться туда и обратно между L и S , при этом общий J остается постоянным.

Коммутационные отношения

Коммутационные отношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, то есть его можно записать через его векторные компоненты . Компоненты имеют между собой следующие коммутационные отношения : ^[3] ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

$${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

где [ , ] обозначает коммутатор

$${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

В общем виде это можно записать как

$${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$

lmnxyzε _lmnсимвол Леви-Чивита

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения: ^[4]

$${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

Коммутационные соотношения могут быть доказаны как прямое следствие канонических коммутационных соотношений , где δ _lm — дельта Кронекера . ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$

Аналогичная зависимость существует и в классической физике: ^[5]

$${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$

L _nклассическогоскобка Пуассона ${\displaystyle \{,\}}$

Те же коммутационные соотношения применимы и для других операторов углового момента (спина и полного углового момента): ^[6]

$${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.}$$

Можно предположить , что они выполняются по аналогии с L . Альтернативно, они могут быть получены , как описано ниже.

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли , а ε _lmn — ее структурные константы . В этом случае алгеброй Ли является SU(2) или SO(3) в физических обозначениях ( или соответственно в математических обозначениях), т.е. алгебра Ли, связанная с вращениями в трех измерениях. То же самое относится и к J и S. Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения актуальны для измерения и неопределенности, как обсуждается ниже. ${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (орбитального) углового момента N , углового момента электронного спина S и углового момента ядерного спина I. Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J , а не N. Как объяснил Ван Флек ^[7] , компоненты молекулярного ровибронного углового момента, отнесенные к неподвижным молекулам осям, имеют другие коммутационные соотношения, чем приведенные выше, которые относятся к компонентам относительно неподвижных в пространстве осей.

Коммутационные отношения, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента:

$${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$это еще один квантовый оператор . Он коммутирует с компонентами , ${\displaystyle \mathbf {L} }$

$${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, — начать с коммутационных соотношений [ L _ℓ , L _m ] из предыдущего раздела:

Доказательство [ L ² , L _x ] = 0, начиная с коммутационных соотношений [ L _ℓ , L _m ] ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}}$$

Математически является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Как и выше, аналогичная зависимость существует и в классической физике:

$${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$

классическогоПуассона^[9] ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \{,\}}$

Возвращаясь к квантовому случаю, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спину и полному угловому моменту):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

Принцип неопределенности

В общем, в квантовой механике, когда два наблюдаемых оператора не коммутируют, их называют дополнительными наблюдаемыми . Две дополняющие друг друга наблюдаемые величины не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределенности . Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть известна другая. Точно так же, как существует принцип неопределенности, связывающий положение и импульс, существуют принципы неопределенности и для углового момента.

Соотношение Робертсона -Шредингера дает следующий принцип неопределенности:

$${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$

стандартное отклонениеXматематическое ожидание, y, zLJS. ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \langle X\rangle }$

Следовательно, две ортогональные компоненты углового момента (например, L _x и L _y ) дополняют друг друга и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как . ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$

Однако возможно одновременно измерить или определить L ² и любой компонент L ; например, L ² и L _z . Это часто бывает полезно, и значения характеризуются азимутальным квантовым числом ( l ) и магнитным квантовым числом ( m ). В _этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным _{состоянием операторов} L2 и Lz , но ^не Lx или Ly . Собственные значения связаны с l и m , как показано в таблице ниже.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется – то есть он не может изменяться непрерывно, а только «квантовыми скачками» между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы действуют следующие ограничения на результаты измерений, где – приведенная постоянная Планка : ^[10] ${\displaystyle \hbar }$

В этой стоячей волне на круглой струне круг разбит ровно на 8 длин волн . Подобная стоячая волна может иметь 0, 1, 2 или любое целое число длин волн по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн, например 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Вывод с использованием лестничных операторов

Распространенным способом получения приведенных выше правил квантования является метод лестничных операторов . ^[12] Лестничные операторы для полного углового момента определяются как: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

Предположим , является одновременным собственным состоянием и (т.е. состоянием с определенным значением для и определенным значением для ). Затем, используя коммутационные соотношения для компонентов , можно доказать, что каждое из состояний и является либо нулевым, либо одновременным собственным состоянием и , с тем же значением, что и для , но со значениями для, которые увеличиваются или уменьшаются соответственно . Результат равен нулю, если в противном случае использование лестничного оператора привело бы к состоянию, значение которого находится за пределами допустимого диапазона. Используя лестничные операторы таким образом, можно найти возможные значения и квантовые числа для и . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Вывод возможных значений и квантовых чисел для и . ^[13] ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$

Позвольте быть функцией состояния системы с собственным значением для и собственным значением для . ^{[примечание 1]} ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle {J^{2}}'}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Из получается, ${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$

$${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$

Применяя обе части приведенного выше уравнения к , ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$

$${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$

Поскольку и являются реальными наблюдаемыми, не является отрицательным и . Таким образом, имеет верхнюю и нижнюю границу. ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$ ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$

Два коммутационных соотношения для компонентов : ${\displaystyle \mathbf {J} }$

$${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$

Их можно объединить, чтобы получить два уравнения, которые записываются вместе с использованием следующих знаков: ${\displaystyle \pm }$

$${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$

где в одном из уравнений используются знаки, а в другом — знаки. Применяя обе стороны вышеизложенного к , ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$

Вышеупомянутое показывает, что это две собственные функции с соответствующими собственными значениями , если только одна из функций не равна нулю, и в этом случае она не является собственной функцией. Для функций, не равных нулю, ${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$

$${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$

Дальнейшие собственные функции и соответствующие собственные значения могут быть найдены путем многократного применения , пока величина результирующего собственного значения равна . Поскольку собственные значения ограничены, пусть будет наименьшее собственное значение и будет наивысшим. Затем ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$ ${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{1}}$

$${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$

и

$${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$

поскольку нет состояний, в которых собственное значение равно или . Применяя к первому уравнению, ко второму и используя , можно показать, что ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle <J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle >J_{z}^{1}}$ ${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$ ${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$

$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$

и

$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$

Вычитая первое уравнение из второго и переставляя,

$${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$

Поскольку , второй фактор отрицателен. Тогда первый множитель должен быть равен нулю и, следовательно , . ${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$

Разница возникает из-за последовательного применения или которые понижают или повышают собственное значение так, что: ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$

Позволять

$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$

где

$${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$

Затем, используя и вышеизложенное, ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$

$${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$

и

$${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$

а допустимые собственные значения равны ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$

Выражая через квантовое число и подставляя сверху , ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle m_{j}\;}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$ ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

Поскольку и имеют те же коммутационные отношения , что и , к ним можно применить тот же лестничный анализ, за ​​исключением того, что существует дополнительное ограничение на квантовые числа, согласно которым они должны быть целыми числами. ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Традиционный вывод ограничения на целые квантовые числа для и . ^[14] ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

В представлении Шрёдингера z-компонента оператора орбитального углового момента может быть выражена в сферических координатах как ^[15]

$${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$

Для и собственная функция с собственным значением , ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L_{z}'}$

$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$

Решение для , ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$

где не зависит от . Поскольку требуется, чтобы оно было однозначным, и добавление к результатам дает координату той же точки в пространстве, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$

Решая собственное значение , ${\displaystyle L_{z}'}$

$${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$

где целое число. ^[16] Из вышесказанного и соотношения следует, что это тоже целое число. Это показывает, что квантовые числа и орбитального углового момента ограничены целыми числами, в отличие от квантовых чисел для полного углового момента и спина , которые могут иметь полуцелые значения. ^[17] ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

Далее следует альтернативный вывод, который не предполагает однозначных волновых функций, а еще один аргумент с использованием групп Ли приведен ниже.

Альтернативный вывод ограничения на целые квантовые числа для и ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Ключевой частью традиционного вывода, приведенного выше, является то, что волновая функция должна быть однозначной. Сейчас многие признают это не совсем правильным: волновая функция ненаблюдаема, и требуется, чтобы только плотность вероятности была однозначной. Возможные двузначные полуцелые волновые функции имеют однозначную плотность вероятности. ^[18] Это было признано Паули в 1939 году (цитируется Джапаридзе и др. ^[19] ). ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$

... не существует априорно убедительного аргумента, утверждающего, что волновые функции, описывающие некоторые физические состояния, должны быть однозначными функциями. Для того чтобы физические величины, выражаемые квадратами волновых функций, были однозначными, вполне достаточно, чтобы после движения по замкнутому контуру эти функции приобрели множитель exp(iα)

Были найдены двузначные волновые функции, такие как и . ^{[20] [21]} Они плохо себя ведут под действием лестничных операторов, но оказались полезными при описании жестких квантовых частиц ^[22] ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$

Баллентайн ^[23] приводит аргумент, основанный исключительно на операторном формализме и не основанный на однозначности волновой функции. Азимутальный угловой момент определяется как

$${\displaystyle L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}}$$

Определение новых операторов

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$$

(Правильность размеров можно сохранить, введя коэффициенты массы и единичной угловой частоты, численно равные единице.) Тогда

$${\displaystyle L_{z}={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)}$$

Но два члена справа — это всего лишь гамильтонианы для квантового гармонического осциллятора с единичной массой и угловой частотой.

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\H_{2}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$$

и , , и все ездят на работу. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Для коммутирующих эрмитовых операторов можно выбрать полный набор базисных векторов, которые являются собственными векторами для всех четырех операторов. (Аргументация Глориозо ^[24] легко может быть обобщена на любое количество коммутирующих операторов.)

Для любого из этих собственных векторов с ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1}\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{aligned}}}$$

для некоторых целых чисел мы находим ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$

$${\displaystyle m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_{1}-n_{2}}$$

В качестве разности двух целых чисел должно быть целое число, от которого также является целое. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$

Более сложная версия этого аргумента с использованием лестничных операторов квантового гармонического осциллятора была предложена Бухдалем. ^[25]

Визуальная интерпретация

Иллюстрация векторной модели орбитального углового момента.

Поскольку угловые моменты являются квантовыми операторами, их нельзя изобразить в виде векторов, как в классической механике. Тем не менее, их принято изображать эвристически именно таким образом. Справа изображен набор состояний с квантовыми числами и для пяти конусов снизу вверх. Поскольку все векторы показаны с длиной . Кольца представляют собой факт, который достоверно известен, но и неизвестен; поэтому каждый классический вектор соответствующей длины и z -компоненты рисуется, образуя конус. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии характеризуется и может находиться где-то на этом конусе, в то время как для отдельной системы оно не может быть определено (поскольку компоненты не коммутируют друг с другом). ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$ ${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle L}$

Квантование в макроскопических системах

Широко распространено мнение, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако они не имеют заметного эффекта, поэтому это не проверялось. Например, если примерно 100000000, по существу не имеет значения, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000,2 — дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения. ${\displaystyle L_{z}/\hbar }$

Угловой момент как генератор вращений

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента — как генератора вращений. ^[6] Более конкретно, пусть будет оператором вращения , который вращает любое квантовое состояние вокруг оси на угол . При , оператор приближается к тождественному оператору , поскольку вращение на 0° отображает все состояния сами на себя. Тогда оператор углового момента относительно оси определяется как: ^[6] ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$ ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle J_{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}}$$

где 1 — тождественный оператор . Также обратите внимание, что R является аддитивным морфизмом:  ; как следствие ^[6] ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)}$

$${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)}$$

матричная экспонента

Проще говоря, оператор полного углового момента характеризует, как изменяется квантовая система при ее вращении. Отношения между операторами углового момента и операторами вращения такие же, как отношения между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы операторов вращения . В верхнем блоке показаны две частицы, спиновые состояния которых схематически обозначены стрелками.

1. Оператор R , связанный с J , вращает всю систему.
2. Оператор R _{пространственный} , связанный с L , вращает положения частиц, не изменяя их внутренние спиновые состояния.
3. Оператор R _Internal , связанный с S , вращает внутренние спиновые состояния частиц, не меняя их положения.

Так же, как J является генератором операторов вращения , L и S являются генераторами модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

$${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$

$${\displaystyle R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$

JLS

$${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)}$$

т.е. если позиции повернуты, а затем повернуты внутренние состояния, то в целом вся система повернулась.

SU (2), SO (3) и вращение на 360 °.

Хотя можно было ожидать (поворот на 360° является тождественным оператором), в квантовой механике это не предполагается, и оказывается, что зачастую это не так: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым (1/2 , 3/2 и т. д.), , а когда оно целое, . ^[6] Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) , группой трехмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2) , который идентичен SO(3) для небольших вращений, но в котором вращение на 360° математически отличается от вращения на 0°. (Однако поворот на 720° аналогичен повороту на 0°.) ^[6] ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$

С другой стороны, при любых обстоятельствах, поскольку поворот пространственной конфигурации на 360° — это то же самое, что отсутствие вращения вообще. (Это отличается от вращения внутреннего ( спинового) состояния частицы на 360°, которое может совпадать, а может и не совпадать с отсутствием вращения вообще.) Другими словами, операторы несут структуру SO(3) , while и несут структуру SU(2) . ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$ ${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\text{internal}}}$

Из уравнения выбирают собственное состояние и рисуют ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$ ${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$

$${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$

Связь с теорией представлений

Начиная с определенного квантового состояния , рассмотрим набор состояний для всех возможных и , т.е. набор состояний, возникающих в результате вращения исходного состояния всеми возможными способами. Линейная область этого набора представляет собой векторное пространство , и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, представляет собой представление группы операторов вращения. ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они образуют представление группы Ли SU(2) (для R и R _{внутреннего} ) или SO(3) (для R _{пространственного} ).

Из связи между J и операторами вращения:

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли или . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

(Алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) идентичны.)

Приведенный выше вывод лестничного оператора представляет собой метод классификации представлений алгебры Ли SU (2).

Связь с коммутационными отношениями

Классические вращения не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1° вокруг оси X , затем на 1° вокруг оси Y , дает немного другой общий поворот, чем поворот на 1° вокруг оси Y , а затем на 1° вокруг оси X. ось. Тщательно анализируя эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения операторов углового момента. ^[6]

(Эта же вычислительная процедура является одним из способов ответить на математический вопрос: «Что такое алгебра Ли групп Ли SO(3) или SU(2) ?»)

Сохранение углового момента

Гамильтониан H представляет энергию и динамику системы. В сферически симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений:

$${\displaystyle RHR^{-1}=H}$$

Rоператор вращенияJRтеореме ЭренфестаJ ${\displaystyle [H,R]=0}$ ${\displaystyle [H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0} }$

Подводя итог, если H вращательно-инвариантен (сферически симметричен), то полный угловой момент J сохраняется. Это пример теоремы Нётер .

Если H — это просто гамильтониан для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (т. е. когда функция потенциальной энергии зависит только от ). Альтернативно, H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда инвариантен относительно вращения, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для того, чтобы сказать, что сохранение углового момента является общим принципом физики. ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$

Для частицы без спина J = L , поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин ненулевой, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться из L в S или обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Муфта углового момента

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальном взаимодействии угловой момент может передаваться между L и S , но сохраняется только общий J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой угловой момент J ₁ и J ₂ , но сохраняется только суммарный J = J ₁ + J _{2 .}

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь между, с одной стороны, состояниями, где все имеют определенные значения, и с другой стороны, состояниями, где все имеют определенные значения, поскольку последние четыре обычно сохраняются (константы движения ). Процедура перехода между этими базами заключается в использовании коэффициентов Клебша – Гордана . ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}}$

Одним из важных результатов в этой области является то, что связь между квантовыми числами для : ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$

$${\displaystyle j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.}$$

Для атома или молекулы с J = L + S термин «символ» обозначает квантовые числа, связанные с операторами . ${\displaystyle L^{2},S^{2},J^{2}}$

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах . Угловой момент в пространственном представлении равен ^{[26] [27]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}}$$

В сферических координатах угловая часть оператора Лапласа может быть выражена через угловой момент. Это приводит к отношению

$${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.}$$

Решая найти собственные состояния оператора , получаем следующее ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\left|\ell ,m\right\rangle \\L_{z}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar m\left|\ell ,m\right\rangle \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left\langle \theta ,\phi |\ell ,m\right\rangle =Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$$

сферическими гармониками^[28]

Смотрите также

• Вектор Рунге – Ленца (используется для описания формы и ориентации тел на орбите)
• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Отображение Иордана ( бозонная модель углового момента Швингера [ ^29] )
• Векторная модель атома
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Сферическая основа
• Тензорный оператор
• Орбитальная намагниченность
• Орбитальный угловой момент свободных электронов
• Орбитальный угловой момент света

Примечания

1. В выводе Кондона и Шортли, на котором основан текущий вывод, набор наблюдаемых вместе с и образует полный набор коммутирующих наблюдаемых. Кроме того, они потребовали, чтобы он общался с и . ^[13] Настоящий вывод упрощается за счет исключения набора или соответствующего ему набора собственных значений . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Рекомендации

1. Введение в квантовую механику, Ричард Л. Либофф , 2-е издание, ISBN  0-201-54715-5
2. Оганян, Ганс К. (1986-06-01). «Что такое вращение?» (PDF) . Американский журнал физики . 54 (6): 500–505. Бибкод : 1986AmJPh..54..500O. дои : 10.1119/1.14580. ISSN  0002-9505.
3. Арулдхас, Г. (1 февраля 2004 г.). «формула (8.8)». Квантовая механика . п. 171. ИСБН 978-81-203-1962-2.
4. Шанкар, Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Kluwer Academic / Пленум. п. 319. ИСБН 9780306447907.
5. Х. Гольдштейн, К. П. Пул и Дж. Сафко, Классическая механика, 3-е издание , Addison-Wesley 2002, стр. 388 и далее.
6. Литтлджон, Роберт (2011). «Конспекты лекций по вращениям в квантовой механике» (PDF) . Физика 221Б Весна 2011 г. Архивировано из оригинала (PDF) 26 августа 2014 года . Проверено 13 января 2012 г.
7. Дж. Х. Ван Флек (1951). «Связь векторов углового момента в молекулах». Обзоры современной физики . 23 (3): 213. Бибкод : 1951РвМП...23..213В. doi : 10.1103/RevModPhys.23.213.
8. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . п. 146.
9. Гольдштейн и др., с. 410
10. Кондон, ЕС ; Шортли, GH (1935). «Глава III: Угловой момент». Квантовая теория атомных спектров. Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521092098.
11. Введение в квантовую механику: с приложениями к химии , Лайнус Полинг, Эдгар Брайт Уилсон, страница 45, ссылка на книги Google
12. Гриффитс, Дэвид Дж. (1995). Введение в квантовую механику . Прентис Холл . стр. 147–149.
13. Condon & Shortley 1935, стр. 46–47.
14. Кондон и Шортли, 1935, стр. 50–51.
15. Кондон и Шортли 1935, с. 50, уравнение 1
16. Кондон и Шортли 1935, с. 50, уравнение 3
17. Кондон и Шортли 1935, с. 51
18. Баллентайн, Ле (1998). Квантовая механика: современное развитие . Мировое научное издательство. п. 169.
19. Джапаридзе, Г; и другие. (2020). «Критические замечания по квантованию момента количества движения: II. Анализ, основанный на требовании, чтобы собственная функция третьей компоненты оператора момента количества движения была однозначной периодической функцией». arXiv : 1912.08042 [physical.gen-ph].
20. Хантер, Г.; и другие. (1999). «Фермионные квазисферические гармоники». Журнал физики А. 32 (5): 795–803. arXiv : math-ph/9810001 . дои : 10.1088/0305-4470/32/5/011. S2CID  119721724.
21. Хантер, Г.; И., Шлифер (2008). «Явные спиновые координаты». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
22. Павшич, М (2007). «Возвращение к твердой частице и ее спине». Основы физики . 37 (1): 40–79. arXiv : hep-th/0412324 . дои : 10.1007/s10701-006-9094-4. S2CID  119648904.
23. Баллентайн, Ле (1998). Квантовая механика: современное развитие . Мировое научное издательство. стр. 169–171.
24. Глориозо, П. «Об общих собственных базисах коммутирующих операторов» (PDF) . Проверено 14 августа 2021 г.
25. Бухдал, HA (1962). «Замечание относительно собственных значений орбитального углового момента». Американский журнал физики . 30 (11): 829–831. дои : 10.1119/1.1941817.
26. Бес, Дэниел Р. (2007). Квантовая механика . Продвинутые тексты по физике. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 70. Бибкод : 2007qume.book.....Б. дои : 10.1007/978-3-540-46216-3. ISBN 978-3-540-46215-6.
27. Сравните и сопоставьте с контрагредиентным классическим L.
28. Сакураи, Джей-Джей и Наполитано, Дж (2010), Современная квантовая механика (2-е издание) (Пирсон) ISBN 978-0805382914 
29. Швингер, Джулиан (1952). Об угловом моменте (PDF) . Комиссия по атомной энергии США.

дальнейшее чтение

• Фейнмановские лекции по физике Vol. III гл. 18: Угловой момент
• Квантовая механика демистифицирована , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Ю. Пелег, Р. Пнини, Ускоренный курс Шаума Easy Outlines, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6   
• Квантовая механика , Э. Аберс, Эд Пирсона, Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
• Физика атомов и молекул , Б. Х. Брансден, К. Дж. Джоахейн, Лонгман, 1983, ISBN 0-582-44401-2 
• Угловой момент. Понимание пространственных аспектов химии и физики , Р. Н. Заре, Wiley-Interscience, 1991, ISBN 978-0-47-1858928