Телесный угол

Мера того, насколько большим кажется объект наблюдателю в данной точке трехмерного пространства.

В геометрии телесный угол (символ: Ω ) — это мера величины поля зрения из некоторой конкретной точки, которое охватывает данный объект. То есть, это мера того, насколько большим кажется объект наблюдателю, смотрящему из этой точки. Точка, из которой рассматривается объект, называется вершиной телесного угла, и говорят, что объект стягивает свой телесный угол в этой точке.

В Международной системе единиц (СИ) телесный угол выражается в безразмерной единице , называемой стерадиан (символ: ср). Один стерадиан соответствует одной единице площади на единичной сфере, окружающей вершину, поэтому объект, который блокирует все лучи от вершины, покроет количество стерадиан, равное полной площади поверхности единичной сферы, . Телесные углы также могут быть измерены в квадратах угловых мер, таких как градусы , минуты и секунды. ${\displaystyle 4\pi }$

Небольшой объект поблизости может стягивать тот же телесный угол, что и более крупный объект, находящийся дальше. Например, хотя Луна намного меньше Солнца , она также намного ближе к Земле . Действительно, если смотреть с любой точки на Земле, оба объекта имеют примерно одинаковый телесный угол (и, следовательно, видимый размер). Это очевидно во время солнечного затмения .

Определение и свойства

Телесный угол объекта в стерадианах равен площади сегмента единичной сферы с центром в вершине, которую покрывает объект. Задание площади сегмента единичной сферы в стерадианах аналогично заданию длины дуги единичной окружности в радианах. Так же, как плоский угол в радианах является отношением длины дуги к ее радиусу, телесный угол в стерадианах является отношением площади, покрываемой объектом на сфере, к площади, заданной квадратом радиуса сферы. Формула имеет вид

$${\displaystyle \Omega ={\frac {A}{r^{2}}},}$$

где — площадь сферической поверхности, — радиус рассматриваемой сферы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$

Телесные углы часто используются в астрономии , физике и, в частности, астрофизике . Телесный угол объекта, который находится очень далеко, примерно пропорционален отношению площади к квадрату расстояния. Здесь «площадь» означает площадь объекта, спроецированную вдоль направления наблюдения.

Любая область на сфере, площадь которой равна квадрату ее радиуса, при наблюдении из ее центра стягивает ровно один стерадиан .

Телесный угол сферы, измеренный из любой точки внутри нее, равен 4π ср  . Телесный угол, опирающийся на центр куба и одну из его граней, равен одной шестой этого угла, или 2π / 3 ср.Телесный угол, опирающийся на вершину куба (октанта ) или охватываемый сферическим октантом, равен π /2 ср, одной восьмой телесного угла сферы. ^[1]

Телесные углы также могут измеряться в квадратных градусах (1 ср = ( 180/ π ) ² квадратных градуса), в квадратных угловых минутах и ​​квадратных угловых секундах или в долях сферы (1 ср = ⁠1/4π​⁠ дробная площадь), также известная как спат (1 сп = 4 π  ср).

В сферических координатах существует формула для дифференциала ,

$${\displaystyle d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

где θ — коширота (угол от Северного полюса), а φ — долгота.

Телесный угол для произвольно ориентированной поверхности S, опирающейся на точку P, равен телесному углу проекции поверхности S на единичную сферу с центром P , который можно вычислить как поверхностный интеграл :

$${\displaystyle \Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,}$$

где — единичный вектор, соответствующий , вектору положения бесконечно малой области поверхности dS относительно точки P , а где представляет единичный вектор нормали к dS . Даже если проекция на единичную сферу на поверхность S не изоморфна , множественные складки правильно рассматриваются в соответствии с ориентацией поверхности, описываемой знаком скалярного произведения . ${\displaystyle {\hat {r}}={\vec {r}}/r}$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}$

Таким образом, можно приблизительно определить телесный угол, образованный малой гранью, имеющей площадь плоской поверхности dS , ориентацию и расстояние r от наблюдателя, как: ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle d\Omega =4\pi \left({\frac {dS}{A}}\right)\,({\hat {r}}\cdot {\hat {n}}),}$$

где площадь поверхности сферы равна A = 4 π r ² .

Практические применения

• Определение силы света и яркости , а также соответствующих радиометрических величин силы излучения и яркости.
• Вычисление сферического избытка E сферического треугольника
• Расчет потенциалов методом граничных элементов (БЭМ)
• Оценка размера лигандов в комплексах металлов, см. угол конуса лиганда
• Расчет напряженности электрического и магнитного полей вокруг распределений зарядов
• Вывод закона Гаусса
• Расчет мощности излучения и облучения при теплопередаче
• Расчет сечений в резерфордовском рассеянии
• Расчет сечений в комбинационном рассеянии
• Телесный угол приемного конуса оптического волокна
• Вычисление плотности узлов в сетках. ^[2]

Телесные углы для обычных объектов

Конус, сферический колпачок, полусфера

Диаграмма, показывающая сечение через центр конуса (1), стягивающего телесный угол в 1 стерадиан в сфере радиуса r, вместе со сферической «крышкой» (2). Внешняя площадь поверхности A крышки равна r2 только если телесный угол конуса составляет ровно 1 стерадиан. Следовательно, на этом рисунке θ = A /2 и r = 1 .

Телесный угол конуса с вершиной в вершине телесного угла и с углом при вершине 2 θ , представляет собой площадь сферического сегмента на единичной сфере

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos \theta \right)\ =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Для малых θ таких, что cos θ ≈ 1 − ⁠θ ²/2⁠ это сводится к π θ ² , площади круга.

Вышеуказанное находится путем вычисления следующего двойного интеграла с использованием единичного элемента поверхности в сферических координатах :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\,d\phi &=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \int _{0}^{\theta }\sin \theta '\,d\theta '\\&=2\pi \left[-\cos \theta '\right]_{0}^{\theta }\\&=2\pi \left(1-\cos \theta \right).\end{aligned}}}$$

Эту формулу можно вывести и без использования исчисления .

Более 2200 лет назад Архимед доказал, что площадь поверхности сферического колпака всегда равна площади круга, радиус которого равен расстоянию от края сферического колпака до точки, где ось симметрии колпака пересекает колпачок. ^[3]

Теорема Архимеда гласит, что площадь поверхности области сферы, расположенной ниже горизонтальной плоскости H на данной диаграмме, равна площади круга радиуса t.

На цветной диаграмме выше этот радиус обозначен как

$${\displaystyle 2r\sin {\frac {\theta }{2}}.}$$На соседней черно-белой диаграмме этот радиус обозначен как «t».

Следовательно, для единичной сферы телесный угол сферической шапки определяется как

$${\displaystyle \Omega =4\pi \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=2\pi \left(1-\cos \theta \right).}$$

Когда θ = ⁠π/2⁠ , сферическая шапка становится полусферой с телесным углом 2 π .

Телесный угол дополнения конуса равен

$${\displaystyle 4\pi -\Omega =2\pi \left(1+\cos \theta \right)=4\pi \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

Это также телесный угол части небесной сферы , которую астрономический наблюдатель, находящийся на широте θ , может видеть при вращении Земли. На экваторе видна вся небесная сфера; на каждом полюсе — только половина.

Телесный угол, образуемый сегментом сферической шапки, отсекаемым плоскостью под углом γ к оси конуса и проходящей через вершину конуса, можно вычислить по формуле ^[4]

$${\displaystyle \Omega =2\left[\arccos \left({\frac {\sin \gamma }{\sin \theta }}\right)-\cos \theta \arccos \left({\frac {\tan \gamma }{\tan \theta }}\right)\right].}$$

Например, если γ = − θ , то формула сводится к приведенной выше формуле сферической шапки: первый член становится π , а второй π cos θ .

Тетраэдр

Пусть OABC — вершины тетраэдра с началом в точке O, стягиваемые треугольной гранью ABC, где — векторные положения вершин A, B и C. Определим угол при вершине θ _a как угол BOC и определим θ _b , θ _c соответственно. Пусть — двугранный угол между плоскостями, содержащими тетраэдрические грани OAC и OBC, и определим , соответственно. Телесный угол Ω, стягиваемый треугольной поверхностью ABC, определяется как ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$ ${\displaystyle \phi _{ab}}$ ${\displaystyle \phi _{ac}}$ ${\displaystyle \phi _{bc}}$

$${\displaystyle \Omega =\left(\phi _{ab}+\phi _{bc}+\phi _{ac}\right)\ -\pi .}$$

Это следует из теории сферического избытка и приводит к тому, что существует теорема, аналогичная теореме о том, что «Сумма внутренних углов плоского треугольника равна π » , для суммы четырех внутренних телесных углов тетраэдра следующим образом:

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}\Omega _{i}=2\sum _{i=1}^{6}\phi _{i}\ -4\pi ,}$$

где охватывает все шесть двугранных углов между любыми двумя плоскостями, содержащими тетраэдрические грани OAB, OAC, OBC и ABC. ^[5] ${\displaystyle \phi _{i}}$

Полезная формула для вычисления телесного угла тетраэдра в начале координат O, который является исключительно функцией углов при вершине θ _a , θ _b , θ _c дается теоремой Люилье [ ^{6] [7]} как

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{4}}\Omega \right)={\sqrt {\tan \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\tan \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},}$$

где $${\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}.}$$

Другая интересная формула включает выражение вершин как векторов в 3-мерном пространстве. Пусть будут векторными позициями вершин A, B и C, и пусть a , b , и c будут величиной каждого вектора (расстоянием от начала координат до точки). Телесный угол Ω, стягиваемый треугольной поверхностью ABC, равен: ^{[8] [9]} ${\displaystyle {\vec {a}}\ ,\,{\vec {b}}\ ,\,{\vec {c}}}$

$${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}\Omega \right)={\frac {\left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|}{abc+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)c+\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)b+\left({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\right)a}},}$$

где $${\displaystyle \left|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}\right|={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$$

обозначает скалярное тройное произведение трех векторов, а обозначает скалярное произведение . ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Здесь необходимо соблюдать осторожность, чтобы избежать отрицательных или неправильных телесных углов. Одним из источников потенциальных ошибок является то, что скалярное тройное произведение может быть отрицательным, если a , b , c имеют неправильную обмотку . Вычисление абсолютного значения является достаточным решением, поскольку никакая другая часть уравнения не зависит от обмотки. Другая ловушка возникает, когда скалярное тройное произведение положительно, а делитель отрицателен. В этом случае возвращается отрицательное значение, которое должно быть увеличено на π .

Пирамида

Телесный угол четырехгранной прямой прямоугольной пирамиды с углами при вершине a и b ( двугранные углы, измеренные к противолежащим боковым граням пирамиды) равен $${\displaystyle \Omega =4\arcsin \left(\sin \left({a \over 2}\right)\sin \left({b \over 2}\right)\right).}$$

Если известны длины сторон ( α и β ) основания пирамиды и расстояние ( d ) от центра прямоугольника основания до вершины пирамиды (центра сферы), то приведенное выше уравнение можно преобразовать, чтобы получить

$${\displaystyle \Omega =4\arctan {\frac {\alpha \beta }{2d{\sqrt {4d^{2}+\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}.}$$

Телесный угол прямой n -угольной пирамиды, где основание пирамиды представляет собой правильный n -угольник с радиусом описанной окружности r , и высотой пирамиды h равен

$${\displaystyle \Omega =2\pi -2n\arctan \left({\frac {\tan \left({\pi \over n}\right)}{\sqrt {1+{r^{2} \over h^{2}}}}}\right).}$$

Телесный угол произвольной пирамиды с n -сторонним основанием, определяемый последовательностью единичных векторов, представляющих ребра { s ₁ , s ₂ }, ... s _{n ,} может быть эффективно вычислен следующим образом: ^[4]

$${\displaystyle \Omega =2\pi -\arg \prod _{j=1}^{n}\left(\left(s_{j-1}s_{j}\right)\left(s_{j}s_{j+1}\right)-\left(s_{j-1}s_{j+1}\right)+i\left[s_{j-1}s_{j}s_{j+1}\right]\right).}$$

где скобки (* *) — скалярное произведение , а квадратные скобки [* * *] — скалярное тройное произведение , а i — мнимая единица . Индексы цикличны: s ₀ = s _n и s ₁ = s _{n + 1.} Комплексные произведения добавляют фазу, связанную с каждым углом вершины многоугольника. Однако кратное теряется в разрезе ветви и должно отслеживаться отдельно. Кроме того, текущее произведение комплексных фаз должно время от времени масштабироваться, чтобы избежать потери значимости в пределе почти параллельных сегментов. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \arg }$

Широтно-долготный прямоугольник

Телесный угол прямоугольника широты-долготы на глобусе равен , где φ _N и φ _S — северная и южная линии широты (измеряются от экватора в радианах , угол увеличивается к северу), а θ _E и θ _W — восточная и западная линии долготы (где угол в радианах увеличивается к востоку). ^[10] Математически это представляет собой дугу угла ϕ _N − ϕ _S , описанную вокруг сферы на θ _E − θ _W радиан. Когда долгота охватывает 2 π радиан, а широта охватывает π радиан, телесный угол является углом сферы. $${\displaystyle \left(\sin \phi _{\mathrm {N} }-\sin \phi _{\mathrm {S} }\right)\left(\theta _{\mathrm {E} }-\theta _{\mathrm {W} }\,\!\right)\;\mathrm {sr} ,}$$

Широтно-долготный прямоугольник не следует путать с телесным углом прямоугольной пирамиды. Все четыре стороны прямоугольной пирамиды пересекают поверхность сферы по дугам большого круга . В случае широтно-долготного прямоугольника только линии долготы являются дугами большого круга; линии широты таковыми не являются.

Небесные объекты

Используя определение углового диаметра , формулу для телесного угла небесного объекта можно определить через радиус объекта, и расстояние от наблюдателя до объекта ,: ${\textstyle R}$ ${\displaystyle d}$

$${\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {\sqrt {d^{2}-R^{2}}}{d}}\right):d\geq R.}$$

Вводя соответствующие средние значения для Солнца и Луны (по отношению к Земле), средний телесный угол Солнца равен6,794 × 10−5 стерадиан ^, а средний телесный угол Луны равен6,418 × 10−5 стерадиан. В терминах полной небесной сферы Солнце и Луна стягивают ^{средние} дробные площади0,000 5406 % (5,406  частей на миллион ) и0,000 5107 % (5.107 ppm ) соответственно. Поскольку эти телесные углы примерно одинакового размера, Луна может вызывать как полные, так и кольцеобразные солнечные затмения в зависимости от расстояния между Землей и Луной во время затмения.

Телесные углы в произвольных измерениях

Телесный угол, опирающийся на полную ( d − 1 )-мерную сферическую поверхность единичной сферы в d -мерном евклидовом пространстве, может быть определен в любом числе измерений d . Часто этот фактор телесного угла требуется в вычислениях со сферической симметрией. Он задается формулой, где Γ — гамма-функция . Когда d — целое число, гамма-функция может быть вычислена явно. ^[11] Из этого следует, что $${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {2\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}},}$$ $${\displaystyle \Omega _{d}={\begin{cases}{\frac {1}{\left({\frac {d}{2}}-1\right)!}}2\pi ^{\frac {d}{2}}\ &d{\text{ even}}\\{\frac {\left({\frac {1}{2}}\left(d-1\right)\right)!}{(d-1)!}}2^{d}\pi ^{{\frac {1}{2}}(d-1)}\ &d{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Это дает ожидаемые результаты 4 π стерадиан для 3D-сферы, ограниченной поверхностью площадью 4π r ² и 2 π радиан для 2D-круга, ограниченной окружностью длиной 2π r . Это также дает немного менее очевидные 2 для 1D-случая, в котором 1D-"сфера" с центром в начале координат представляет собой интервал [− r , r ] и он ограничен двумя предельными точками.

Аналог векторной формулы в произвольной размерности был получен Аомото ^{[12] [13]} и независимо Рибандо. ^[14] Он выражает их как бесконечный многомерный ряд Тейлора : учитывая d единичных векторов, определяющих угол, пусть V обозначает матрицу, образованную путем их объединения, так что i- й столбец равен , и . Переменные образуют многомерный . Для «конгруэнтной» целочисленной мультиэкспоненты определим . Обратите внимание, что здесь = неотрицательные целые числа или натуральные числа, начинающиеся с 0. Обозначение для означает переменную , аналогично для экспонент . Следовательно, термин означает сумму по всем членам в , в которых l появляется либо как первый, либо как второй индекс. Там, где этот ряд сходится, он сходится к телесному углу, определяемому векторами. $${\displaystyle \Omega =\Omega _{d}{\frac {\left|\det(V)\right|}{(4\pi )^{d/2}}}\sum _{{\vec {a}}\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}}}\left[{\frac {(-2)^{\sum _{i<j}a_{ij}}}{\prod _{i<j}a_{ij}!}}\prod _{i}\Gamma \left({\frac {1+\sum _{m\neq i}a_{im}}{2}}\right)\right]{\vec {\alpha }}^{\vec {a}}.}$$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}_{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}={\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{j}=\alpha _{ji},\alpha _{ii}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{ij},1\leq i<j\leq d}$ ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{12},\dotsc ,\alpha _{1d},\alpha _{23},\dotsc ,\alpha _{d-1,d})\in \mathbb {R} ^{\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{12},\dotsc ,a_{1d},a_{23},\dotsc ,a_{d-1,d})\in \mathbb {N} _{0}^{\binom {d}{2}},}$ ${\textstyle {\vec {\alpha }}^{\vec {a}}=\prod \alpha _{ij}^{a_{ij}}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{ji}}$ ${\displaystyle j>i}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle a_{ji}}$ ${\textstyle \sum _{m\neq l}a_{lm}}$ ${\displaystyle {\vec {a}}}$

Ссылки

1. "octant". PlanetMath.org . 2013-03-22 . Получено 2024-10-21 .
2. Фалла, Ромен (2023). «Адаптация сетки для двумерных ограниченных и свободных поверхностных потоков с использованием метода конечных элементов частиц». Computational Particle Mechanics . 10 : 1049–1076.
3. "Архимед на сферах и цилиндрах". Math Pages . 2015.
4. Мазонка, Олег (2012). "Телесный угол конических поверхностей, многогранных конусов и пересекающихся сферических колпачков". arXiv : 1205.1396 [math.MG].
5. Хопф, Хайнц (1940). «Избранные главы геометрии» (PDF) . ETH Zurich : 1–2. Архивировано (PDF) из оригинала 21.09.2018.
6. «Теорема Л'Юилье - из Wolfram MathWorld» . Mathworld.wolfram.com. 19 октября 2015 г. Проверено 19 октября 2015 г.
7. "Сферический избыток – из Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 2015-10-19 . Получено 2015-10-19 .
8. Эрикссон, Фольке (1990). «О измерении телесных углов». Math. Mag . 63 (3): 184–187. doi :10.2307/2691141. JSTOR  2691141.
9. Ван Остером, А.; Стрэки, Дж. (1983). «Телесный угол плоского треугольника». IEEE Trans. Biomed. Eng . BME-30 (2): 125–126. doi :10.1109/TBME.1983.325207. PMID  6832789. S2CID  22669644.
10. "Площадь прямоугольника широты и долготы". Математический форум @ Drexel . 2003.
11. Джексон, Ф. М. (1993). «Многогранники в евклидовом n-пространстве». Бюллетень Института математики и ее приложений . 29 (11/12): 172–174.
12. Аомото, Казухико (1977). «Аналитическая структура функции Шлефли». Nagoya Math. J . 68 : 1–16. doi : 10.1017/s0027763000017839 .
13. Бек, М.; Робинс, С.; Сэм, С.В. (2010). «Теоремы положительности для многочленов телесного угла». Вклад в алгебру и геометрию . 51 (2): 493–507. arXiv : 0906.4031 . Bibcode :2009arXiv0906.4031B.
14. Рибандо, Джейсон М. (2006). «Измерение телесных углов за пределами третьего измерения». Дискретная и вычислительная геометрия . 36 (3): 479–487. doi : 10.1007/s00454-006-1253-4 .

Дальнейшее чтение

• Джаффи, AH (1954). «Телесный угол, образуемый круглой апертурой в точечных и рассеянных источниках: формулы и некоторые таблицы». Rev. Sci. Instrum . 25 (4): 349–354. Bibcode : 1954RScI...25..349J. doi : 10.1063/1.1771061.
• Маскет, А. Виктор (1957). "Контурные интегралы телесного угла, ряды и таблицы". Rev. Sci. Instrum . 28 (3): 191. Bibcode : 1957RScI...28..191M. doi : 10.1063/1.1746479.
• Наито, Минору (1957). «Метод расчета телесного угла, охватываемого круглой апертурой». J. Phys. Soc. Jpn . 12 (10): 1122–1129. Bibcode : 1957JPSJ...12.1122N. doi : 10.1143/JPSJ.12.1122.
• Пакстон, Ф. (1959). "Расчет телесного угла для круглого диска". Rev. Sci. Instrum . 30 (4): 254. Bibcode :1959RScI...30..254P. doi : 10.1063/1.1716590 .
• Хаджави, А. (1968). «Вычисление телесного угла, противолежащего прямоугольным отверстиям». J. Opt. Soc. Am . 58 (10): 1417–1418. Bibcode : 1968JOSA...58.1417K. doi : 10.1364/JOSA.58.001417.
• Гарднер, РП; Карнесейл, А. (1969). «Телесный угол, противолежащий круглому диску в точке». Nucl. Instrum. Methods . 73 (2): 228–230. Bibcode : 1969NucIM..73..228G. doi : 10.1016/0029-554X(69)90214-6.
• Гарднер, РП; Вергезе, К. (1971). «О телесном угле, опирающемся на круглый диск». Nucl. Instrum. Methods . 93 (1): 163–167. Bibcode : 1971NucIM..93..163G. doi : 10.1016/0029-554X(71)90155-8.
• Гото, Х.; Яги, Х. (1971). «Телесный угол, опирающийся на прямоугольную щель». Nucl. Instrum. Methods . 96 (3): 485–486. Bibcode : 1971NucIM..96..485G. doi : 10.1016/0029-554X(71)90624-0.
• Кук, Дж. (1980). "Телесный угол, опирающийся на два прямоугольника". Nucl. Instrum. Methods . 178 (2–3): 561–564. Bibcode : 1980NucIM.178..561C. doi : 10.1016/0029-554X(80)90838-1.
• Асвестас, Джон С.; Энглунд, Дэвид К. (1994). «Вычисление телесного угла, образуемого плоской фигурой». Opt. Eng . 33 (12): 4055–4059. Bibcode : 1994OptEn..33.4055A. doi : 10.1117/12.183402.Исправление там же, том 50 (2011), стр. 059801.
• Tryka, Stanislaw (1997). "Угловое распределение телесного угла в точке, охватываемой круглым диском". Opt. Commun . 137 (4–6): 317–333. Bibcode :1997OptCo.137..317T. doi :10.1016/S0030-4018(96)00789-4.
• Prata, MJ (2004). "Аналитический расчет телесного угла, образуемого круглым дисковым детектором в точечном косинусном источнике". Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A . 521 (2–3): 576. arXiv : math-ph/0305034 . Bibcode :2004NIMPA.521..576P. doi :10.1016/j.nima.2003.10.098. S2CID  15266291.
• Timus, DM; Prata, MJ; Kalla, SL; Abbas, MI; Oner, F.; Galiano, E. (2007). «Некоторые дополнительные аналитические результаты о телесном угле, стягиваемом в точке круговым диском, с использованием эллиптических интегралов». Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A . 580 : 149–152. Bibcode :2007NIMPA.580..149T. doi :10.1016/j.nima.2007.05.055.

Внешние ссылки

• Артур П. Нортон, «Звездный атлас», Галл и Инглис, Эдинбург, 1969.
• MG Kendall, Курс геометрии N измерений, № 8 из «Статистических монографий и курсов Гриффина», под ред. MG Kendall, Charles Griffin & Co. Ltd, Лондон, 1961 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Сплошной угол». Математический мир .