В математике , теневой лунный свет -- это таинственная связь между решетками Нимейера и фиктивными тета - функциями Рамануджана . Это обобщение явления лунного света Матье , связывающее представления группы Матье M24 с поверхностями K3 .
Предыстория лунного света Матье начинается с теоремы Мукаи , утверждающей, что любая группа симплектических автоморфизмов поверхности K3 вкладывается в группу Матье M23 . Наблюдение лунного света возникло из физических соображений: любая конформная теория поля сигма-модели K3 имеет действие суперконформной алгебры N=(4,4) , возникающее из гиперкэлеровой структуры . Когда Тору Эгучи, Хироси Огури и Юдзи Тачикава (2011) вычислили первые несколько членов разложения эллиптического рода ККТ K3 на характеры суперконформной алгебры N=(4,4), они обнаружили, что кратности хорошо совпадают с простыми комбинациями представлений M24. Однако, согласно классификации Мукая–Кондо, не существует точного действия этой группы ни на одной поверхности K3 посредством симплектических автоморфизмов, а согласно работе Габердиеля–Хоэнеггера–Вольпато, не существует точного действия ни на одной ККТП K3, поэтому появление действия на базовом гильбертовом пространстве все еще остается загадкой.
Эгучи и Хиками показали, что кратности N=(4,4) являются фиктивными модулярными формами, а Миранда Ченг предположила, что характеры элементов M24 также должны быть фиктивными модулярными формами. Это предположение стало гипотезой Матье Moonshine, утверждающей, что виртуальное представление N=(4,4), заданное эллиптическим родом K3, является бесконечномерным градуированным представлением M24 с неотрицательными кратностями в массивном секторе, и что характеры являются фиктивными модулярными формами. В 2012 году Терри Ганнон доказал, что представление M24 существует.
В 2012 году Ченг, Дункан и Харви (2012) собрали численные доказательства расширения лунного света Матье, где семейства фиктивных модульных форм были присоединены к делителям 24. После некоторого обсуждения теории групп с Глауберманом Ченг, Дункан и Харви (2013) обнаружили, что это более раннее расширение было частным случаем (серия A) более естественного кодирования решетками Нимейера. Для каждой системы корней Нимейера X с соответствующей решеткой L X они определили теневую группу G X , заданную фактором группы автоморфизмов L X по подгруппе отражений — они также известны как стабилизаторы глубоких дыр в решетке Лича . Они предположили, что для каждого X существует бесконечномерное градуированное представление K X для G X , такое, что характеры элементов задаются списком векторнозначных фиктивных модульных форм, которые они вычислили. Формы-кандидаты удовлетворяют свойствам минимальности, весьма похожим на условие нулевого рода для Monstrous moonshine . Эти свойства минимальности подразумевают, что фиктивные модульные формы однозначно определяются их тенями, которые являются векторнозначными тета-рядами, построенными из корневой системы. Особый случай, когда X является корневой системой A 1 24, дает в точности Mathieu Moonshine. Гипотеза о теневом лунном свете была доказана в Duncan, Griffin & Ono (2015).
Название umbral moonshine происходит от использования теней в теории фиктивных модульных форм. Другим словам, связанным с лунным светом, таким как 'lambency', были даны технические значения (в данном случае группа рода ноль, прикрепленная к тени S X , уровень которой является двойным числом Коксетера корневой системы X ) Ченгом, Дунканом и Харви, чтобы продолжить тему.
Хотя гипотеза о сумрачном лунном свете была решена, все еще остается много вопросов. Например, связи с геометрией и физикой все еще не очень прочны, хотя есть работа Ченга и Харрисона, связывающая функции умбрального лунного света с особенностями ДюВаля на поверхностях K3. В качестве другого примера, текущее доказательство гипотезы о сумрачном лунном свете неэффективно, в том смысле, что оно не дает естественных конструкций представлений. Это похоже на ситуацию с чудовищным лунным светом в 1980-х годах: Аткин, Фонг и Смит показали с помощью вычислений, что модуль лунного света существует в 1980 году, но не дали конструкцию. Эффективное доказательство гипотезы Конвея-Нортона было дано Борчердсом в 1992 году с использованием представления монстра, построенного Френкелем, Леповски и Мейерманом. Существует конструкция вершинной алгебры для случая E 8 3 Дункана и Харви, где G X — симметрическая группа S 3 . Однако алгебраическая структура задается асимметричной конструкцией склеивания конусов, что позволяет предположить, что это не последнее слово.