модель БФ

Топологическое поле

Модель BF или теория BF представляет собой топологическое поле , которое при квантовании становится топологической квантовой теорией поля . BF обозначает фоновое поле B и F, как можно увидеть ниже, также являются переменными, появляющимися в лагранжиане теории, что полезно в качестве мнемонического приема.

У нас есть 4-мерное дифференцируемое многообразие M, калибровочная группа G, которая в качестве «динамических» полей имеет 2-форму B, принимающую значения в присоединенном представлении G, и форму связности A для G.

Действие задается ​

${\displaystyle S=\int _{M}K[\mathbf {B} \wedge \mathbf {F} ]}$

где K — инвариантная невырожденная билинейная форма над (если G полупрост , то подойдет форма Киллинга ), а F — форма кривизны ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} \equiv d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

Это действие диффеоморфно инвариантно и калибровочно инвариантно . Его уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид

${\displaystyle \mathbf {F} =0}$(без кривизны)

и

${\displaystyle d_{\mathbf {A} }\mathbf {B} =0}$( ковариантная внешняя производная B равна нулю).

На самом деле, всегда можно исключить любые локальные степени свободы, поэтому это называется топологической теорией поля.

Однако если M топологически нетривиально, A и B могут иметь нетривиальные решения глобально.

Фактически, теория BF может быть использована для формулировки дискретной калибровочной теории. Можно добавить дополнительные термины поворота, допускаемые теорией групповых когомологий, такие как топологическая калибровочная теория Дейкграафа – Виттена . ^[1] Существует много видов модифицированных теорий BF как топологических теорий поля , которые приводят к инвариантам связей в 3 измерениях, 4 измерениях и других общих измерениях. ^[2]

Смотрите также

• Метод фонового поля
• Модель Барретта–Крейна
• Двойной гравитон
• Действие Плебански
• Спин-пена
• Действие тетрадического Палатини

Ссылки

1. Дейкграаф, Робберт; Виттен, Эдвард (1990). «Топологические калибровочные теории и групповые когомологии». Коммун. Математика. Физ . 129 (2): 393–429. Бибкод : 1990CMaPh.129..393D. дои : 10.1007/BF02096988. S2CID  2163226.
2. Путров, Павел; Ван, Ювен; Яу, Шинг-Тунг (сентябрь 2017 г.). «Статистика плетения и инварианты связей бозонной/фермионной топологической квантовой материи в измерениях 2+1 и 3+1». Annals of Physics . 384C : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode :2017AnPhy.384..254P. doi :10.1016/j.aop.2017.06.019. S2CID  119578849.

Внешние ссылки

• http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2000/qg2.2.html