Теорема Иссерлиса

В теории вероятностей теорема Иссерлиса или теорема вероятности Вика — это формула, которая позволяет вычислять моменты высшего порядка многомерного нормального распределения в терминах его ковариационной матрицы. Она названа в честь Леона Иссерлиса .

Эта теорема также особенно важна в физике элементарных частиц , где она известна как теорема Вика по названию работы Вика (1950). ^[1] Другие приложения включают анализ доходности портфеля, ^[2] квантовую теорию поля ^[3] и генерацию цветного шума. ^[4]

Заявление

Если — многомерный нормальный случайный вектор с нулевым средним , то где сумма берется по всем парам , т.е. всем различным способам разбиения на пары , а произведение берется по парам, содержащимся в . ^{[5] [6]} ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),}$$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{i,j\}}$ ${\displaystyle p}$

В более общем случае, если — многомерный нормальный случайный вектор с нулевым средним комплексным значением, то формула по-прежнему верна. ${\displaystyle (Z_{1},\dots ,Z_{n})}$

Выражение в правой части также известно как гафниан ковариационной матрицы . ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

Странный случай

Если нечетно, то не существует пары . При этой гипотезе теорема Иссерлиса подразумевает, что Это также следует из того факта, что имеет то же распределение, что и , что подразумевает, что . ${\displaystyle n=2m+1}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,2m+1\}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.}$$ ${\displaystyle -X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}$

Даже случай

В своей оригинальной статье ^[7] Леон Иссерлис доказывает эту теорему методом математической индукции, обобщая формулу для порядковых моментов ^[8] , которая принимает вид ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}$

Если четно, то существуют (см. двойной факториал ) парные разбиения : это дает члены в сумме. Например, для моментов порядка (т.е. случайных величин) есть три члена. Для моментов -порядка есть члены, а для моментов -порядка есть члены. ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,2m\}}$ ${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 6^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 3\times 5=15}$ ${\displaystyle 8^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 3\times 5\times 7=105}$

Пример

Мы можем оценить характеристическую функцию гауссианов по теореме Иссерлиса: $${\displaystyle E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}}$$

Доказательство

Поскольку обе части формулы являются полилинейными по , то если мы сможем доказать действительный случай, то мы получим сложный случай бесплатно. ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$

Пусть будет ковариационной матрицей, так что мы имеем многомерный нормальный случайный вектор с нулевым средним . Поскольку обе стороны формулы непрерывны относительно , ​​достаточно доказать случай, когда обратим. ${\displaystyle \Sigma _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}$ ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})\sim N(0,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Используя квадратичную факторизацию , получаем ${\displaystyle -x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x-v^{T}\Sigma v/2=-(x-\Sigma v)^{T}\Sigma ^{-1}(x-\Sigma v)/2}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}\int e^{-x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x}dx=e^{v^{T}\Sigma v/2}}$$

Дифференцируем под знаком интеграла с и получаем ${\displaystyle \partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}}$

$${\displaystyle E[X_{1}\cdots X_{n}]=\partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}e^{v^{T}\Sigma v/2}}$$.

То есть нам нужно найти только коэффициент при члене в разложении Тейлора . ${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle e^{v^{T}\Sigma v/2}}$

Если нечетно, то это ноль. Итак, пусть , тогда нам нужно найти только коэффициент при члене в многочлене . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{m!}}(v^{T}\Sigma v/2)^{m}}$

Разложим многочлен и посчитаем, получим формулу. ${\displaystyle \square }$

Обобщения

Гауссово интегрирование по частям

Эквивалентная формулировка формулы вероятности Вика — это гауссовское интегрирование по частям . Если — многомерный нормальный случайный вектор с нулевым средним , то ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}f(X_{1},\ldots ,X_{n}))=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{1},X_{i})\operatorname {E} (\partial _{X_{i}}f(X_{1},\ldots ,X_{n})).}$$Это обобщение леммы Стейна .

Формулу вероятности Вика можно восстановить по индукции, рассматривая функцию, определяемую выражением . Среди прочего, эта формулировка важна в конформной теории поля Лиувилля для получения конформных тождеств Уорда , уравнений BPZ ^[9] и для доказательства формулы Федорова-Бушо. ^[10] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}}$

Негауссовские случайные величины

Для негауссовских случайных величин формула моментных кумулянтов ^[11] заменяет формулу вероятности Вика. Если — вектор случайных величин , то где сумма берется по всем разбиениям , произведение берется по блокам и является совместным кумулянтом . ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$ $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\ldots X_{n})=\sum _{p\in P_{n}}\prod _{b\in p}\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )},}$$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in b}}$

Смотрите также

• Теорема Вика
• Кумулянты
• Нормальное распределение

Ссылки

1. Wick, GC (1950). «Оценка матрицы столкновений». Physical Review . 80 (2): 268–272. Bibcode : 1950PhRv...80..268W. doi : 10.1103/PhysRev.80.268.
2. Репетович, Пшемыслав; Ричмонд, Питер (2005). «Статистический вывод параметров многомерного распределения для негауссовых распределенных временных рядов» (PDF) . Acta Physica Polonica B. 36 ( 9): 2785–2796. Bibcode : 2005AcPPB..36.2785R.
3. Перес-Мартин, С.; Робледо, Л. М. (2007). «Обобщенная теорема Вика для многоквазичастичных перекрытий как предел теоремы Годена». Physical Review C. 76 ( 6): 064314. arXiv : 0707.3365 . Bibcode : 2007PhRvC..76f4314P. doi : 10.1103/PhysRevC.76.064314. S2CID  119627477.
4. Bartosch, L. (2001). «Генерация цветного шума». International Journal of Modern Physics C. 12 ( 6): 851–855. Bibcode :2001IJMPC..12..851B. doi :10.1142/S0129183101002012. S2CID  54500670.
5. Янсон, Сванте (июнь 1997 г.). Гауссовы Гильбертовы пространства. Cambridge Core. doi :10.1017/CBO9780511526169. ISBN 9780521561280. Получено 30.11.2019 .
6. Михалович, Дж. В.; Николс, Дж. М.; Бухольц, Ф.; Олсон, CC (2009). «Теорема Иссерлиса для смешанных гауссовских переменных: применение к автобиспектральной плотности». Журнал статистической физики . 136 (1): 89–102. Bibcode : 2009JSP...136...89M. doi : 10.1007/s10955-009-9768-3. S2CID  119702133.
7. Иссерлис, Л. (1918). «О формуле для коэффициента момента произведения любого порядка нормального распределения частот при любом числе переменных». Biometrika . 12 (1–2): 134–139. doi :10.1093/biomet/12.1-2.134. JSTOR  2331932.
8. Иссерлис, Л. (1916). «О некоторых вероятных ошибках и коэффициентах корреляции множественных распределений частот с косой регрессией». Biometrika . 11 (3): 185–190. doi :10.1093/biomet/11.3.185. JSTOR  2331846.
9. Купиайнен, Антти; Родес, Реми; Варгас, Винсент (2019-11-01). «Локальная конформная структура квантовой гравитации Лиувилля». Сообщения по математической физике . 371 (3): 1005–1069. arXiv : 1512.01802 . Bibcode :2019CMaPh.371.1005K. doi :10.1007/s00220-018-3260-3. ISSN  1432-0916. S2CID  55282482.
10. Реми, Гийом (2020). «Формула Федорова–Бушо и конформная теория поля Лиувилля». Duke Mathematical Journal . 169 . arXiv : 1710.06897 . doi :10.1215/00127094-2019-0045. S2CID  54777103.
11. Леонов, В. П.; Ширяев, А. Н. (январь 1959). «Об одном методе вычисления полуинвариантов». Теория вероятностей и ее приложения . 4 (3): 319–329. doi :10.1137/1104031.

Дальнейшее чтение

• Купманс, Ламберт Г. (1974). Спектральный анализ временных рядов . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press .