stringtranslate.com

Обратная функция

Функция f и ее обратная функция f  −1 . Поскольку f отображает a в 3, обратная функция f  −1 отображает 3 обратно в a .

В математике обратная функция функции f (также называемая обратной функцией f ) — это функция , которая отменяет операцию f . Обратная функция f существует тогда и только тогда, когда f является биективной , и если она существует, то обозначается как

Для функции ее обратная функция допускает явное описание: она отправляет каждый элемент в уникальный элемент, такой что f ( x ) = y .

В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную как f ( x ) = 5 x − 7 . Можно представить f как функцию, которая умножает свой вход на 5, а затем вычитает 7 из результата. Чтобы отменить это, нужно добавить 7 к входу, а затем разделить результат на 5. Следовательно, обратная функция f — это функция, определяемая как

Определения

Если f отображает X в Y , то f  −1 отображает Y обратно в X.

Пусть f — функция, областью определения которой является множество X , а областью определения — множество Y. Тогда f обратима , если существует функция g из Y в X такая, что для всех и для всех . [1]

Если f обратима, то существует ровно одна функция g, удовлетворяющая этому свойству. Функция g называется обратной для f и обычно обозначается как f  −1 , обозначение, введенное Джоном Фредериком Уильямом Гершелем в 1813 году. [2] [3] [4] [5] [6] [nb 1]

Функция f обратима тогда и только тогда, когда она биективна. Это происходит потому, что условие для всех подразумевает, что f инъективна , а условие для всех подразумевает, что f сюръективна .

Обратная функция f  −1 к f может быть явно описана как функция

.

Обратные и композиция

Напомним, что если f — обратимая функция с областью определения X и областью определения Y , то

, для каждого и для каждого .

Используя композицию функций , это утверждение можно переписать в виде следующих уравнений между функциями:

и

где id X — это функция тождества на множестве X ; ​​то есть функция, которая оставляет свой аргумент неизменным. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .

Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f  −1 . Многократное составление функции f : XX с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f n ( x ) ; поэтому f  2 ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f  −1 ( f ( x )) = x , составление f  −1 и f n дает f n −1 , «отменяя» эффект одного применения f .

Обозначение

Хотя обозначение f  −1 ( x ) может быть неправильно понято, [1] ( f ( x )) −1 определенно обозначает мультипликативную обратную функцию f ( x ) и не имеет ничего общего с обратной функцией f . [6] Обозначение может использоваться для обратной функции, чтобы избежать двусмысленности с мультипликативной обратной функцией . [7]

В соответствии с общей нотацией некоторые английские авторы используют выражения вроде sin −1 ( x ) для обозначения обратной функции синуса, примененной к x (на самом деле частичной обратной функции; см. ниже). [8] [6] Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением для мультипликативной обратной функции sin ( x ) , которая может быть обозначена как (sin ( x )) −1 . [6] Чтобы избежать какой-либо путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается префиксом « arc » (от латинского arcus ). [9] [10] Например, обратная функция синуса обычно называется функцией арксинуса , записываемой как arcsin ( x ) . [9] [10] Аналогично, обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (от латинского ārea ). [10] Например, обратная функция гиперболического синуса обычно записывается как arsinh ( x ) . [10] Выражения типа sin −1 ( x ) все еще могут быть полезны для различения многозначной обратной функции от частичной обратной функции: . Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если следует избежать неоднозначности обозначения f  −1 . [11] [10]

Примеры

Функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня

Функция f : R → [0,∞), заданная формулой f ( x ) = x 2 , не является инъективной, поскольку для всех . Следовательно, f необратима.

Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть мы берем функцию по тому же правилу , что и раньше, то функция является биективной и, следовательно, обратимой. [12] Обратная функция здесь называется (положительной) функцией квадратного корня и обозначается как .

Стандартные обратные функции

В следующей таблице показано несколько стандартных функций и их обратных:

Формула для обратной величины

Многие функции, заданные алгебраическими формулами, имеют формулу для их обратной функции. Это потому, что обратная функция обратимой функции имеет явное описание как

.

Это позволяет легко определять обратные функции многих функций, которые задаются алгебраическими формулами. Например, если f — функция

тогда для определения действительного числа y нужно найти единственное действительное число x такое, что (2 x + 8) 3 = y . Это уравнение можно решить:

Таким образом, обратная функция f  −1 задается формулой

Иногда обратная функция не может быть выражена замкнутой формулой . Например, если f — функция

тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f  −1 . Формула для этой обратной функции имеет выражение в виде бесконечной суммы:

Характеристики

Поскольку функция представляет собой особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .

Уникальность

Если для данной функции f существует обратная функция , то она единственна. [13] Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным отношением, которое полностью определяется f .

Симметрия

Существует симметрия между функцией и ее обратной функцией. В частности, если f — обратимая функция с областью определения X и областью определения Y , то ее обратная функция f  −1 имеет область определения Y и изображение X , а обратная функция f  −1 — это исходная функция f . В символах для функций f : XY и f −1 : YX , [13]

и

Это утверждение является следствием того, что для того, чтобы f была обратимой, она должна быть биективной. Инволютивная природа инверсии может быть кратко выражена как [14]

Обратным значением g  ∘  f является f  −1  ∘  g  −1 .

Обратная композиция функций определяется формулой [15]

Обратите внимание, что порядок g и f поменялся местами: чтобы отменить f, а затем g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .

Например, пусть f ( x ) = 3 x и пусть g ( x ) = x + 5. Тогда композиция g  ∘  f — это функция, которая сначала умножает на три, а затем прибавляет пять,

Чтобы обратить этот процесс вспять, мы должны сначала вычесть пять, а затем разделить на три,

Это композиция ( f  −1  ∘  g  −1 )( x ) .

Самоинверсии

Если X — множество, то функция тождества на X является своей собственной обратной:

В более общем смысле функция f  : XX равна своей собственной обратной функции тогда и только тогда, когда композиция f  ∘  f равна id X. Такая функция называется инволюцией .

График обратного

Графики y = f ( x ) и y = f  −1 ( x ) . Пунктирная линия — y = x .

Если f обратима, то график функции

такой же, как график уравнения

Это идентично уравнению y = f ( x ) , которое определяет график функции f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график функции f  −1 может быть получен из графика функции f путем перестановки осей x и y . Это эквивалентно отражению графика относительно прямой y = x . [16] [1]

Обратные и производные

По теореме об обратной функции непрерывная функция одной переменной (где ) обратима на своем множестве (изображении) тогда и только тогда, когда она либо строго возрастает, либо строго убывает (без локальных максимумов или минимумов ). Например, функция

обратима, так как производная f′ ( x ) = 3 x 2 + 1 всегда положительна.

Если функция f дифференцируема на интервале I и f′ ( x ) ≠ 0 для каждого xI , то обратная функция f  −1 дифференцируема на f ( I ) . [17] Если y = f ( x ) , производная обратной функции задается теоремой об обратной функции,

Используя обозначения Лейбница, формулу выше можно записать как

Этот результат следует из цепного правила (см. статью об обратных функциях и дифференцировании ).

Теорема об обратной функции может быть обобщена на функции нескольких переменных. В частности, непрерывно дифференцируемая многомерная функция f : R nR n обратима в окрестности точки p, пока обратима матрица Якоби функции f в точке p . В этом случае якобиан функции f  −1 в точке f ( p ) является обратной матрицей якобиана функции f в точке p .

Примеры из реальной жизни

Обобщения

Частичные инверсии

Квадратный корень из x является частично обратным к f ( x ) = x 2 .

Даже если функция f не является однозначной, можно определить частично обратную функцию f, ограничив область определения . Например, функция

не является взаимно-однозначной, так как x 2 = (− x ) 2 . Однако функция становится взаимно-однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , в этом случае

(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , то обратная функция будет отрицательным значением квадратного корня из y .) С другой стороны, нет необходимости ограничивать область, если мы довольствуемся тем, что обратная функция является многозначной функцией :

Обратная функция этой кубической функции имеет три ветви.

Иногда эта многозначная обратная функция называется полной обратной функцией f , а ее части (такие как x и − x ) называются ветвями . Самая важная ветвь многозначной функции (например, положительный квадратный корень) называется главной ветвью , а ее значение в точке y называется главным значением f  −1 ( y ) .

Для непрерывной функции на вещественной прямой требуется одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом имеет три ветви (см. соседний рисунок).

Арксинус — это частично обратная функция синуса .

Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не является однозначной, так как

для каждого действительного x (и в более общем случае sin( x + 2 π n ) = sin( x ) для каждого целого числа n ). Однако синус является однозначным на интервале [− π/2 ,  π/2 ] , а соответствующая частичная обратная величина называется арксинусом . Это считается главной ветвью арксинуса, поэтому главное значение арксинуса всегда находится между −π/2 и π/2 . Следующая таблица описывает основную ветвь каждой обратной тригонометрической функции: [19]

Левая и правая инверсии

Состав функций слева и справа не обязательно должен совпадать. В общем случае условия

  1. "Существует g такой, что g ( f ( x ))= x " и
  2. "Существует g такой, что f ( g ( x ))= x "

подразумевают различные свойства f . Например, пусть f : R[0, ∞) обозначает отображение возведения в квадрат, такое что f ( x ) = x 2 для всех x в R , и пусть g : [0, ∞)R обозначает отображение квадратного корня, такое что g ( x ) = x для всех x ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правым обратным к f . Однако g не является левым обратным к f , поскольку, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Левые инверсии

Если f : XY , то левая обратная функция для f (или ретракция f ) — это функция g : YX такая, что композиция f с g слева дает тождественную функцию [20]. То есть функция g удовлетворяет правилу

Если f ( x ) = y , то g ( y ) = x .

Функция g должна быть равна обратной функции f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y, не входящих в изображение.

Функция f с непустой областью определения инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левую обратную. [21] Элементарное доказательство выглядит следующим образом:

В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью определения обязательно имеет левую обратную; однако в конструктивной математике это может не сработать . Например, левая обратная функция включения { 0,1} → R двухэлементного множества в вещественных числах нарушает неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой к множеству {0,1} . [22]

Правые обратные

Пример правого обратного с неинъективной, сюръективной функцией

Правая обратная функция для f (или части f ) — это функция h : YX такая , что

То есть функция h удовлетворяет правилу

Если , то

Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X , которые отображаются в y при f .

Функция f имеет правую обратную функцию тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя построение такой обратной функции в общем случае требует аксиомы выбора ).

Если h — правая обратная к f , то f сюръективна. Для всех существует такое, что .
Если f сюръективен, то f имеет правый обратный h , который можно построить следующим образом: для всех существует по крайней мере один такой, что (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем один в качестве значения h ( y ) . [ необходима цитата ]

Двусторонние инверсии

Обратная функция, которая является как левой, так и правой обратной функцией ( двусторонняя обратная функция ), если она существует, должна быть уникальной. Фактически, если функция имеет левую обратную функцию и правую обратную функцию, они обе являются одной и той же двусторонней обратной функцией, поэтому ее можно назвать обратной функцией .

Если является левым обратным и правым обратным для , для всех , .

Функция имеет двустороннюю обратную функцию тогда и только тогда, когда она биективна.

Биективная функция f инъективна, поэтому у нее есть левая обратная (если f — пустая функция, то — ее собственная левая обратная). f сюръективна, поэтому у нее есть правая обратная. Согласно вышесказанному, левая и правая обратные одинаковы.
Если f имеет двусторонний обратный g , то g является левым обратным и правым обратным f , поэтому f является инъективным и сюръективным.

Прообразы

Если f : XY — любая функция (не обязательно обратимая), то прообраз (или обратный образ ) элемента yY определяется как множество всех элементов X , которые отображаются в y :

Прообраз y можно рассматривать как образ y при (многозначной ) полной обратной функции f .

Аналогично, если S — любое подмножество Y , то прообраз S , обозначаемый , — это множество всех элементов X , которые отображаются в S :

Например, возьмем функцию f : RR ; xx 2 . Эта функция необратима, поскольку она не является биективной, но прообразы могут быть определены для подмножеств области значений, например

.

Прообраз одного элемента y Y синглтонный набор { y }  – иногда называют волокном y . Когда Y – это набор действительных чисел, принято называть f  −1 ({ y }) набором уровня .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Не путать с численным возведением в степень, например, с получением мультипликативной инверсии ненулевого действительного числа.

Ссылки

  1. ^ abc Weisstein, Eric W. "Обратная функция". mathworld.wolfram.com . Получено 2020-09-08 .
  2. ^ Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котеса». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 103 (часть 1). Лондон: Royal Society of London , напечатано W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, продано G. and W. Nicol, Pall-Mall: 8–26 [10]. doi : 10.1098/rstl.1813.0005 . JSTOR  107384. S2CID  118124706.
  3. ^ Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: напечатано Дж. Смитом, продано Дж. Дейтоном и сыновьями. стр. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 2020-08-04 . Получено 2020-08-04 .[1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более раннюю работу Ганса Генриха Бюрмана .)
  4. ^ Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Т. I (новое издание). Бостон, США. С. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  5. ^ Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
  6. ^ abcd Cajori, Florian (1952) [март 1929]. "§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Нотация Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций". История математических обозначений. Т. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 года, 2-е изд.). Чикаго, США: Open court publishing company . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Получено 2016-01-18 . [...] §473. Повторные логарифмы [...] Здесь мы отмечаем символику, использованную Прингсхаймом и Мольком в их совместной статье в Encyclopédie : " 2 log b a = log b (log b a ), ..., k +1 log b a = log b ( k log b a )". [...] §533. Обозначение Джона Гершеля для обратных функций, sin −1 x , tan −1 x и т. д., было опубликовано им в Philosophical Transactions of London за 1813 год. Он говорит (стр. 10): "Эту запись cos. −1 e не следует понимать как обозначение 1/cos.  e , но то, что обычно записывается так, arc (cos.= e )". Он признает, что некоторые авторы используют cos. m A вместо (cos. A ) m , но он оправдывает свою собственную нотацию, указывая, что поскольку d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x означают dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , мы должны писать sin. 2 x вместо sin. sin. x , log. 3 x вместо log. log. log. x . Так же, как мы пишем d n V=∫ n V , мы можем аналогично записать sin. −1 x =arc (sin.= x ), log. −1 x .=c ​​x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f n ( x ), f n ( x ), sin. −1 x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурманна , в которой то же самое объясняется в значительно более раннюю дату. Однако он [Бурманн], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan −1и т. д., и он, по-видимому, вообще не знаком с обратным исчислением функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этой нотации и, прежде всего, новые и самые обширные взгляды, которые она открывает на природу аналитических операций, по-видимому, оправдывают ее всеобщее принятие». [a] [...] §535. Сохранение конкурирующих нотаций для обратной функции. — [...] Использование нотации Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение против них; Пирс писал: «cos [−1] x », «log [−1] x ». [b] [...] §537. Степени тригонометрических функций. — Для обозначения, скажем, квадрата sin x использовались три основных нотации , а именно, (sin x ) 2 , sin x 2 , sin 2 x . В настоящее время преобладающей нотацией является sin 2 x , хотя первая из них, по всей вероятности, быть неверно истолкована. В случае sin 2 x напрашиваются две интерпретации; во-первых, sin x · sin x ; во-вторых, [c] sin (sin x ). Поскольку функции последнего типа обычно не встречаются, опасность неверной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log 2 x , где log x · log x и log (log x ) часто встречаются в анализе. [...] Обозначение sin n x для (sin x ) n широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. [...](xviii+367+1 страниц, включая 1 страницу приложений) (Примечание. ISBN и ссылка на переиздание 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
  7. ^ Гельмут Зибер и Леопольд Хубер: Mathematische Begriffe und Formeln für Sekundarstufe I und II der Gymnasien. Эрнст Клетт Верлаг.
  8. Томас 1972, стр. 304–309.
  9. ^ ab Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Обратные тригонометрические функции". Математический справочник для ученых и инженеров: Определения, теоремы и формулы для справки и обзора (3-е изд.). Минеола, Нью-Йорк, США: Dover Publications, Inc. стр. 811. ISBN 978-0-486-41147-7.
  10. ^ abcde Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. Атлас функций: с Equator, калькулятором функций Atlas (2-е изд.). Springer Science+Business Media, LLC . doi :10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525.
  11. ^ Холл, Артур Грэм; Фринк, Фред Гудрич (1909). "Статья 14: Обратные тригонометрические функции". Написано в Энн-Арбор, Мичиган, США. Плоская тригонометрия . Нью-Йорк: Henry Holt & Company . стр. 15–16 . Получено 12 августа 2017 г. α = arcsin  m Эта нотация повсеместно используется в Европе и быстро набирает популярность в этой стране. Менее желательный символ, α = sin -1 m , все еще встречается в английских и американских текстах. Нотация α = inv sin m , возможно, еще лучше из-за ее общей применимости. [...] Аналогичное символическое соотношение справедливо и для других тригонометрических функций . Его часто читают как 'arc-sine m ' или 'anti-sine m ' , поскольку две взаимно обратные функции, как говорят, являются антифункцией другой.
  12. ^ Лэй 2006, стр. 69, Пример 7.24
  13. ^ ab Wolf 1998, стр. 208, Теорема 7.2
  14. ^ Смит, Эгген и Сент-Андре, 2006, стр. 141 Теорема 3.3(а)
  15. ^ Лэй 2006, стр. 71, Теорема 7.26
  16. ^ Бриггс и Кохран 2011, стр. 28–29.
  17. ^ Лэй 2006, стр. 246, Теорема 26.10
  18. ^ "Обратные функции". www.mathsisfun.com . Получено 2020-09-08 .
  19. ^ Бриггс и Кохран 2011, стр. 39–42
  20. ^ Даммит; Фут. Абстрактная алгебра .
  21. ^ Мак-Лейн, Сондерс. Категории для работающего математика .
  22. ^ Френкель (1954). «Абстрактная теория множеств». Nature . 173 (4412): 967. Bibcode : 1954Natur.173..967C. doi : 10.1038/173967a0 . S2CID  7735523.

Библиография

Дальнейшее чтение

Внешние ссылки