Дифференциальный оператор

Обычно линейный оператор определяется в терминах дифференциации функций

Гармоническая функция, определенная на кольце . Гармонические функции — это именно те функции, которые лежат в ядре оператора Лапласа , важного дифференциального оператора.

В математике дифференциальный оператор — это оператор, определяемый как функция оператора дифференциации . Полезно, в качестве обозначения, сначала рассматривать дифференциацию как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (в стиле функции высшего порядка в информатике ).

В данной статье рассматриваются в основном линейные дифференциальные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако существуют также нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца .

Определение

При наличии неотрицательного целого числа m линейный по порядку дифференциальный оператор представляет собой отображение одного функционального пространства на другое функциональное пространство , которое можно записать как: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ где - мультииндекс неотрицательных целых чисел , , и для каждого , - функция на некоторой открытой области в n -мерном пространстве. Оператор интерпретируется как ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$ ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle D^{\alpha }}$

$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

Таким образом, для функции : ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

Обозначение оправдано (т.е. не зависит от порядка дифференцирования) ввиду симметрии вторых производных . ${\displaystyle D^{\alpha }}$

Многочлен p, полученный путем замены частичных членов переменными в P, называется полным символом P ; т.е. полный символ P выше равен: где Наивысший однородный компонент символа, а именно, ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ $${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

называется главным символом P. В то время как общий символ не определен внутренне, главный символ определен внутренне (т.е. является функцией на кокасательном расслоении). ^[1]

В более общем случае пусть E и F — векторные расслоения над многообразием X. Тогда линейный оператор

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

является дифференциальным оператором порядка , если в локальных координатах на X имеем ${\displaystyle k}$

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{lower-order terms}}}$

где для каждого мультииндекса α есть отображение расслоения , симметричное по индексам α. ${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$

Коэффициенты ^{порядка} k функции P преобразуются в симметричный тензор

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

чья область определения является тензорным произведением k - ^й симметрической степени кокасательного расслоения X с E , и чья область определения — F. Этот симметричный тензор известен как главный символ (или просто символ ) P.

Система координат x ⁱ допускает локальную тривиализацию кокасательного расслоения с помощью дифференциалов координат d x ⁱ , которые определяют координаты слоев ξ _i . В терминах базиса фреймов e _μ , f _ν пространств E и F , соответственно, дифференциальный оператор P разлагается на компоненты

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

на каждом сечении u E. Здесь P _νμ — скалярный дифференциальный оператор, определяемый формулой

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

С помощью этой тривиализации главный символ теперь можно записать

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }.}$

В кокасательном пространстве над фиксированной точкой x множества X символ определяет однородный многочлен степени k по со значениями в . ${\displaystyle \sigma _{P}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$

интерпретация Фурье

Дифференциальный оператор P и его символ естественным образом появляются в связи с преобразованием Фурье следующим образом. Пусть ƒ — функция Шварца . Тогда с помощью обратного преобразования Фурье,

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Это показывает P как множитель Фурье . Более общий класс функций p ( x , ξ), которые удовлетворяют не более чем полиномиальным условиям роста по ξ, при которых этот интеграл ведет себя хорошо, включает псевдодифференциальные операторы .

Примеры

• Дифференциальный оператор является эллиптическим , если его символ обратим; то есть для каждого ненулевого отображения расслоение обратимо. На компактном многообразии из эллиптической теории следует, что P является фредгольмовым оператором : он имеет конечномерное ядро ​​и коядро. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$ ${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$
• При изучении гиперболических и параболических уравнений в частных производных нули главного символа соответствуют характеристикам уравнения в частных производных.
• В приложениях к физическим наукам такие операторы, как оператор Лапласа, играют важную роль в составлении и решении уравнений в частных производных .
• В дифференциальной топологии операторы внешней производной и производной Ли имеют внутреннее значение.
• В абстрактной алгебре понятие вывода допускает обобщения дифференциальных операторов, не требующие использования исчисления. Часто такие обобщения используются в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре . См. также Jet (математика) .
• При разработке голоморфных функций комплексной переменной z = x + i y  иногда комплексную функцию рассматривают как функцию двух действительных переменных x и y . Используются производные Виртингера , которые являются частными дифференциальными операторами: Этот подход также применяется для изучения функций нескольких комплексных переменных и функций двигательной переменной . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$
• Дифференциальный оператор del , также называемый nabla , является важным векторным дифференциальным оператором. Он часто появляется в физике в таких местах, как дифференциальная форма уравнений Максвелла . В трехмерных декартовых координатах del определяется как

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Del определяет градиент и используется для вычисления ротора , дивергенции и Лапласа различных объектов.

• Киральный дифференциальный оператор. Пока см. [1]

История

Концептуальный шаг написания дифференциального оператора как чего-то автономного приписывается Луи Франсуа Антуану Арбогасту в 1800 году. ^[2]

Обозначения

Наиболее распространенным дифференциальным оператором является действие взятия производной . Распространенные обозначения для взятия первой производной по переменной x включают:

${\displaystyle {d \over dx}}$, , и . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{x},}$ ${\displaystyle \partial _{x}}$

При взятии производных более высокого, n -го порядка, оператор можно записать:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$, , , или . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle D_{x}^{n}}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$

Производная функции f аргумента x иногда задается одним из следующих способов :

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

Использование и создание нотации D приписывается Оливеру Хевисайду , который рассматривал дифференциальные операторы вида

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

в своем исследовании дифференциальных уравнений .

Одним из наиболее часто встречающихся дифференциальных операторов является оператор Лапласа , определяемый как

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

Другим дифференциальным оператором является оператор Θ, или тета-оператор , определяемый формулой ^[3]

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

Иногда его также называют оператором однородности , поскольку его собственными функциями являются мономы от z : $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

В n переменных оператор однородности задается выражением $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

Как и в случае одной переменной, собственные пространства Θ являются пространствами однородных функций . ( Теорема Эйлера об однородной функции )

В письменной форме, следуя общепринятым математическим соглашениям, аргумент дифференциального оператора обычно размещается справа от самого оператора. Иногда используется альтернативная запись: результат применения оператора к функции слева от оператора и справа от оператора, а также разность, полученная при применении дифференциального оператора к функциям с обеих сторон, обозначаются стрелками следующим образом:

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

Такая двунаправленная стрелочная нотация часто используется для описания вероятностного потока квантовой механики.

Сопряженный оператор

При наличии линейного дифференциального оператора сопряженный оператор этого оператора определяется как оператор такой, что где для скалярного произведения или скалярного произведения используется обозначение . Это определение, таким образом, зависит от определения скалярного произведения (или скалярного произведения). ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$ ${\displaystyle T^{*}}$ $${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Формальное сопряжение с одной переменной

В функциональном пространстве квадратично-интегрируемых функций на действительном интервале ( a , b ) скалярное произведение определяется как $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}\,g(x)\,dx,}$$

где линия над f ( x ) обозначает комплексно сопряженную функцию f ( x ) . Если к тому же добавить условие, что f или g обращается в нуль как и , можно также определить сопряженную функцию T как ${\displaystyle x\to a}$ ${\displaystyle x\to b}$ $${\displaystyle T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}\left[{\overline {a_{k}(x)}}u\right].}$$

Эта формула явно не зависит от определения скалярного произведения. Поэтому иногда ее выбирают в качестве определения сопряженного оператора. Когда определяется по этой формуле, он называется формальным сопряженным оператором T . ${\displaystyle T^{*}}$

(Формально) самосопряженный оператор — это оператор, равный своему (формальному) сопряженному.

Несколько переменных

Если Ω — область в Rn , а P — дифференциальный оператор в Ω, ^то сопряженный к P оператор ^{определяется} в L2 (Ω) с помощью двойственности аналогичным образом:

${\displaystyle \langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}}$

для всех гладких функций f , g из L ^2. Поскольку гладкие функции плотны в L ² , это определяет сопряженный оператор на плотном подмножестве L ² : P ^* — плотно определенный оператор .

Пример

Оператор Штурма–Лиувилля является известным примером формального самосопряженного оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в виде

${\displaystyle Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.}$

Это свойство можно доказать, используя формальное сопряженное определение, приведенное выше. ^[4]

Этот оператор является центральным в теории Штурма–Лиувилля, где рассматриваются собственные функции (аналоги собственных векторов ) этого оператора.

Свойства дифференциальных операторов

Дифференциация линейна , т.е.

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

где f и g — функции, а a — константа.

Любой полином в D с функциональными коэффициентами также является дифференциальным оператором. Мы также можем составить дифференциальные операторы по правилу

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

Тогда требуется некоторая осторожность: во-первых, любые коэффициенты функции в операторе D ₂ должны быть дифференцируемы столько раз, сколько требует применение D _{1. Чтобы получить} кольцо таких операторов, мы должны предположить производные всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным : оператор gD в общем случае не то же самое, что Dg . Например, у нас есть соотношение, базовое в квантовой механике :

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

Подкольцо операторов, являющихся полиномами в D с постоянными коэффициентами , напротив, коммутативно. Его можно охарактеризовать и по-другому: оно состоит из операторов, инвариантных относительно трансляции.

Дифференциальные операторы также подчиняются теореме о сдвиге .

Кольцо полиномиальных дифференциальных операторов

Кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов

Если R — кольцо, то пусть — некоммутативное кольцо многочленов над R от переменных D и X , а I — двусторонний идеал, порожденный DX − XD − 1. Тогда кольцо одномерных полиномиальных дифференциальных операторов над R — это фактор-кольцо . Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент может быть записан единственным образом как R -линейная комбинация мономов вида . Он поддерживает аналог евклидова деления многочленов . ${\displaystyle R\langle D,X\rangle }$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$ ${\displaystyle X^{a}D^{b}{\text{ mod }}I}$

Дифференциальные модули ^{[ необходимо уточнение ]} свыше (для стандартного вывода) можно отождествить с модулями свыше . ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R\langle D,X\rangle /I}$

Кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов

Если R — кольцо, то пусть — некоммутативное кольцо многочленов над R от переменных , а I — двусторонний идеал, порожденный элементами ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle }$ ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle (D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i})-\delta _{i,j},\ \ \ D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},\ \ \ X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}}$

для всех где есть дельта Кронекера . Тогда кольцо многомерных полиномиальных дифференциальных операторов над R является фактором-кольцом . ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n,}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I}$

Это некоммутативное простое кольцо . Каждый элемент может быть записан единственным образом как R -линейная комбинация мономов вида . ${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}}$

Координатно-независимое описание

В дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто удобно иметь координатно -независимое описание дифференциальных операторов между двумя векторными расслоениями . Пусть E и F — два векторных расслоения над дифференцируемым многообразием M. R - линейное отображение сечений P  : Γ( E ) → Γ( F ) называется линейным дифференциальным оператором k -го порядка, если оно пропускается через расслоение струй J ^k ( E ). Другими словами, существует линейное отображение векторных расслоений

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

такой что

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

где j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E )) — продолжение, которое сопоставляет любому сечению E его k -струю .

Это просто означает, что для заданного сечения s из E значение P ( s ) в точке x  ∈  M полностью определяется поведением s в x порядка k . В частности, это подразумевает, что P ( s )( x ) определяется ростком s в x , что выражается утверждением, что дифференциальные операторы являются локальными. Основополагающим результатом является теорема Peetre, показывающая , что обратное также верно: любой (линейный) локальный оператор является дифференциальным.

Связь с коммутативной алгеброй

Эквивалентное, но чисто алгебраическое описание линейных дифференциальных операторов выглядит следующим образом: R -линейное отображение P является линейным дифференциальным оператором k -го порядка, если для любых k  + 1 гладких функций имеем ${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in C^{\infty }(M)}$

${\displaystyle [f_{k},[f_{k-1},[\cdots [f_{0},P]\cdots ]]=0.}$

Здесь скобка определяется как коммутатор ${\displaystyle [f,P]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$

${\displaystyle [f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).}$

Эта характеристика линейных дифференциальных операторов показывает, что они являются частными отображениями между модулями над коммутативной алгеброй , что позволяет рассматривать эту концепцию как часть коммутативной алгебры .

Варианты

Дифференциальный оператор бесконечного порядка

Дифференциальный оператор бесконечного порядка (грубо говоря) — это дифференциальный оператор, полный символ которого представляет собой степенной ряд, а не многочлен.

Бидифференциальный оператор

Дифференциальный оператор, действующий на две функции, называется бидифференциальным оператором . Понятие появляется, например, в ассоциативной алгебраической структуре при деформационном квантовании алгебры Пуассона. ^[5] ${\displaystyle D(g,f)}$

Микродифференциальный оператор

Микродифференциальный оператор — это тип оператора на открытом подмножестве кокасательного расслоения, в отличие от открытого подмножества многообразия. Он получается путем расширения понятия дифференциального оператора на кокасательное расслоение. ^[6]

Смотрите также

• Оператор разности
• Дельта-оператор
• Эллиптический оператор
• Керл (математика)
• Дробное исчисление
• Инвариантный дифференциальный оператор
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
• Лагранжева система
• Спектральная теория
• Энергетический оператор
• Оператор импульса
• Псевдодифференциальный оператор
• Фундаментальное решение
• Теорема Атьи–Зингера об индексе (раздел о символе оператора)
• Теорема Мальгранжа–Эренпрейса
• Гипоэллиптический оператор

Ссылки

1. Шапира 1985, 1.1.7
2. Джеймс Гассер (редактор), Антология Буля: новейшие и классические исследования логики Джорджа Буля (2000), стр. 169; Google Books.
3. EW Weisstein. "Theta Operator" . Получено 2009-06-12 .

4. ${\displaystyle {\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}}$

5. Омори, Хидеки; Маэда, Y.; Ёсиока, A. (1992). «Деформационное квантование алгебр Пуассона». Труды Японской академии, Серия A, Математические науки . 68 (5). doi : 10.3792/PJAA.68.97 . S2CID  119540529.
6. Шапира 1985, § 1.2. § 1.3.

• Фрид, Дэниел С. (1987), Геометрия операторов Дирака , стр. 8, CiteSeerX  10.1.1.186.8445
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Математика. Wissenschaft., vol. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, МР  0717035.
• Шапира, Пьер (1985). Микродифференциальные системы в сложной области. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Том. 269. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-61665-5. ISBN 978-3-642-64904-2.
• Уэллс, РО (1973), Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0.

Дальнейшее чтение

• Федосов, Борис; Шульце, Берт-Вольфганг; Тарханов, Николай (2002). «Аналитические формулы индекса для эллиптических угловых операторов». Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899–982. doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN  1777-5310.
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of- Differential-operators

Внешние ссылки

• Медиафайлы по теме Дифференциальные операторы на Wikimedia Commons
• «Дифференциальный оператор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]