Мяч (математика)

В математике шар — это объемная фигура , ограниченная сферой ; его еще называют твердой сферой . ^[1] Это может быть закрытый шар (включая граничные точки , составляющие сферу) или открытый шар (исключая их).

Эти понятия определены не только в трехмерном евклидовом пространстве , но также для низших и высших измерений, а также для метрических пространств в целом. Шар в $n$ $измерениях$ называется гипершаром или $n$ -шаром и ограничен гиперсферой или ( n −1 ) -сферой . Так, например, шар в евклидовой плоскости — это то же самое, что и диск , площадь, ограниченная кругом . В евклидовом трехмерном пространстве под шаром понимается объем , ограниченный двумерной сферой . В одномерном пространстве шар представляет собой отрезок прямой .

В других контекстах, например, в евклидовой геометрии и в неформальном использовании, сфера иногда используется для обозначения шара . В области топологии замкнутый -мерный шар часто обозначается как или , а открытый -мерный шар - или . $п$ $B^{n}$ $D^{n}$ $n$ $\operatorname {Int} B^{n}$ $\operatorname {Int} D^{n}$

В евклидовом пространстве

В евклидовом $n$ -пространстве (открытый) $n$ -шар радиуса $r$ и центра $x$ представляет собой набор всех точек, находящихся на расстоянии меньше $r$ от $x$ . Замкнутый $n$ -шар радиуса $r$ — это набор всех точек, находящихся на расстоянии меньшем или равном $r$ от $x$ .

В евклидовом $n$ -пространстве каждый шар ограничен гиперсферой . Шар представляет собой ограниченный интервал, когда $n = 1$ , является диском , ограниченным кругом , когда $n = 2$ , и ограничен сферой, когда n $= 3$ .

Объем

n $-мерный$ объем евклидова шара радиуса $r$ в $n$ -мерном евклидовом пространстве равен: ^[2]

V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},

Γ

гамма-функция Леонарда Эйлеранаконкретных значений гамма-функции

{\begin{aligned}V_{2k}(r)&={\frac {\pi ^{k}}{k!}}r^{2k}\,,\\[2pt]V_{2k+1}(r)&={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{\left(2k+1\right)!!}}r^{2k+1}={\frac {2\left(k!\right)\left(4\pi \right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}}r^{2k+1}\,.\end{aligned}}

В формуле нечетных объемов двойной факториал $(2k + 1)!!$ определяется для нечетных целых чисел $2 k + 1$ как $(2 k + 1)!! знак равно 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2 k - 1) \cdot (2 k + 1)$ .

В общих метрических пространствах

Пусть $(M, d)$ — метрическое пространство , а именно множество $M$ с метрикой (функцией расстояния) $d$ . Открытый (метрический) шар радиуса $r > 0$ с центром в точке $p$ в $M$ , обычно обозначаемый $B r (p)$ или $B (p; r)$ , определяется выражением

B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},

Замкнутый (метрический) шар, который можно обозначить $B r [p]$ или $B [p; r]$ определяется формулой

B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.

Обратите внимание, в частности, что шар (открытый или закрытый) всегда включает в себя сам $p$ , поскольку определение требует $r > 0$ .

Единичный шар (открытый или закрытый) — это шар радиуса 1.

Шар в общем метрическом пространстве не обязательно должен быть круглым. Например, шар в реальном координатном пространстве под расстоянием Чебышева является гиперкубом , а шар под расстоянием такси — перекрестным многогранником .

Подмножество метрического пространства ограничено , если оно содержится в некотором шаре. Множество является вполне ограниченным , если для любого положительного радиуса оно покрыто конечным числом шаров этого радиуса.

Открытые шары метрического пространства могут служить базой , придавая этому пространству топологию , открытые множества которой представляют собой все возможные объединения открытых шаров. Эта топология метрического пространства называется топологией, индуцированной метрикой $d$ .

Обозначим через $Br (p)$ замыкание открытого шара $Br$ $(p)$ $в$ этой топологии $.$ Хотя это всегда так, что $B r (p) \subseteq B r (p) \subseteq B r [p]$ , это не всегда так , что $B r (p) = B r [p]$ . Например, в метрическом пространстве $X$ с дискретной метрикой имеем $B 1 (p) = {p}$ и $B 1 [p] = X$ для любого $p \in X$ .

В нормированных векторных пространствах

Любое нормированное векторное пространство $V$ с нормой также является метрическим пространством с метрикой . В таких пространствах произвольный шар точек вокруг точки с расстоянием меньше чем можно рассматривать как масштабированную (на ) и сдвинутую (на ) копию единичный шар. Такие «центрированные» шары с обозначаются $\|\cdot \|$ $d(x,y)=\|x-y\|.$ $B_{r}(y)$ $x$ $y$ $r$ $r$ $y$ $B_{1}(0).$ $y=0$ $B(r).$

Евклидовы шары, обсуждавшиеся ранее, являются примером шаров в нормированном векторном пространстве.

р -норма

В декартовом пространстве $Rn$ с p $-$ нормой $Lp,$ т.е.

\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p},

r

B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}<r\right\}.

При $n = 2$ в 2-мерной плоскости «шары» по $L$ $1$ -норме (часто называемой метрикой такси или Манхэттена ) ограничены квадратами, диагонали которых параллельны осям координат; те, которые соответствуют $L$ $\infty$ -норме, также называемой метрикой Чебышева , имеют в качестве границ квадраты со сторонами , параллельными осям координат. L $2$ -норма, известная как евклидова метрика, порождает хорошо известные диски внутри кругов, а при других значениях $p$ $соответствующие$ шары представляют собой области, ограниченные кривыми Ламе (гипоэллипсами или гиперэллипсами). $\mathbb {R} ^{2}$

При $n = 3$ L $1$ -шары находятся внутри октаэдров с диагоналями тела , ориентированными $по$ осям , $L$ $\infty$ -шары находятся внутри кубов с рёбрами, ориентированными по осям , а границы шаров для $L$ $p$ с $p$ $> 2$ являются суперэллипсоидами . Очевидно, что $p$ $= 2$ порождает внутреннюю часть обычной сферы.

Общая выпуклая норма

В более общем смысле, учитывая любое центрально симметричное , ограниченное , открытое и выпуклое подмножество $X$ в $Rn$ , можно определить норму на $Rn$ , где $все$ шары являются транслированными и равномерно масштабированными $копиями$ $X.$ Обратите внимание, что эта теорема не выполняется, если «открытое» подмножество заменяется «закрытым» подмножеством, поскольку исходная точка квалифицирует, но не определяет норму на $R n$ .

В топологических пространствах

О шарах можно говорить в любом топологическом пространстве $X$ , не обязательно индуцированном метрикой. (Открытый или закрытый) n $-$ мерный топологический шар X — это любое подмножество $X$ $,$ гомеоморфное (открытому или замкнутому) евклидову $n$ -шару. Топологические $n$ -шары играют важную роль в комбинаторной топологии как строительные блоки клеточных комплексов .

Любой открытый топологический $n -$ $шар$ гомеоморфен декартову пространству $Rn$ и открытому единичному $n$ -кубу (гиперкубу) $(0, 1$ ) $n$ $\subseteq$ $Rn$ $.$ Любой замкнутый топологический $n$ -шар гомеоморфен замкнутому $n$ -кубу $[0, 1] n$ .

n $-$ шар гомеоморфен $m$ -шару тогда и только тогда, когда $n = m$ . Гомеоморфизмы между открытым $n$ -шаром $B$ и $R n$ $можно разделить на$ два класса, которые можно отождествить с двумя возможными топологическими ориентациями B .

Топологический $n$ -шар не обязательно должен быть гладким ; если он гладкий, то он не обязательно должен быть диффеоморфен евклидову $n$ -шару.

Регионы

Для шара можно определить ряд особых областей:

шапка , ограниченная одной плоскостью
сектор , ограниченный конической границей с вершиной в центре сферы
отрезок , ограниченный парой параллельных плоскостей
оболочка , ограниченная двумя концентрическими сферами разного радиуса
клин , ограниченный двумя плоскостями, проходящими через центр сферы и поверхность сферы

Смотрите также

Мяч – обычное значение
Диск (математика)
Формальный шар , расширение отрицательных радиусов.
Соседство (математика)
Сфера , аналогичная геометрическая форма
3-сфера
$n$ -сфера или гиперсфера
Александр рогатая сфера
Многообразие
Объем $н$ -шара
Октаэдр – шар-3 в метрике $l 1$ .