Схема аксиом спецификации

Понятие в аксиоматической теории множеств

Во многих популярных версиях аксиоматической теории множеств схема аксиом спецификации , также известная как схема аксиом разделения , схема аксиом подмножества или схема аксиом ограниченного понимания, является схемой аксиом . По сути, это говорит о том, что любой определяемый подкласс множества является множеством.

Некоторые математики называют это схемой аксиом понимания , хотя другие используют этот термин для обозначения неограниченного понимания , обсуждаемого ниже.

Поскольку ограничение понимания позволило избежать парадокса Рассела , несколько математиков, включая Цермело , Френкеля и Гёделя, считали его наиболее важной аксиомой теории множеств. ^[1]

Заявление

Один экземпляр схемы включен для каждой формулы φ на языке теории множеств со свободными переменными среди x , w ₁ , ..., w _n , A . Итак, B не встречается свободно в φ. На формальном языке теории множеств схема аксиом выглядит следующим образом:

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])}$

или словами:

Для любого набора A существует набор B ( подмножество A ) такой, что для любого набора x x является членом B тогда и только тогда, когда x является членом A и φ выполняется для x .

Заметим, что для каждого такого предиката φ существует одна аксиома ; таким образом, это схема аксиом .

Чтобы понять эту схему аксиом , обратите внимание , что множество B должно быть подмножеством A. Таким образом, схема аксиом на самом деле говорит о том, что, учитывая множество A и предикат , мы можем найти подмножество B из A , члены которого являются в точности теми членами A , которые удовлетворяют . По аксиоме экстенсиональности это множество единственно. Мы обычно обозначаем это множество, используя обозначение построителя множеств , как . Таким образом, суть аксиомы такова: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle B=\{x\in A|\varphi (x)\}}$

Каждый подкласс множества, определенного предикатом, сам по себе является множеством.

Предыдущая форма разделения была введена в 1930 году Торальфом Скулемом как усовершенствование предыдущей формы разделения ^[2] не первого порядка , предложенной Цермело. ^[3] Схема аксиом спецификации характерна для систем аксиоматической теории множеств, родственных обычной теории множеств ZFC , но обычно не появляется в радикально отличающихся системах альтернативной теории множеств . Например, «Новые фонды» и позитивная теория множеств используют разные ограничения аксиомы понимания наивной теории множеств . Альтернативная теория множеств Вопенки уделяет особое внимание разрешению собственных подклассов множеств, называемых полумножествами . Даже в системах, связанных с ZFC, эта схема иногда ограничивается формулами с ограниченными кванторами, как в теории множеств Крипке–Платека с urelements .

Связь со схемой аксиом замены

Схема аксиом спецификации почти может быть выведена из схемы аксиом замены .

Во-первых, вспомните эту схему аксиом:

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\iff \exists D\,[D\in A\land C=F(D)])}$

для любого функционального предиката F в одной переменной , которая не использует символы A , B , C или D. Учитывая подходящий предикат P для аксиомы спецификации, определите отображение F как F ( D ) = D , если P ( D ) истинно, и F ( D ) = E , если P ( D ) ложно, где E — любой член A такой, что P ( E ) истинно. Тогда набор B , гарантированный аксиомой замены, является в точности тем набором B , который требуется для аксиомы спецификации. Единственная проблема заключается в том, что такого E не существует. Но в этом случае набор B , необходимый для аксиомы разделения, является пустым множеством , поэтому аксиома разделения следует из аксиомы замены вместе с аксиомой пустого множества .

По этой причине схема аксиом спецификации часто исключается из современных списков аксиом Цермело – Френкеля. Однако это по-прежнему важно для исторических соображений и для сравнения с альтернативными аксиоматизациями теории множеств, как можно увидеть, например, в следующих разделах.

Неограниченное понимание

Схема аксиом неограниченного понимания гласит:

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

то есть:

Существует множество B , членами которого являются в точности те объекты, которые удовлетворяют предикату φ .

Это множество B снова уникально и обычно обозначается как { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

Эта схема аксиом молчаливо использовалась на заре наивной теории множеств , прежде чем была принята строгая аксиоматизация. Однако позже было обнаружено, что это приводит непосредственно к парадоксу Рассела , если принять φ ( x ) за ¬( x  ∈  x ) (т.е. свойство, которое устанавливает x , не является членом самого себя). Следовательно, никакая полезная аксиоматизация теории множеств не может использовать неограниченное понимание. Переход от классической логики к интуиционистской логике не помогает, поскольку доказательство парадокса Рассела интуитивно обосновано.

Принятие только схемы аксиом спецификации было началом аксиоматической теории множеств. Большинство других аксиом Цермело-Френкеля (но не аксиома экстенсиональности , аксиома регулярности или аксиома выбора ) затем стали необходимыми, чтобы компенсировать часть того, что было потеряно за счет изменения схемы аксиом понимания на схему аксиом. спецификации – каждая из этих аксиом утверждает, что определенный набор существует, и определяет этот набор, задавая предикат, которому должны удовлетворять его члены, т. е. это частный случай схемы аксиом понимания.

Также можно предотвратить несогласованность схемы, ограничив формулы, к которым ее можно применять, например, только стратифицированные формулы в «Новых основах» (см. Ниже) или только положительные формулы (формулы только с конъюнкцией, дизъюнкцией, количественной оценкой и атомарные формулы). в теории позитивных множеств . Однако позитивные формулы обычно не способны выразить определенные вещи, которые могут выразить большинство теорий; например, в теории позитивных множеств нет дополнения или относительного дополнения.

В теории классов NBG

В теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя проводится различие между множествами и классами . Класс C является множеством тогда и только тогда, когда он принадлежит некоторому классу E. В этой теории существует схема теоремы , которая гласит:

$${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

то есть,

Существует класс D такой, что любой класс C является членом D тогда и только тогда, когда C является множеством, удовлетворяющим P .

при условии, что кванторы в предикате P ограничены множествами.

Эта схема теорем сама по себе является ограниченной формой понимания, которая позволяет избежать парадокса Рассела из-за требования, чтобы C было множеством. Тогда спецификацию самих множеств можно записать в виде одной аксиомы.

$${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

то есть,

Для любого класса D и любого множества A существует множество B , членами которого являются именно те классы , которые являются членами как A , так и D.

или даже проще

Пересечение класса D и множества A само по себе является множеством B.

В этой аксиоме предикат P заменяется классом D , который можно оценить количественно. Другая более простая аксиома, достигающая того же эффекта, гласит:

$${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

то есть,

Подклассом множества является множество.

В настройках более высокого порядка

В типизированном языке, где мы можем количественно оценивать предикаты, схема аксиом спецификации становится простой аксиомой. Это во многом тот же прием, который использовался в аксиомах NBG из предыдущего раздела, где предикат заменялся классом, который затем подвергался количественной оценке.

В логике второго порядка и логике более высокого порядка с семантикой более высокого порядка аксиома спецификации является логической достоверностью и не требует явного включения в теорию.

В новых основах Куайна

В подходе «Новые основы» к теории множеств, впервые предложенном У.В.О. Куайном , аксиома понимания для данного предиката принимает неограниченную форму, но предикаты, которые могут использоваться в схеме, сами по себе ограничены. Предикат ( C is not in C ) запрещен, поскольку один и тот же символ C появляется с обеих сторон символа членства (и, следовательно, в разных «относительных типах»); таким образом удается избежать парадокса Рассела. Однако, приняв P ( C ) за ( C = C ) , что разрешено, мы можем сформировать набор всех множеств. Подробнее см. стратификация .

Рекомендации

• Кроссли, JBN; Эш, CJ; Брикхилл, CJ; Стиллвелл, Джей Си; Уильямс, Нью-Хэмпшир (1972). Что такое математическая логика? . Лондон-Оксфорд-Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-888087-1. Збл  0251.02001.
• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). 
• Джех, Томас, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 . 

Цитаты

1. Хайнц-Дитер Эббингауз (2007). Эрнст Цермело: подход к его жизни и творчеству . Springer Science & Business Media. п. 88. ИСБН 978-3-540-49553-6.
2. Ф. Р. Дрейк, Теория множеств: введение в большие кардиналы (1974), стр. 12–13. ISBN 0 444 10535 2.
3. WVO Quine, Математическая логика (1981), стр.164. Издательство Гарвардского университета, 0-674-55451-5