Теория поля Лиувилля

Двумерная конформная теория поля

В физике теория поля Лиувилля ( или просто теория Лиувилля ) — двумерная конформная теория поля , классическое уравнение движения которой является обобщением уравнения Лиувилля .

Теория Лиувилля определена для всех комплексных значений центрального заряда ее алгебры симметрии Вирасоро , но она унитарна только если ${\displaystyle c}$

${\displaystyle c\in (1,+\infty ),}$

и его классический предел —

${\displaystyle c\to +\infty .}$

Хотя это взаимодействующая теория с непрерывным спектром , теория Лиувилля была решена. В частности, ее трехточечная функция на сфере была определена аналитически.

Введение

Теория Лиувилля описывает динамику поля, называемого полем Лиувилля, которое определено на двумерном пространстве. Это поле не является свободным полем из-за наличия экспоненциального потенциала ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V(\varphi )=e^{2b\varphi }\ ,}$

где параметр называется константой связи . В теории свободного поля собственные векторы энергии линейно независимы, а импульс сохраняется при взаимодействиях. В теории Лиувилля импульс не сохраняется. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$ ${\displaystyle \alpha }$

Отражение собственного вектора энергии с импульсом от экспоненциального потенциала теории Лиувилля ${\displaystyle \alpha }$

Более того, потенциал отражает собственные векторы энергии до того, как они достигнут , и два собственных вектора линейно зависимы, если их импульсы связаны отражением ${\displaystyle \varphi =+\infty }$

${\displaystyle \alpha \to Q-\alpha \ ,}$

где фоновый заряд

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}\ .}$

Хотя экспоненциальный потенциал нарушает закон сохранения импульса, он не нарушает конформную симметрию, а теория Лиувилля является конформной теорией поля с центральным зарядом

${\displaystyle c=1+6Q^{2}\ .}$

При конформных преобразованиях собственный вектор энергии с импульсом преобразуется как первичное поле с конформной размерностью по формуле ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha )\ .}$

Центральный заряд и конформные измерения инвариантны относительно дуальности

${\displaystyle b\to {\frac {1}{b}}\ ,}$

Корреляционные функции теории Лиувилля ковариантны относительно этой дуальности и относительно отражений импульсов. Эти квантовые симметрии теории Лиувилля, однако, не проявляются в лагранжевой формулировке, в частности, экспоненциальный потенциал не инвариантен относительно дуальности.

Спектр и корреляционные функции

Спектр

Спектр теории Лиувилля представляет собой диагональную комбинацию модулей Верма алгебры Вирасоро , ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int _{{\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}d\Delta \ {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }\ ,}$

где и обозначают один и тот же модуль Верма, рассматриваемый как представление алгебры Вирасоро, движущейся влево и вправо соответственно. В терминах импульсов , ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }}$ ${\displaystyle {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle \Delta \in {\frac {c-1}{24}}+\mathbb {R} _{+}}$

соответствует

${\displaystyle \alpha \in {\frac {Q}{2}}+i\mathbb {R} _{+}.}$

Соотношение отражения отвечает за то, что импульс принимает значения на полупрямой, а не на полной прямой, как в свободной теории.

Теория Лиувилля унитарна тогда и только тогда, когда . Спектр теории Лиувилля не включает вакуумное состояние . Вакуумное состояние может быть определено, но оно не вносит вклад в операторные расширения произведения . ${\displaystyle c\in (1,+\infty )}$

Поля и соотношение отражения

В теории Лиувилля первичные поля обычно параметризуются их импульсом, а не конформной размерностью , и обозначаются . Оба поля и соответствуют первичному состоянию представления и связаны соотношением отражения ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(z)}$ ${\displaystyle V_{Q-\alpha }(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{\Delta }\otimes {\bar {\mathcal {V}}}_{\Delta }}$

${\displaystyle V_{\alpha }(z)=R(\alpha )V_{Q-\alpha }(z)\ ,}$

где коэффициент отражения равен ^[1]

${\displaystyle R(\alpha )=\pm \lambda ^{Q-2\alpha }{\frac {\Gamma (b(2\alpha -Q))\Gamma ({\frac {1}{b}}(2\alpha -Q))}{\Gamma (b(Q-2\alpha ))\Gamma ({\frac {1}{b}}(Q-2\alpha ))}}\ .}$

(Знак — если и в противном случае, а параметр нормализации произвольный.) ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \lambda }$

Корреляционные функции и формула DOZZ

Для трехточечная структурная константа определяется формулой DOZZ (для Дорна–Отто ^[2] и Замолодчикова–Замолодчикова ^[3] ), ${\displaystyle c\notin (-\infty ,1)}$

${\displaystyle C_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[b^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}\Upsilon _{b}'(0)\Upsilon _{b}(2\alpha _{1})\Upsilon _{b}(2\alpha _{2})\Upsilon _{b}(2\alpha _{3})}{\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q)\Upsilon _{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\Upsilon _{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1})\Upsilon _{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

где специальная функция представляет собой разновидность множественной гамма-функции . ${\displaystyle \Upsilon _{b}}$

Для трехточечная структурная константа равна ^[1] ${\displaystyle c\in (-\infty ,1)}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}={\frac {\left[(ib)^{{\frac {2}{b}}-2b}\lambda \right]^{Q-\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3}}{\hat {\Upsilon }}_{b}(0){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{2}){\hat {\Upsilon }}_{b}(2\alpha _{3})}{{\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-Q){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{2}+\alpha _{3}-\alpha _{1}){\hat {\Upsilon }}_{b}(\alpha _{3}+\alpha _{1}-\alpha _{2})}}\ ,}$

где

${\displaystyle {\hat {\Upsilon }}_{b}(x)={\frac {1}{\Upsilon _{ib}(-ix+ib)}}\ .}$

${\displaystyle N}$-точечные функции на сфере могут быть выражены через константы трехточечной структуры и конформные блоки . -точечная функция может иметь несколько различных выражений: их согласие эквивалентно перекрестной симметрии четырехточечной функции, что было проверено численно ^{[3] [4]} и доказано аналитически. ^{[5] [6]} ${\displaystyle N}$

Теория Лиувилля существует не только на сфере, но и на любой римановой поверхности рода . Технически это эквивалентно модулярной инвариантности одноточечной функции тора . Благодаря замечательным тождествам конформных блоков и структурных констант, это свойство модульной инвариантности может быть выведено из перекрестной симметрии четырехточечной функции сферы. [ ^{7] [4]} ${\displaystyle g\geq 1}$

Единственность теории Лиувилля

Используя метод конформного бутстрапа , можно показать, что теория Лиувилля является единственной конформной теорией поля, такой что ^[1]

• спектр представляет собой континуум, в котором нет кратностей выше единицы,
• корреляционные функции аналитически зависят от и импульсов, ${\displaystyle b}$
• существуют вырожденные поля.

Формулировка Лагранжа

Действие и уравнение движения

Теория Лиувилля определяется локальным действием

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\,{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\varphi \partial _{\nu }\varphi +QR\varphi +\lambda 'e^{2b\varphi })\ ,}$

где — метрика двумерного пространства, на котором сформулирована теория, — скаляр Риччи этого пространства, — поле Лиувилля. Параметр , который иногда называют космологической постоянной, связан с параметром , который появляется в корреляционных функциях, соотношением ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda '}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda '=4{\frac {\Gamma (1-b^{2})}{\Gamma (b^{2})}}\lambda ^{b}.}$

Уравнение движения, связанное с этим действием, имеет вид

${\displaystyle \Delta \varphi (x)={\frac {1}{2}}QR(x)+\lambda 'be^{2b\varphi (x)}\ ,}$

где — оператор Лапласа–Бельтрами . Если — евклидова метрика , то это уравнение сводится к ${\displaystyle \Delta =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu })}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\varphi (x_{1},x_{2})=\lambda 'be^{2b\varphi (x_{1},x_{2})}\ ,}$

что эквивалентно уравнению Лиувилля .

После компактификации на цилиндре теория поля Лиувилля может быть эквивалентно сформулирована как теория мировых линий. ^[8]

Конформная симметрия

Использование сложной системы координат и евклидовой метрики ${\displaystyle z}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=dzd{\bar {z}},}$

компоненты тензора энергии -импульса подчиняются

${\displaystyle T_{z{\bar {z}}}=T_{{\bar {z}}z}=0\;,\quad \partial _{\bar {z}}T_{zz}=0\;,\quad \partial _{z}T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=0\ .}$

Неисчезающие компоненты:

${\displaystyle T=T_{zz}=(\partial _{z}\varphi )^{2}+Q\partial _{z}^{2}\varphi \;,\quad {\bar {T}}=T_{{\bar {z}}{\bar {z}}}=(\partial _{\bar {z}}\varphi )^{2}+Q\partial _{\bar {z}}^{2}\varphi \ .}$

Каждый из этих двух компонентов порождает алгебру Вирасоро с центральным зарядом

${\displaystyle c=1+6Q^{2}.}$

Для обеих этих алгебр Вирасоро поле является первичным полем с конформной размерностью ${\displaystyle e^{2\alpha \varphi }}$

${\displaystyle \Delta =\alpha (Q-\alpha ).}$

Для того чтобы теория имела конформную инвариантность , поле , которое появляется в действии, должно быть маргинальным , т.е. иметь конформную размерность. ${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

${\displaystyle \Delta (b)=1.}$

Это приводит к соотношению

${\displaystyle Q=b+{\frac {1}{b}}}$

между фоновым зарядом и константой связи. Если это соотношение соблюдается, то фактически является точно маргинальным, и теория конформно инвариантна. ${\displaystyle e^{2b\varphi }}$

Интеграл по траектории

Интегральное представление траектории -точечной корреляционной функции первичных полей имеет вид ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i}}(z_{i})\right\rangle =\int D\varphi \ e^{-S[\varphi ]}\prod _{i=1}^{N}e^{2\alpha _{i}\varphi (z_{i})}\ .}$

Было трудно определить и вычислить этот интеграл по путям. В представлении интеграла по путям не очевидно, что теория Лиувилля имеет точную конформную инвариантность , и не очевидно, что корреляционные функции инвариантны относительно и подчиняются соотношению отражения. Тем не менее, представление интеграла по путям может быть использовано для вычисления остатков корреляционных функций в некоторых из их полюсов как интегралов Доценко–Фатеева в формализме кулоновского газа , и именно так в 1990-х годах была впервые угадана формула DOZZ. Только в 2010-х годах была найдена строгая вероятностная конструкция интеграла по путям, что привело к доказательству формулы DOZZ ^[9] и конформного бутстрапа. ^{[6] [10]} ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

Связь с другими конформными теориями поля

Некоторые ограничения теории Лиувилля

Когда центральный заряд и конформные измерения преобразуются в соответствующие дискретные значения, корреляционные функции теории Лиувилля сводятся к корреляционным функциям диагональных (A-серии) минимальных моделей Вирасоро . ^[1]

С другой стороны, когда центральный заряд передается одному, а конформные измерения остаются непрерывными, теория Лиувилля стремится к теории Рункеля–Уоттса, нетривиальной конформной теории поля (КТП) с непрерывным спектром, трехточечная функция которой не является аналитической как функция импульсов. ^[11] Обобщения теории Рункеля–Уоттса получаются из теории Лиувилля путем взятия пределов типа . ^[4] Так, для известны две различные КТП с одинаковым спектром: теория Лиувилля, трехточечная функция которой является аналитической, и другая КТП с неаналитической трехточечной функцией. ${\displaystyle b^{2}\notin \mathbb {R} ,b^{2}\to \mathbb {Q} _{<0}}$ ${\displaystyle b^{2}\in \mathbb {Q} _{<0}}$

Модели WZW

Теория Лиувилля может быть получена из модели Весса–Зумино–Виттена с помощью квантовой редукции Дринфельда–Соколова . Более того, корреляционные функции модели (евклидова версия модели WZW) могут быть выражены через корреляционные функции теории Лиувилля. ^{[12] [13]} Это также верно для корреляционных функций косет-модели 2d черной дыры . ^[12] Более того, существуют теории, которые непрерывно интерполируют между теорией Лиувилля и моделью. ^[14] ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle SL_{2}/U_{1}}$ ${\displaystyle H_{3}^{+}}$

Конформная теория Тоды

Теория Лиувилля — простейший пример теории поля Тоды , связанной с матрицей Картана . Более общие конформные теории Тоды можно рассматривать как обобщения теории Лиувилля, чьи лагранжианы включают несколько бозонов, а не один , и чьи алгебры симметрии являются W-алгебрами, а не алгеброй Вирасоро. ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Суперсимметричная теория Лиувилля

Теория Лиувилля допускает два различных суперсимметричных расширения, называемых суперсимметричной теорией Лиувилля и суперсимметричной теорией Лиувилля. ^[15] ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

Связь с интегрируемыми моделями

Модель Синха-Гордона

В плоском пространстве модель sinh-Gordon определяется локальным действием:

${\displaystyle S[\varphi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x\left(\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi +\lambda \cosh(2b\varphi )\right).}$

Соответствующее классическое уравнение движения — уравнение sinh-Гордона . Модель можно рассматривать как возмущение теории Лиувилля. Точная S-матрица модели известна в режиме слабой связи , и она формально инвариантна относительно . Однако утверждается, что сама модель не инвариантна. ^[16] ${\displaystyle 0<b<1}$ ${\displaystyle b\to b^{-1}}$

Приложения

Гравитация Лиувилля

В двух измерениях уравнения Эйнштейна сводятся к уравнению Лиувилля , поэтому теория Лиувилля обеспечивает квантовую теорию гравитации , которая называется гравитацией Лиувилля. Ее не следует путать ^{[17] [18]} с моделью CGHS или гравитацией Джекива–Тейтельбойма .

Теория струн

Теория Лиувилля появляется в контексте теории струн при попытке сформулировать некритическую версию теории в формулировке интеграла по траектории . ^[19] Теория также появляется как описание теории бозонных струн в двух измерениях пространства-времени с линейным дилатоном и тахионным фоном. Уравнение движения тахионного поля на линейном дилатонном фоне требует, чтобы оно принимало экспоненциальное решение. Действие Полякова на этом фоне тогда идентично теории поля Лиувилля, при этом линейный дилатон отвечает за фоновый заряд, а тахион вносит вклад в экспоненциальный потенциал. ^[20]

Модели случайной энергии

Существует точное отображение между теорией Лиувилля с , и некоторыми логарифмически коррелированными моделями случайной энергии . ^[21] Эти модели описывают тепловую частицу в случайном потенциале, который логарифмически коррелирован. В двух измерениях такой потенциал совпадает с гауссовым свободным полем . В этом случае определенные корреляционные функции между первичными полями в теории Лиувилля отображаются в корреляционные функции меры Гиббса частицы. Это имеет приложения к статистике экстремальных значений двумерного гауссовского свободного поля и позволяет предсказывать некоторые универсальные свойства логарифмически коррелированных моделей случайной энергии (в двух измерениях и далее). ${\displaystyle c\geq 25}$

Другие приложения

Теория Лиувилля связана с другими предметами физики и математики, такими как трехмерная общая теория относительности в отрицательно искривленных пространствах , проблема униформизации римановых поверхностей и другие проблемы конформного отображения . Она также связана с функциями статистической суммы инстантонов в определенных четырехмерных суперконформных калибровочных теориях с помощью соответствия AGT .

Путаница в названияхс ≤ 1

Теория Лиувилля впервые появилась как модель зависящей от времени теории струн под названием времениподобной теории Лиувилля . ^[22] Ее также называли обобщенной минимальной моделью . ^[23] Впервые ее назвали теорией Лиувилля , когда было обнаружено, что она действительно существует и является пространственноподобной, а не времениподобной. ^[4] По состоянию на 2022 год ни одно из этих трех названий не является общепринятым. ${\displaystyle c\leq 1}$

Ссылки

1. Рибо, Сильвен (2014). «Конформная теория поля на плоскости». arXiv : 1406.4290 [hep-th].
2. Дорн, Х.; Отто, Х.-Дж. (1994). «Двух- и трехточечные функции в теории Лиувилля». Nucl. Phys. B . 429 : 375–388. arXiv : hep-th/9403141 . Bibcode :1994NuPhB......375D. doi :10.1016/0550-3213(94)00352-1. S2CID  15413971.
3. Замолодчиков, А.; Замолодчиков, Ал. (1996). "Конформный бутстрап в теории поля Лиувилля". Nuclear Physics B . 477 (2): 577–605. arXiv : hep-th/9506136 . Bibcode :1996NuPhB.477..577Z. doi :10.1016/0550-3213(96)00351-3. S2CID  204929527.
4. Рибо, Сильвен; Сантакиара, Рауль (2015). «Теория Лиувилля с центральным зарядом меньше единицы». Журнал физики высоких энергий . 2015 (8): 109. arXiv : 1503.02067 . Bibcode : 2015JHEP...08..109R. doi : 10.1007/JHEP08(2015)109. S2CID  54193340.
5. Teschner, J (2003). "Лекция о вершинных операторах Лиувилля". International Journal of Modern Physics A . 19 (2): 436–458. arXiv : hep-th/0303150 . Bibcode :2004IJMPA..19S.436T. doi :10.1142/S0217751X04020567. S2CID  14792780.
6. Гийармоу, К.; Купиайнен, А.; Роудс, Р.; В. Варгас (2020). «Конформный бутстрап в теории Лиувилля». arXiv : 2005.11530 [math.PR].
7. Hadasz, Leszek; Jaskolski, Zbigniew; Suchanek, Paulina (2010). «Модулярный бутстрап в теории поля Лиувилля». Physics Letters B . 685 (1): 79–85. arXiv : 0911.4296 . Bibcode :2010PhLB..685...79H. doi :10.1016/j.physletb.2010.01.036. S2CID  118625083.
8. Андрей Иоан, Догару; Кампос Дельгадо, Рубен (2022). "Цилиндрические квантовые теории поля при малой связи". J. High Energy Phys . 2022 (10): 110. arXiv : 2205.07363 . doi : 10.1007/JHEP10(2022)110 .
9. Купиайнен, Антти; Родес, Реми; Варгас, Винсент (2017). «Интегрируемость теории Лиувилля: доказательство формулы DOZZ». arXiv : 1707.08785 [math.PR].
10. Гийармоу, Колин; Купиайнен, Антти; Родес, Реми; Варгас, Винсент (29.12.2021). «Аксиомы Сигала и бутстрап для теории Лиувилля». arXiv : 2112.14859v1 [math.PR].
11. Schomerus, Volker (2003). "Rolling Tachions from Liouville theory". Журнал физики высоких энергий . 2003 (11): 043. arXiv : hep-th/0306026 . Bibcode :2003JHEP...11..043S. doi :10.1088/1126-6708/2003/11/043. S2CID  15608105.
12. Ribault, Sylvain; Teschner, Joerg (2005). "H(3)+ корреляторы из теории Лиувилля". Journal of High Energy Physics . 2005 (6): 014. arXiv : hep-th/0502048 . Bibcode : 2005JHEP...06..014R. doi : 10.1088/1126-6708/2005/06/014. S2CID  119441269.
13. Хикида, Ясуаки; Шомерус, Фолькер (2007). "Модель H^+_3 WZNW из теории поля Лиувилля". Журнал физики высоких энергий . 2007 (10): 064. arXiv : 0706.1030 . Bibcode : 2007JHEP...10..064H. doi : 10.1088/1126-6708/2007/10/064. S2CID  1807250.
14. Рибо, Сильвен (2008). «Семейство разрешимых нерациональных конформных теорий поля». Журнал физики высоких энергий . 2008 (5): 073. arXiv : 0803.2099 . Bibcode : 2008JHEP...05..073R. doi : 10.1088/1126-6708/2008/05/073. S2CID  2591498.
15. Накаяма, Ю (2004). «Теория поля Лиувилля: десятилетие после революции». International Journal of Modern Physics A. 19 ( 17n18): 2771–2930. arXiv : hep-th/0402009 . Bibcode : 2004IJMPA..19.2771N. CiteSeerX 10.1.1.266.6964 . doi : 10.1142/S0217751X04019500. S2CID  119519820. 
16. Бернар, Денис; Леклер, Андре (10.12.2021). «Модель sinh-Gordon за пределами самодвойственной точки и переход замораживания в неупорядоченных системах». Журнал физики высоких энергий . 2022 (5): 22. arXiv : 2112.05490v1 . Bibcode : 2022JHEP...05..022B. doi : 10.1007/JHEP05(2022)022. S2CID  245117303.
17. Грумиллер, Даниэль; Куммер, Вольфганг; Василевич, Дмитрий (октябрь 2002 г.). «Dilaton Gravity in Two Dimensions». Physics Reports (Представленная рукопись). 369 (4): 327–430. arXiv : hep-th/0204253 . Bibcode :2002PhR...369..327G. doi :10.1016/S0370-1573(02)00267-3. S2CID  119497628.
18. Грумиллер, Даниэль; Мейер, Рене (2006). «Разветвления Лайнланда». Turkish Journal of Physics . 30 (5): 349–378. arXiv : hep-th/0604049 . Bibcode : 2006TJPh...30..349G. Архивировано из оригинала 22 августа 2011 г.
19. Поляков, AM (1981). «Квантовая геометрия бозонных струн». Physics Letters B. 103 ( 3): 207–210. Bibcode :1981PhLB..103..207P. doi :10.1016/0370-2693(81)90743-7.
20. Полчински, Дж. (1998). "9". Теория струн Том I: Введение в бозонную струну . Cambridge University Press. С. 323–325. ISBN 978-0143113799.
21. Cao, Xiangyu; Doussal, Pierre Le; Rosso, Alberto; Santachiara, Raoul (2018-01-30). «Разложение операторного продукта в теории поля Лиувилля и переходы типа Зайберга в логарифмически коррелированных моделях случайной энергии». Physical Review E. 97 ( 4): 042111. arXiv : 1801.09991v1 . Bibcode : 2018PhRvE..97d2111C. doi : 10.1103/PhysRevE.97.042111. PMID  29758633. S2CID  206258354.
22. Стромингер, Эндрю; Такаянаги, Тадаши (2003). «Корреляторы в теории Лиувилля временного типа». Adv. Theor. Math. Phys . 7 (2): 369–379. arXiv : hep-th/0303221 . Bibcode :2003hep.th....3221S. doi :10.4310/atmp.2003.v7.n2.a6. MR  2015169. S2CID  15080926.
23. Замолодчиков, Ал (2005). «О трехточечной функции в минимальной гравитации Лиувилля». Теоретическая и математическая физика . 142 (2): 183–196. arXiv : hep-th/0505063 . Bibcode :2005TMP...142..183Z. doi :10.1007/s11232-005-0048-3. S2CID  55961140.

Внешние ссылки

• Математики доказали, что двумерная версия квантовой гравитации действительно работает, статья Чарли Вуда в журнале Quanta Magazine , июнь 2021 г.
• Введение в теорию Лиувилля, доклад в Институте перспективных исследований Антти Купиайнена , май 2018 г.