Безмассовые свободные скалярные бозоны в двух измерениях

2D-конформные теории поля

Безмассовые свободные скалярные бозоны представляют собой семейство двумерных конформных теорий поля , симметрия которых описывается абелевой аффинной алгеброй Ли .

Поскольку они свободны , т.е. не взаимодействуют, свободные бозонные CFT легко решаются точно. С помощью формализма кулоновского газа они приводят к точным результатам во взаимодействующих CFT, таких как минимальные модели . Более того, они играют важную роль в подходе мирового листа к теории струн .

В свободной бозонной ККТ центральный заряд алгебры Вирасоро может принимать любое комплексное значение. Однако значение иногда подразумевается неявно. Для существуют компактифицированные свободные бозонные ККТ с произвольными значениями радиуса компактификации. ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle c=1}$

Формулировка Лагранжа

Действие теории свободных бозонов в двух измерениях является функционалом свободного бозона , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +QR\phi )\ ,}$

где — метрика двумерного пространства, на котором сформулирована теория, — скаляр Риччи этого пространства. Параметр называется фоновым зарядом . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Q\in \mathbb {C} }$

Особенностью двух измерений является то, что масштабное измерение свободного бозона исчезает. Это допускает наличие неисчезающего фонового заряда и лежит в основе конформной симметрии теории . ${\displaystyle \phi }$

В теории вероятностей свободный бозон может быть построен как гауссово свободное поле . Это обеспечивает реализацию корреляционных функций как ожидаемых значений случайных величин.

Симметрии

Абелева аффинная алгебра Ли

Алгебра симметрии генерируется двумя хиральными сохраняющимися токами : током, движущимся влево, и током, движущимся вправо, соответственно.

${\displaystyle J=\partial \phi \quad {\text{and}}\quad {\bar {J}}={\bar {\partial }}\phi }$

которые подчиняются . Каждый ток порождает абелеву аффинную алгебру Ли . Структура леводвижущейся аффинной алгебры Ли закодирована в само- OPE леводвижущегося тока , ${\displaystyle \partial {\bar {J}}={\bar {\partial }}J=0}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$

${\displaystyle J(y)J(z)={\frac {-{\frac {1}{2}}}{(y-z)^{2}}}+O(1)}$

Эквивалентно, если ток записан в виде ряда Лорана относительно точки , то абелева аффинная алгебра Ли характеризуется скобкой Ли ${\displaystyle J(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}z^{-n-1}}$ ${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle [J_{m},J_{n}]={\frac {1}{2}}n\delta _{m+n,0}}$

Центр алгебры порождается , а алгебра представляет собой прямую сумму взаимно коммутирующих подалгебр размерности 1 или 2: ${\displaystyle J_{0}}$

${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}={\text{Span}}(J_{0})\oplus \bigoplus _{n=1}^{\infty }{\text{Span}}(J_{n},J_{-n})}$

Конформная симметрия

Для любого значения универсальная обертывающая алгебра абелевой аффинной алгебры Ли имеет подалгебру Вирасоро с образующими ^[1] ${\displaystyle Q\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}&=-\sum _{m\in {\mathbb {Z} }}J_{n-m}J_{m}+Q(n+1)J_{n}\ ,\qquad (n\neq 0)\ ,\\L_{0}&=-2\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}J_{m}-J_{0}^{2}+QJ_{0}\ ,\end{aligned}}}$

Центральный заряд этой подалгебры Вирасоро равен

${\displaystyle c=1+6Q^{2}}$

и коммутационные соотношения генераторов Вирасоро с генераторами аффинной алгебры Ли следующие:

${\displaystyle [L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}-{\frac {Q}{2}}m(m+1)\delta _{m+n,0}}$

Если параметр совпадает с фоновым зарядом свободного бозона, то поле совпадает с тензором энергии-импульса свободного бозона . Соответствующая алгебра Вирасоро, таким образом, имеет геометрическую интерпретацию как алгебра бесконечно малых конформных отображений и кодирует локальную конформную симметрию теории . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}}$

Дополнительные симметрии

При специальных значениях центрального заряда и/или радиуса компактификации свободные бозонные теории могут иметь не только свою симметрию, но и дополнительные симметрии. В частности, при при специальных значениях радиуса компактификации могут появляться неабелевы аффинные алгебры Ли, суперсимметрия и т. д. ^[2] ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$ ${\displaystyle c=1}$

Аффинные первичные поля

В свободной бозонной ККТ все поля являются либо аффинными первичными полями, либо их аффинными потомками. Благодаря аффинной симметрии корреляционные функции аффинных полей-потомков в принципе могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей.

Определение

Аффинное первичное поле с левым и правым -зарядами определяется его OPE с токами, ^[1] ${\displaystyle V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$ ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$

${\displaystyle J(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\alpha }{y-z}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)\quad ,\quad {\bar {J}}(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\bar {\alpha }}{{\bar {y}}-{\bar {z}}}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)}$

Эти OPE эквивалентны соотношениям

${\displaystyle J_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {J}}_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=0\quad ,\quad J_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=\alpha V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)\quad ,\quad {\bar {J}}_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {\alpha }}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)}$

Заряды также называются лево- и право-движущимися импульсами . Если они совпадают, аффинное первичное поле называется диагональным и записывается как . ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(z)=V_{\alpha ,\alpha }(z)}$

Нормально упорядоченные экспоненты свободного бозона являются аффинными первичными полями. В частности, поле является диагональным аффинным первичным полем с импульсом . Это поле и аффинные первичные поля в целом иногда называются вершинными операторами . ^[3] ${\displaystyle :e^{2\alpha \phi (z)}:}$ ${\displaystyle \alpha }$

Аффинное первичное поле также является первичным полем Вирасоро с конформной размерностью

${\displaystyle \Delta (\alpha )=\alpha (Q-\alpha )}$

Оба поля имеют одинаковые левые и правые конформные измерения, хотя их импульсы различны. ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$

ОПЭ и сохранение импульса

Из-за аффинной симметрии импульс сохраняется в свободных бозонных ККТ. На уровне правил слияния это означает, что только одно аффинное первичное поле может появиться в слиянии любых двух аффинных первичных полей,

${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}\times V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}=V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}}$

Операторные разложения произведений аффинных первичных полей, таким образом, принимают вид

${\displaystyle V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}(z_{1})V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})=C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})(z_{1}-z_{2})^{-2\alpha _{1}\alpha _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{-2{\bar {\alpha }}_{1}{\bar {\alpha }}_{2}}\left(V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})+O(z_{1}-z_{2})\right)}$

где - коэффициент OPE, а - член - вклад аффинных полей потомков. OPE не имеют явной зависимости от фонового заряда. ${\displaystyle C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})}$ ${\displaystyle O(z_{1}-z_{2})}$

Корреляционные функции

Согласно аффинным тождествам Уорда для -точечных функций на сфере, ^[1] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \neq 0\implies \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\bar {\alpha }}_{i}=Q}$

Более того, аффинная симметрия полностью определяет зависимость сферо -точечных функций от положений, ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \propto \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{-2\alpha _{i}\alpha _{j}}({\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}_{j})^{-2{\bar {\alpha }}_{i}{\bar {\alpha }}_{j}}}$

Однозначность корреляционных функций приводит к ограничениям на импульсы,

${\displaystyle \Delta (\alpha _{i})-\Delta ({\bar {\alpha }}_{i})\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} }$

Модели

Некомпактные свободные бозоны

Свободная бозонная ККТ называется некомпактной, если импульс может принимать непрерывные значения.

Некомпактные свободные бозонные ККТ с используются для описания некритической теории струн . В этом контексте некомпактная свободная бозонная ККТ называется линейной дилатонной теорией . ${\displaystyle Q\neq 0}$

Свободная бозонная КПТ с ie представляет собой сигма-модель с одномерным целевым пространством. ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle c=1}$

• Если целевое пространство — это евклидова действительная прямая, то импульс мнимый , а конформная размерность положительная . ${\displaystyle \alpha ={\bar {\alpha }}\in i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta (\alpha )\geq 0}$
• Если целевое пространство — это действительная прямая Минковского, то импульс является действительным , а конформная размерность отрицательна . ${\displaystyle \alpha ={\bar {\alpha }}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta (\alpha )\leq 0}$
• Если целевое пространство представляет собой круг, то импульс принимает дискретные значения, и мы имеем компактифицированный свободный бозон.

Компактифицированные свободные бозоны

Компактифицированный свободный бозон с радиусом ${\displaystyle R}$ — это свободная бозонная ККТ, где левый и правый импульсы принимают значения

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\alpha }})=\left({\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right],{\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]\right)\quad {\text{with}}\quad (n,w)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

Целые числа тогда называются импульсом и числом намотки . Допустимые значения радиуса компактификации — если и в противном случае. ^[1] ${\displaystyle n,w}$ ${\displaystyle R\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle R\in {\frac {1}{iQ}}\mathbb {Z} }$

Если , свободные бозоны с радиусами и описывают ту же CFT. С точки зрения сигма-модели эта эквивалентность называется T-дуальностью . ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$

Если , компактифицированная свободная бозонная ККТ существует на любой римановой поверхности . Ее статистическая сумма на торе равна ^[3] ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}}$

${\displaystyle Z_{R}(\tau )=Z_{\frac {1}{R}}(\tau )={\frac {1}{|\eta (\tau )|^{2}}}\sum _{n,w\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right]^{2}}{\bar {q}}^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]^{2}}}$

где , а — эта-функция Дедекинда . Эта функция распределения представляет собой сумму характеров алгебры Вирасоро по спектру конформных измерений теории. ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ ${\displaystyle \eta (\tau )}$

Как и во всех свободных бозонных ККТ, корреляционные функции аффинных первичных полей имеют зависимость от положений полей, которая определяется аффинной симметрией. Оставшиеся постоянные факторы — это знаки, зависящие от импульсов полей и чисел намоток. ^[4]

Граничные условия в случае c=1

Граничные условия Неймана и Дирихле

Вследствие автоморфизма абелевой аффинной алгебры Ли существует два типа граничных условий, сохраняющих аффинную симметрию, а именно: ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle J\to -J}$

${\displaystyle J={\bar {J}}\quad {\text{or}}\quad J=-{\bar {J}}}$

Если границей является линия , то эти условия соответствуют граничному условию Неймана и граничному условию Дирихле для свободного бозона . ${\displaystyle z={\bar {z}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Пограничные состояния

В случае компактифицированного свободного бозона каждый тип граничного условия приводит к семейству граничных состояний, параметризованных с помощью . Соответствующие одноточечные функции на верхней полуплоскости имеют вид ^[5] ${\displaystyle \theta \in {\frac {\mathbb {R} }{2\pi \mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \{\Im z>0\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{in\theta }\delta _{w,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {n^{2}}{2R^{2}}}}}\\\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Neumann}},\theta }&={\frac {e^{iw\theta }\delta _{n,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {R^{2}w^{2}}{2}}}}\end{aligned}}}$

В случае некомпактного свободного бозона существует только одно граничное состояние Неймана, тогда как граничные состояния Дирихле параметризуются действительным параметром. Соответствующие одноточечные функции имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{\alpha \theta }}{|z-{\bar {z}}|^{2\Delta (\alpha )}}}\\\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{\text{Neumann}}&=\delta (i\alpha )\end{aligned}}}$

где и для евклидова бозона. ${\displaystyle \alpha \in i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$

Конформные граничные условия

Границы Неймана и Дирихле являются единственными границами, которые сохраняют аффинную симметрию свободного бозона. Однако существуют дополнительные границы, которые сохраняют только конформную симметрию.

Если радиус иррационален, дополнительные граничные состояния параметризуются числом . Одноточечные функции аффинных первичных полей с исчезают. Однако первичные поля Вирасоро, которые являются аффинными потомками аффинного первичного поля с , имеют нетривиальные одноточечные функции. ^[5] ${\displaystyle x\in [-1,1]}$ ${\displaystyle (n,w)\neq (0,0)}$ ${\displaystyle (n,w)=(0,0)}$

Если радиус рационален , то дополнительные граничные состояния параметризуются многообразием . ^[6] ${\displaystyle R={\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\frac {SU(2)}{\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{q}}}}$

Конформные граничные условия в произвольном случае также изучались под неправильным названием «граничная теория Лиувилля ». ^[7] ${\displaystyle c}$

Связанные теории и обобщения

Множественные бозоны и орбифолды

Из безмассовых свободных скалярных бозонов можно построить произведение CFT с алгеброй симметрии . Некоторые или все бозоны могут быть компактифицированы. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}}$

В частности, компактификация бозонов без фонового заряда на -мерном торе (с B-полем Невё–Шварца ) приводит к появлению семейства CFT, называемых компактификациями Нараина . Эти CFT существуют на любой римановой поверхности и играют важную роль в пертурбативной теории струн . ^{[8] [9]} ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

Ввиду существования автоморфизма аффинной алгебры Ли и более общих автоморфизмов , существуют орбифолды свободных бозонных ККТ. ^[10] Например, орбифолд компактифицированного свободного бозона с является критической двумерной моделью Эшкина–Теллера . ^[4] ${\displaystyle J\to -J}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle Q=0}$

Формализм кулоновского газа

Формализм кулоновского газа — это метод построения взаимодействующих CFT или некоторых их корреляционных функций из свободных бозонных CFT. Идея состоит в том, чтобы возмущать свободные CFT с помощью экранирующих операторов вида , где — аффинное первичное поле конформных размерностей . Несмотря на свое пертурбативное определение, метод приводит к точным результатам благодаря сохранению импульса. ^[3] ${\displaystyle \textstyle {\int }d^{2}z\,O(z)}$ ${\displaystyle O(z)}$ ${\displaystyle (\Delta ,{\bar {\Delta }})=(1,1)}$

В случае одного свободного бозона с фоновым зарядом существуют два диагональных оператора экранирования , где . Корреляционные функции в минимальных моделях могут быть вычислены с использованием этих операторов экранирования, что приводит к интегралам Доценко–Фатеева . ^[11] Вычеты корреляционных функций в теории Лиувилля также могут быть вычислены, и это привело к первоначальному выводу формулы DOZZ для трехточечной структурной константы. ^{[12] [13]} ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \textstyle {\int }V_{b},\textstyle {\int }V_{b^{-1}}}$ ${\displaystyle Q=b+b^{-1}}$

В случае свободных бозонов введение экранирующих зарядов может быть использовано для определения нетривиальных CFT, включая конформную теорию Тоды . Симметрии этих нетривиальных CFT описываются подалгебрами абелевой аффинной алгебры Ли. В зависимости от экранирования эти подалгебры могут быть или не быть W-алгебрами . ^[14] ${\displaystyle N}$

Формализм кулоновского газа также может быть использован в двумерных CFT, таких как модель Поттса с q-состоянием и модель. ^[15] ${\displaystyle O(n)}$

Различные обобщения

В произвольных измерениях существуют конформные теории поля, называемые обобщенными свободными теориями . Однако они не являются обобщениями свободных бозонных ККТ в двух измерениях. В первом случае сохраняется конформное измерение (по модулю целых чисел). Во втором случае — импульс.

В двух измерениях обобщения включают:

• Безмассовые свободные фермионы.
• Призрачные CFT. ^[3]
• Суперсимметричные свободные ККТ.

Ссылки

1. Рибо, Сильвен (2014-06-17). "Конформная теория поля на плоскости". arXiv : 1406.4290v5 [hep-th].
2. Джинспарг, Пол (11 ноября 1988 г.). «Прикладная конформная теория поля». arXiv : hep-th/9108028 .
3. Ди Франческо, Филипп; Матье, Пьер; Сенешаль, Дэвид (1997). "Конформная теория поля". Graduate Texts in Contemporary Physics . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. doi :10.1007/978-1-4612-2256-9. ISBN 978-1-4612-7475-9. ISSN  0938-037X.
4. Немков, Никита; Рибо, Сильвен (2021-06-29). «Аналитический конформный бутстрап и первичные поля Вирасоро в модели Эшкина-Теллера». arXiv : 2106.15132v1 [hep-th].
5. Janik, Romuald A. (2001-09-04). "Исключительные граничные состояния при c=1". Nuclear Physics B . 618 (3): 675–688. arXiv : hep-th/0109021 . doi :10.1016/S0550-3213(01)00486-2. S2CID  9079750.
6. Gaberdiel, MR; Recknagel, A. (2001-08-31). "Конформные граничные состояния для свободных бозонов и фермионов". Journal of High Energy Physics . 2001 (11): 016. arXiv : hep-th/0108238 . doi :10.1088/1126-6708/2001/11/016. S2CID  5444861.
7. Реми, Гийом; Чжу, Тунан (2022-08-23). ​​«Интегрируемость граничной лиувиллевской конформной теории поля». Сообщения по математической физике . 395 (1). Springer: 179–268. arXiv : 2002.05625 . doi :10.1007/s00220-022-04455-1. ISSN  0010-3616.
8. Малони, Александр; Виттен, Эдвард (2020-06-08). «Усреднение по пространству модулей Нараина». Журнал физики высоких энергий . 2020 (10). arXiv : 2006.04855v2 . doi : 10.1007/JHEP10(2020)187. S2CID  219558763.
9. Полчински, Джозеф (1998-10-13). Теория струн . Т. 95. Cambridge University Press. С. 11039–11040. doi :10.1017/cbo9780511816079. ISBN 978-0-521-67227-6. PMC  33894 . PMID  9736684. {{cite book}}: |journal=проигнорировано ( помощь )
10. Дейкграаф, Робберт; Вафа, Камрун; Верлинде, Эрик; Верлинде, Герман (1989). «Операторная алгебра орбифолдных моделей». Связь в математической физике . 123 (3). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 485–526. дои : 10.1007/bf01238812. ISSN  0010-3616. S2CID  120111368.
11. Доценко, Вл.С.; Фатеев, ВА (1984). «Конформная алгебра и многоточечные корреляционные функции в двумерных статистических моделях». Nuclear Physics B. 240 ( 3). Elsevier BV: 312–348. doi :10.1016/0550-3213(84)90269-4. ISSN  0550-3213.
12. Замолодчиков, А.; Замолодчиков, Ал. (1996). «Конформный бутстрап в теории поля Лиувилля». Nuclear Physics B . 477 (2): 577–605. arXiv : hep-th/9506136 . Bibcode :1996NuPhB.477..577Z. doi :10.1016/0550-3213(96)00351-3. S2CID  204929527.
13. Дорн, Х.; Отто, Х.-Дж. (1992). «О корреляционных функциях для некритических струн с c⩽1, но d⩾1». Physics Letters B . 291 (1–2): 39–43. arXiv : hep-th/9206053 . Bibcode :1992PhLB..291...39D. doi :10.1016/0370-2693(92)90116-L. S2CID  15413971.
14. Литвинов, Алексей; Сподынейко, Лев (2016-09-20). "О W-алгебрах, коммутирующих с набором экранировок". Журнал физики высоких энергий . 2016 (11). arXiv : 1609.06271v1 . doi : 10.1007/JHEP11(2016)138. S2CID  29261029.
15. di Francesco, P.; Saleur, H.; Zuber, JB (1987). «Связь между картиной кулоновского газа и конформной инвариантностью двумерных критических моделей». Journal of Statistical Physics . 49 (1–2). Springer: 57–79. doi :10.1007/bf01009954. ISSN  0022-4715. S2CID  56053143.