Двумерная конформная теория поля

Conformal field theory on a 2D spacetime

Двумерная конформная теория поля — это квантовая теория поля на евклидовом двумерном пространстве , инвариантная относительно локальных конформных преобразований .

В отличие от других типов конформных теорий поля , двумерные конформные теории поля имеют бесконечномерные алгебры симметрии. В некоторых случаях это позволяет решать их точно, используя метод конформного бутстрапа .

Известные двумерные конформные теории поля включают минимальные модели , теорию Лиувилля , теории безмассовых свободных бозонов , модели Весса–Зумино–Виттена и некоторые сигма-модели .

Базовые структуры

Геометрия

Двумерные конформные теории поля (КТП) определяются на римановых поверхностях , где локальные конформные отображения являются голоморфными функциями . Хотя КТП может предположительно существовать только на данной римановой поверхности, ее существование на любой поверхности, отличной от сферы, подразумевает ее существование на всех поверхностях. ^{[1] [2]} При наличии КТП действительно возможно склеить две римановы поверхности там, где она существует, и получить КТП на склеенной поверхности. ^{[1] [3]} С другой стороны, некоторые КТП существуют только на сфере. Если не указано иное, в этой статье мы рассматриваем КТП на сфере.

Симметрии и интегрируемость

При наличии локальной комплексной координаты действительное векторное пространство бесконечно малых конформных отображений имеет базис , причем . (Например, и порождают переносы.) Ослабляя предположение, что является комплексно сопряженным , т.е. комплексифицируя пространство бесконечно малых конформных отображений, получаем комплексное векторное пространство с базисом . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (\ell _{n}+{\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup (i(\ell _{n}-{\bar {\ell }}_{n}))_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \ell _{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$ ${\displaystyle \ell _{-1}+{\bar {\ell }}_{-1}}$ ${\displaystyle i(\ell _{-1}-{\bar {\ell }}_{-1})}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (\ell _{n})_{n\in \mathbb {Z} }\cup ({\bar {\ell }}_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$

С их естественными коммутаторами дифференциальные операторы порождают алгебру Витта . Согласно стандартным квантово-механическим аргументам, алгебра симметрии конформной теории поля должна быть центральным расширением алгебры Витта, т.е. алгеброй Вирасоро , генераторами которой являются , плюс центральный генератор. В данной CFT центральный генератор принимает постоянное значение , называемое центральным зарядом . ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle c}$

Таким образом, алгебра симметрии является произведением двух копий алгебры Вирасоро: левоподвижной или голоморфной алгебры с генераторами и правоподвижной или антиголоморфной алгебры с генераторами . ^[4] ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{n}}$

В универсальной обертывающей алгебре алгебры Вирасоро можно построить бесконечное множество взаимно коммутирующих зарядов. Первый заряд — , второй заряд — квадратичный в генераторах Вирасоро, третий заряд — кубический и т. д. Это показывает, что любая двумерная конформная теория поля также является квантовой интегрируемой системой . ^[5] ${\displaystyle L_{0}-{\frac {c}{24}}}$

Пространство состояний

Пространство состояний , также называемое спектром ККТ, является представлением произведения двух алгебр Вирасоро.

Для состояния, которое является собственным вектором и с собственными значениями и , ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$

• ${\displaystyle \Delta }$- левое конформное измерение ,
• ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$является правым конформным измерением ,
• ${\displaystyle \Delta +{\bar {\Delta }}}$это полная конформная размерность или энергия,
• ${\displaystyle \Delta -{\bar {\Delta }}}$это конформный спин .

КТП называется рациональной, если ее пространство состояний распадается на конечное число неприводимых представлений произведения двух алгебр Вирасоро. В рациональной КТП, которая определена на всех римановых поверхностях, центральный заряд и конформные размерности являются рациональными числами. ^[6]

ККТ называется диагональной, если ее пространство состояний является прямой суммой представлений типа , где — неразложимое представление левой алгебры Вирасоро, а — то же самое представление правой алгебры Вирасоро. ${\displaystyle R\otimes {\bar {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

CFT называется унитарной, если пространство состояний имеет положительно определенную эрмитову форму, такую ​​что и являются самосопряженными, и . Это подразумевает, в частности, что , и что центральный заряд является действительным. Тогда пространство состояний является гильбертовым пространством . Хотя унитарность необходима для того, чтобы CFT была надлежащей квантовой системой с вероятностной интерпретацией, многие интересные CFT тем не менее неунитарны, включая минимальные модели и теорию Лиувилля для большинства допустимых значений центрального заряда. ${\displaystyle L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle L_{0}^{\dagger }=L_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}_{0}^{\dagger }={\bar {L}}_{0}}$ ${\displaystyle L_{n}^{\dagger }=L_{-n}}$

Поля и корреляционные функции

Соответствие состояние -поле представляет собой линейное отображение из пространства состояний в пространство полей, которое коммутирует с действием алгебры симметрии. ${\displaystyle v\mapsto V_{v}(z)}$

В частности, образ первичного состояния представления алгебры Вирасоро с наименьшим весом является первичным полем ^[7] , таким что ${\displaystyle V_{\Delta }(z)}$

${\displaystyle L_{n>0}V_{\Delta }(z)=0\quad ,\quad L_{0}V_{\Delta }(z)=\Delta V_{\Delta }(z)\ .}$

Поля потомков получаются из первичных полей, действуя с режимами создания . Вырожденные поля соответствуют первичным состояниям вырожденных представлений. Например, вырожденное поле подчиняется , из-за наличия нулевого вектора в соответствующем вырожденном представлении. ${\displaystyle L_{n<0}}$ ${\displaystyle V_{1,1}(z)}$ ${\displaystyle L_{-1}V_{1,1}(z)=0}$

Функция корреляции по точкам — это число, которое линейно зависит от полей, обозначаемое как с . В формулировке интеграла по траектории конформной теории поля корреляционные функции определяются как функциональные интегралы. В подходе конформного бутстрапа корреляционные функции определяются аксиомами. В частности, предполагается, что существует операторное расширение продукта (OPE), ^[7] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left\langle V_{1}(z_{1})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle }$ ${\displaystyle i\neq j\Rightarrow z_{i}\neq z_{j}}$

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})V_{v_{i}}(z_{2})\ ,}$

где — базис пространства состояний, а числа называются коэффициентами OPE. Более того, предполагается, что корреляционные функции инвариантны относительно перестановок в полях, другими словами, предполагается, что OPE ассоциативен и коммутативен. (Коммутативность OPE не означает, что коэффициенты OPE инвариантны относительно , ​​поскольку расширение по полям нарушает эту симметрию.) ${\displaystyle \{v_{i}\}}$ ${\displaystyle C_{12}^{v_{i}}(z_{1},z_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=V_{2}(z_{2})V_{1}(z_{1})}$ ${\displaystyle 1\leftrightarrow 2}$ ${\displaystyle V_{v_{i}}(z_{2})}$

Коммутативность OPE подразумевает, что первичные поля имеют целые конформные спины . Первичное поле с нулевым конформным спином называется диагональным полем . Существуют также фермионные CFT , которые включают фермионные поля с полуцелыми конформными спинами , которые антикоммутируют. ^[8] Существуют также парафермионные CFT , которые включают поля с более общими рациональными спинами . Не только парафермионы не коммутируют, но и их корреляционные функции являются многозначными. ${\displaystyle S\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S\in {\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S\in \mathbb {Q} }$

Функция распределения тора является частной корреляционной функцией, которая зависит исключительно от спектра , а не от коэффициентов OPE. Для комплексного тора с модулем функция распределения равна ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle Z(\tau )=\operatorname {Tr} _{\mathcal {S}}q^{L_{0}-{\frac {c}{24}}}{\bar {q}}^{{\bar {L}}_{0}-{\frac {c}{24}}}}$

где . Статистическая сумма тора совпадает с характером спектра, рассматриваемого как представление алгебры симметрии. ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

Киральная конформная теория поля

В двумерной конформной теории поля свойства называются хиральными , если они следуют из действия одной из двух алгебр Вирасоро. Если пространство состояний можно разложить на факторизованные представления произведения двух алгебр Вирасоро, то все следствия конформной симметрии являются хиральными. Другими словами, действия двух алгебр Вирасоро можно изучать по отдельности.

Тензор энергии-импульса

Предполагается, что зависимость поля от его положения определяется ${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}V(z)=L_{-1}V(z).}$

Из этого следует, что ОПЭ

${\displaystyle T(y)V(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {L_{n}V(z)}{(y-z)^{n+2}}},}$

определяет локально голоморфное поле , которое не зависит от Это поле отождествляется с (компонентой) тензора энергии-импульса . ^[4] В частности, OPE тензора энергии-импульса с первичным полем имеет вид ${\displaystyle T(y)}$ ${\displaystyle z.}$

${\displaystyle T(y)V_{\Delta }(z)={\frac {\Delta }{(y-z)^{2}}}V_{\Delta }(z)+{\frac {1}{y-z}}{\frac {\partial }{\partial z}}V_{\Delta }(z)+O(1).}$

ОПЭ тензора энергии-импульса с самим собой равно

${\displaystyle T(y)T(z)={\frac {\frac {c}{2}}{(y-z)^{4}}}+{\frac {2T(z)}{(y-z)^{2}}}+{\frac {\partial T(z)}{y-z}}+O(1),}$

где — центральный заряд. (Это OPE эквивалентно коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро.) ${\displaystyle c}$

Конформные идентичности Уорда

Конформные тождества Уорда — это линейные уравнения, которым подчиняются корреляционные функции вследствие конформной симметрии. ^[4] Их можно вывести, изучая корреляционные функции, включающие вставки тензора энергии-импульса. Их решения — конформные блоки .

Например, рассмотрим конформные тождества Уорда на сфере. Пусть будет глобальной комплексной координатой на сфере, рассматриваемой как Голоморфность тензора энергии-импульса в эквивалентна ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$ ${\displaystyle z=\infty }$

${\displaystyle T(z){\underset {z\to \infty }{=}}O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right).}$

Более того, вставка в -точечную функцию первичных полей дает ${\displaystyle T(z)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle T(z)\prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{i}}{(z-z_{i})^{2}}}+{\frac {1}{z-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle .}$

Из последних двух уравнений можно вывести локальные тождества Уорда , которые выражают -точечные функции полей-потомков через -точечные функции первичных полей. Более того, можно вывести три дифференциальных уравнения для любой -точечной функции первичных полей, называемые глобальными конформными тождествами Уорда : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\left(z_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+\Delta _{i}kz_{i}^{k-1}\right)\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0,\qquad (k\in \{0,1,2\}).}$

Эти тождества определяют, как двух- и трехточечные функции зависят от ${\displaystyle z,}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})\right\rangle {\begin{cases}=0&\ \ (\Delta _{1}\neq \Delta _{2})\\\propto (z_{1}-z_{2})^{-2\Delta _{1}}&\ \ (\Delta _{1}=\Delta _{2})\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle V_{\Delta _{1}}(z_{1})V_{\Delta _{2}}(z_{2})V_{\Delta _{3}}(z_{3})\right\rangle \propto (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}},}$

где неопределенные коэффициенты пропорциональности являются функциями ${\displaystyle {\bar {z}}.}$

Уравнения БПЗ

Корреляционная функция, включающая вырожденное поле, удовлетворяет линейному уравнению в частных производных, называемому уравнением Белавина–Полякова–Замолодчикова в честь Александра Белавина , Александра Полякова и Александра Замолодчикова . ^[7] Порядок этого уравнения — это уровень нулевого вектора в соответствующем вырожденном представлении.

Тривиальным примером является уравнение BPZ первого порядка

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\left\langle V_{1,1}(z_{1})V_{2}(z_{2})\cdots V_{N}(z_{N})\right\rangle =0.}$

что следует из

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}V_{1,1}(z_{1})=L_{-1}V_{1,1}(z_{1})=0.}$

Первый нетривиальный пример включает вырожденное поле с исчезающим нулевым вектором на уровне два, ${\displaystyle V_{2,1}}$

${\displaystyle \left(L_{-1}^{2}+b^{2}L_{-2}\right)V_{2,1}=0,}$

где связано с центральным зарядом соотношением ${\displaystyle b}$

${\displaystyle c=1+6\left(b+b^{-1}\right)^{2}.}$

Тогда -точечная функция и других первичных полей подчиняется: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V_{2,1}}$ ${\displaystyle N-1}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{1}^{2}}}+\sum _{i=2}^{N}\left({\frac {1}{z_{1}-z_{i}}}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}+{\frac {\Delta _{i}}{(z_{1}-z_{i})^{2}}}\right)\right)\left\langle V_{2,1}(z_{1})\prod _{i=2}^{N}V_{\Delta _{i}}(z_{i})\right\rangle =0.}$

Уравнение BPZ порядка для корреляционной функции, включающее вырожденное поле, может быть выведено из обращения в нуль нулевого вектора и локальных тождеств Уорда . Благодаря глобальным тождествам Уорда четырехточечные функции могут быть записаны в терминах одной переменной вместо четырех, а уравнения BPZ для четырехточечных функций могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. ${\displaystyle rs}$ ${\displaystyle V_{r,s}}$

Правила слияния

В OPE, включающем вырожденное поле, исчезновение нулевого вектора (плюс конформная симметрия) ограничивает, какие первичные поля могут появиться. Результирующие ограничения называются правилами слияния . ^[4] Используя импульс таким образом, что ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Delta =\alpha \left(b+b^{-1}-\alpha \right)}$

вместо конформного измерения для параметризации первичных полей используются правила слияния ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle V_{r,s}\times V_{\alpha }=\sum _{i=0}^{r-1}\sum _{j=0}^{s-1}V_{\alpha +\left(i-{\frac {r-1}{2}}\right)b+\left(j-{\frac {s-1}{2}}\right)b^{-1}}}$

в частности

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha }\\[6pt]V_{2,1}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {b}{2}}}+V_{\alpha +{\frac {b}{2}}}\\[6pt]V_{1,2}\times V_{\alpha }&=V_{\alpha -{\frac {1}{2b}}}+V_{\alpha +{\frac {1}{2b}}}\end{aligned}}}$

Альтернативно, правила слияния имеют алгебраическое определение в терминах ассоциативного продукта слияния представлений алгебры Вирасоро при заданном центральном заряде. Продукт слияния отличается от тензорного произведения представлений. (В тензорном произведении центральные заряды складываются.) В некоторых конечных случаях это приводит к структуре категории слияния .

Конформная теория поля является квазирациональной , если продукт слияния двух неразложимых представлений является суммой конечного числа неразложимых представлений. ^[9] Например, обобщенные минимальные модели являются квазирациональными, не будучи рациональными.

Конформный бутстрап

Метод конформного бутстрапа заключается в определении и решении ККТ с использованием только предположений симметрии и согласованности, сводя все корреляционные функции к комбинациям структурных констант и конформных блоков. В двух измерениях этот метод приводит к точным решениям некоторых ККТ и к классификациям рациональных теорий.

Структурные константы

Пусть будет лево- и право-примарным полем с лево- и право-конформными размерностями и . Согласно левому и правому глобальным тождествам Уорда, трехточечные функции таких полей имеют вид ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})V_{3}(z_{3})\right\rangle =C_{123}\\&\qquad \times (z_{1}-z_{2})^{\Delta _{3}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}(z_{2}-z_{3})^{\Delta _{1}-\Delta _{2}-\Delta _{3}}(z_{1}-z_{3})^{\Delta _{2}-\Delta _{1}-\Delta _{3}}\\&\qquad \times ({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{3}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}({\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{3}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{3})^{{\bar {\Delta }}_{2}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{3}}\ ,\end{aligned}}}$

где -независимое число называется константой трехточечной структуры . Для того чтобы трехточечная функция была однозначной, лево- и правоконформные размерности первичных полей должны подчиняться ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle C_{123}}$

${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \ .}$

Этому условию удовлетворяют бозонные ( ) и фермионные ( ) поля. Однако оно нарушается парафермионными полями ( ), корреляционные функции которых, следовательно, не являются однозначными на сфере Римана. ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}-{\bar {\Delta }}_{i}\in \mathbb {Q} }$

Константы трехточечной структуры также появляются в OPE,

${\displaystyle V_{1}(z_{1})V_{2}(z_{2})=\sum _{i}C_{12i}(z_{1}-z_{2})^{\Delta _{i}-\Delta _{1}-\Delta _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{{\bar {\Delta }}_{i}-{\bar {\Delta }}_{1}-{\bar {\Delta }}_{2}}{\Big (}V_{i}(z_{2})+\cdots {\Big )}\ .}$

Вклады полей-потомков, обозначенные точками, полностью определяются конформной симметрией. ^[4]

Конформные блоки

Любая корреляционная функция может быть записана как линейная комбинация конформных блоков : функции, которые определяются конформной симметрией и помечены представлениями алгебры симметрии. Коэффициенты линейной комбинации являются произведениями структурных констант. ^[7]

В двумерной CFT алгебра симметрии факторизуется в две копии алгебры Вирасоро, а конформный блок, включающий первичные поля, имеет голоморфную факторизацию : это произведение локально голоморфного фактора, который определяется алгеброй Вирасоро, движущейся влево, и локально антиголоморфного фактора, который определяется алгеброй Вирасоро, движущейся вправо. Эти факторы сами по себе называются конформными блоками.

Например, использование OPE первых двух полей в четырехточечной функции первичных полей дает

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}V_{i}(z_{i})\right\rangle =\sum _{s}C_{12s}C_{s34}{\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\}){\mathcal {F}}_{{\bar {\Delta }}_{s}}^{(s)}(\{{\bar {\Delta }}_{i}\},\{{\bar {z}}_{i}\})\ ,}$

где — s-канальный четырехточечный конформный блок . Четырехточечные конформные блоки — это сложные функции, которые можно эффективно вычислить с помощью рекурсивных соотношений Алексея Замолодчикова . Если одно из четырех полей вырождено, то соответствующие конформные блоки подчиняются уравнениям BPZ. Если, в частности, одно из четырех полей — , то соответствующие конформные блоки можно записать в терминах гипергеометрической функции . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\Delta _{s}}^{(s)}(\{\Delta _{i}\},\{z_{i}\})}$ ${\displaystyle V_{2,1}}$

Как впервые объяснил Виттен, ^[10] пространство конформных блоков двумерной CFT можно отождествить с квантовым гильбертовым пространством 2+1-мерной теории Черна-Саймонса , которая является примером топологической теории поля . Эта связь оказалась весьма плодотворной в теории дробного квантового эффекта Холла .

Конформные уравнения бутстрапа

Когда корреляционная функция может быть записана в терминах конформных блоков несколькими различными способами, равенство полученных выражений обеспечивает ограничения на пространство состояний и на константы трехточечной структуры. Эти ограничения называются уравнениями конформной загрузки . В то время как тождества Уорда являются линейными уравнениями для корреляционных функций, уравнения конформной загрузки нелинейно зависят от констант трехточечной структуры.

Например, четырехточечная функция может быть записана в терминах конформных блоков тремя неэквивалентными способами, соответствующими использованию OPE ( s-канал ), ( t-канал ) или ( u-канал ). Равенство трех полученных выражений называется перекрестной симметрией четырехточечной функции и эквивалентно ассоциативности OPE. ^[7] ${\displaystyle \left\langle V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}\right\rangle }$ ${\displaystyle V_{1}V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}V_{4}}$ ${\displaystyle V_{1}V_{3}}$

Например, статсумма тора инвариантна относительно действия модулярной группы на модуль тора, что эквивалентно . Эта инвариантность является ограничением на пространство состояний. Изучение статсумм модулярно-инвариантных торовых инвариантных торовых инвариантных торовых инвариантов иногда называют модулярным бутстрапом . ${\displaystyle Z(\tau )=Z(\tau +1)=Z(-{\frac {1}{\tau }})}$

Согласованность ККТ на сфере эквивалентна перекрестной симметрии четырехточечной функции. Согласованность ККТ на всех римановых поверхностях также требует модульной инвариантности одноточечной функции тора. ^[1] Поэтому модульная инвариантность статистической суммы тора не является ни необходимой, ни достаточной для существования ККТ. Однако она широко изучалась в рациональных ККТ, поскольку характеры представлений проще, чем у других видов конформных блоков, таких как четырехточечные конформные блоки сферы.

Примеры

Минимальные модели

Минимальная модель — это CFT, спектр которой построен из конечного числа неприводимых представлений алгебры Вирасоро. Минимальные модели существуют только для определенных значений центрального заряда, ^[4]

${\displaystyle c_{p,q}=1-6{\frac {(p-q)^{2}}{pq}},\qquad p>q\in \{2,3,\ldots \}.}$

Существует классификация минимальных моделей ADE . ^[11] В частности, минимальная модель серии A с центральным зарядом является диагональной CFT, спектр которой построен из вырожденных представлений наименьшего веса алгебры Вирасоро. Эти вырожденные представления помечены парами целых чисел, которые образуют таблицу Каца , ${\displaystyle c=c_{p,q}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(p-1)(q-1)}$

${\displaystyle (r,s)\in \{1,\ldots ,p-1\}\times \{1,\ldots ,q-1\}\qquad {\text{with}}\qquad (r,s)\simeq (p-r,q-s).}$

Например, минимальная модель серии А описывает спиновые и энергетические корреляторы двумерной критической модели Изинга . ${\displaystyle c=c_{4,3}={\tfrac {1}{2}}}$

Теория Лиувилля

Для любой теории Лиувилля существует диагональная ККТ, спектр которой построен из модулей Верма с конформными размерностями ${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

Теория Лиувилля была решена в том смысле, что ее трехточечные структурные константы известны явно. Теория Лиувилля имеет приложения к теории струн и к двумерной квантовой гравитации.

Расширенные алгебры симметрии

В некоторых CFT алгебра симметрии — это не просто алгебра Вирасоро, а ассоциативная алгебра (т.е. не обязательно алгебра Ли), которая содержит алгебру Вирасоро. Затем спектр разлагается на представления этой алгебры, и понятия диагональных и рациональных CFT определяются относительно этой алгебры. ^[4]

Теории свободных бозонов без массы

В двух измерениях безмассовые свободные бозонные теории конформно инвариантны. Их алгебра симметрии — это аффинная алгебра Ли, построенная из абелевой алгебры Ли ранга один. Слияние любых двух представлений этой алгебры симметрии дает только одно представление, и это делает корреляционные функции очень простыми. ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$

Рассмотрение минимальных моделей и теории Лиувилля как возмущенных свободных бозонных теорий приводит к методу кулоновского газа для вычисления их корреляционных функций. Более того, для существует однопараметрическое семейство свободных бозонных теорий с бесконечными дискретными спектрами, которые описывают компактифицированные свободные бозоны , причем параметром является радиус компактификации. ^[4] ${\displaystyle c=1,}$

Модели Весса–Зумино–Виттена

Для данной группы Ли соответствующая модель Весса–Зумино–Виттена представляет собой КТП, алгебра симметрии которой является аффинной алгеброй Ли, построенной из алгебры Ли Если компактно, то эта КТП рациональна, ее центральный заряд принимает дискретные значения, а ее спектр известен. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$

Суперконформные теории поля

Алгебра симметрии суперсимметричной CFT — это супералгебра Вирасоро , или большая алгебра. Суперсимметричные CFT особенно актуальны для теории суперструн.

Теории, основанные на W-алгебрах

W-алгебры являются естественными расширениями алгебры Вирасоро. КТП, основанные на W-алгебрах, включают обобщения минимальных моделей и теории Лиувилля, соответственно называемые W-минимальными моделями и конформными теориями Тоды . Конформные теории Тоды сложнее теории Лиувилля и менее понятны.

Сигма-модели

В двух измерениях классические сигма-модели конформно инвариантны, но только некоторые целевые многообразия приводят к квантовым сигма-моделям, которые конформно инвариантны. Примерами таких целевых многообразий являются торы и многообразия Калаби–Яу .

Логарифмические конформные теории поля

Логарифмические конформные теории поля являются двумерными CFT, такими что действие генератора алгебры Вирасоро на спектр не диагонализуемо. В частности, спектр не может быть построен исключительно из представлений с наименьшим весом . Как следствие, зависимость корреляционных функций от положений полей может быть логарифмической. Это контрастирует со степенной зависимостью двух- и трехточечных функций, которые связаны с представлениями с наименьшим весом. ${\displaystyle L_{0}}$

Критическая модель Q-состояния Поттса

Критическая модель Поттса или критическая случайная кластерная модель — это конформная теория поля, которая обобщает и объединяет критическую модель Изинга , модель Поттса и перколяцию . Модель имеет параметр , который должен быть целым числом в модели Поттса, но может принимать любое комплексное значение в случайной кластерной модели. ^[12] Этот параметр связан с центральным зарядом соотношением ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=4\cos ^{2}(\pi \beta ^{2})\qquad {\text{with}}\qquad c=13-6\beta ^{2}-6\beta ^{-2}\ .}$

Специальные значения включают: ^[13] ${\displaystyle Q}$

Известная статсумма тора ^[14] предполагает, что модель является нерациональной с дискретным спектром.

Ссылки

1. Мур, Грегори; Зайберг, Натан (1989). «Классическая и квантовая конформная теория поля». Сообщения по математической физике . 123 (2): 177–254. Bibcode :1989CMaPh.123..177M. doi :10.1007/BF01238857. S2CID  122836843.
2. Бакалов, Бойко; Кириллов, Александр (10 сентября 1998 г.). «Об игре Лего-Тейхмюллер». arXiv : math/9809057 . Бибкод : 1998math......9057B.
3. Тешнер, Йорг (2017-08-02). «Руководство по двумерной конформной теории поля». arXiv : 1708.00680v2 [hep-th].
4. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. ISBN 0-387-94785-X . 
5. Бажанов, В.; Лукьянов, С.; Замолодчиков, А. (1996). "Интегрируемая структура конформной теории поля, квантовая теория КдФ и термодинамический анзац Бете". Сообщения по математической физике . 177 (2): 381–398. arXiv : hep-th/9412229 . Bibcode :1996CMaPh.177..381B. doi :10.1007/BF02101898. S2CID  17051784.
6. Vafa, Cumrun (1988). «К классификации конформных теорий». Physics Letters B. 206 ( 3). Elsevier BV: 421–426. doi :10.1016/0370-2693(88)91603-6. ISSN  0370-2693.
7. Белавин, АА; Поляков, А.М.; Замолодчиков, А.Б. (1984). "Бесконечная конформная симметрия в двумерной квантовой теории поля" (PDF) . Nuclear Physics B . 241 (2): 333–380. Bibcode :1984NuPhB.241..333B. doi :10.1016/0550-3213(84)90052-X. ISSN  0550-3213.
8. Runkel, Ingo; Watts, Gerard MT (2020-01-14). "Фермионные CFT и классифицирующие алгебры". Журнал физики высоких энергий . 2020 (6): 25. arXiv : 2001.05055v1 . Bibcode : 2020JHEP...06..025R. doi : 10.1007/JHEP06(2020)025. S2CID  210718696.
9. Мур, Грегори; Зайберг, Натан (1989). «Естественность в конформной теории поля». Nuclear Physics B. 313 ( 1). Elsevier BV: 16–40. Bibcode : 1989NuPhB.313...16M. doi : 10.1016/0550-3213(89)90511-7. ISSN  0550-3213.
10. Witten, E. (1989). "Квантовая теория поля и полином Джонса". Comm. Math. Phys . 121 (3): 351. Bibcode :1989CMaPh.121..351W. doi :10.1007/BF01217730. S2CID  14951363.
11. Андреа Каппелли и Жан-Бернард Зубер (2010), «Классификация конформных теорий поля по ADE», Scholarpedia 5(4):10314.
12. Фортуин, CM; Кастелейн, PW (1972). «О модели случайных кластеров». Physica . 57 (4): 536–564. doi :10.1016/0031-8914(72)90045-6. ISSN  0031-8914.
13. Пикко, Марко; Рибо, Сильвен; Сантакьяра, Рауль (2016). «Подход конформной загрузки к критической перколяции в двух измерениях». SciPost Physics . 1 (1): 009. arXiv : 1607.07224 . Bibcode :2016ScPP....1....9P. doi : 10.21468/SciPostPhys.1.1.009 . S2CID  10536203.
14. Ди Франческо, П.; Сейлер, Х.; Зубер, Дж. Б. (1987). «Модулярная инвариантность в неминимальных двумерных конформных теориях». Nuclear Physics B. 285 : 454–480. Bibcode : 1987NuPhB.285..454D. doi : 10.1016/0550-3213(87)90349-x. ISSN  0550-3213.

Дальнейшее чтение

• П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1997. ISBN 0-387-94785-X . 
• На странице «Конформная теория поля» в Wiki-сайте «Теория струн» представлен список книг и обзоров.
• Рибо, Сильвен (2014). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv : 1406.4290 [hep-th].