Аффинная алгебра Ли

В математике аффинная алгебра Ли — это бесконечномерная алгебра Ли , которая каноническим образом строится из конечномерной простой алгебры Ли . Имея аффинную алгебру Ли, можно также образовать связанную с ней аффинную алгебру Каца-Муди, как описано ниже. С чисто математической точки зрения аффинные алгебры Ли интересны тем, что их теория представлений , как и теория представлений конечномерных полупростых алгебр Ли , гораздо лучше изучена, чем теория общих алгебр Каца-Муди. Как заметил Виктор Кац , формула характера для представлений аффинных алгебр Ли подразумевает определенные комбинаторные тождества, тождества Макдональда .

Аффинные алгебры Ли играют важную роль в теории струн и двумерной конформной теории поля благодаря способу их построения: начиная с простой алгебры Ли , рассматривается алгебра петель , , образованная -значными функциями на окружности (интерпретируемой как замкнутая струна) с поточечным коммутатором. Аффинная алгебра Ли получается путем добавления одного дополнительного измерения к алгебре петель и изменения коммутатора нетривиальным способом, который физики называют квантовой аномалией (в данном случае аномалией модели WZW ), а математики - центральным расширением . В более общем смысле, если σ является автоморфизмом простой алгебры Ли, связанной с автоморфизмом ее диаграммы Дынкина , то скрученная петлевая алгебра состоит из -значных функций f на действительной прямой, которые удовлетворяют условию скрученной периодичности f ( x + 2 π ) = σ f ( x ) . Их центральные расширения — это в точности скрученные аффинные алгебры Ли . Точка зрения теории струн помогает понять многие глубокие свойства аффинных алгебр Ли, такие как тот факт, что характеры их представлений преобразуются между собой под действием модулярной группы . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle L_{\sigma }{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Аффинные алгебры Ли из простых алгебр Ли

Определение

Если — конечномерная простая алгебра Ли, то соответствующая аффинная алгебра Ли строится как центральное расширение алгебры петель с одномерным центром в качестве векторного пространства, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } c.}$

${\displaystyle {\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {\mathbb {C} } c,}$

где — комплексное векторное пространство полиномов Лорана относительно неопределенности t . Скобка Ли определяется формулой ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]}$

${\displaystyle [a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta _{m+n,0}c}$

для всех и , где — скобка Ли в алгебре Ли , а — форма Картана-Киллинга на ${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {\mathbb {C} } }$ ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Аффинная алгебра Ли, соответствующая конечномерной полупростой алгебре Ли, является прямой суммой аффинных алгебр Ли, соответствующих ее простым слагаемым. Существует выдающееся вывод аффинной алгебры Ли, определяемое формулой

${\displaystyle \delta (a\otimes t^{m}+\alpha c)=t{d \over dt}(a\otimes t^{m}).}$

Соответствующая аффинная алгебра Каца–Муди определяется как полупрямое произведение путем добавления дополнительного генератора d, который удовлетворяет условию [ d , A ] = δ ( A ).

Построение диаграмм Дынкина

Диаграмма Дынкина каждой аффинной алгебры Ли состоит из диаграммы соответствующей простой алгебры Ли и дополнительного узла, который соответствует добавлению мнимого корня. Конечно, такой узел не может быть присоединен к диаграмме Дынкина в любом месте, но для каждой простой алгебры Ли существует число возможных присоединений, равное мощности группы внешних автоморфизмов алгебры Ли. В частности, эта группа всегда содержит единичный элемент, а соответствующая аффинная алгебра Ли называется нескрученной аффинной алгеброй Ли. Когда простая алгебра допускает автоморфизмы, которые не являются внутренними автоморфизмами, можно получить другие диаграммы Дынкина, и они соответствуют скрученным аффинным алгебрам Ли.

Классификация центральных расширений

Присоединение дополнительного узла к диаграмме Дынкина соответствующей простой алгебры Ли соответствует следующей конструкции. Аффинную алгебру Ли всегда можно построить как центральное расширение алгебры петель соответствующей простой алгебры Ли. Если вместо этого кто-то хочет начать с полупростой алгебры Ли, то нужно центрально расширить ее на число элементов, равное числу простых компонентов полупростой алгебры. В физике вместо этого часто рассматривают прямую сумму полупростой алгебры и абелевой алгебры . В этом случае также нужно добавить n дополнительных центральных элементов для n абелевых генераторов. ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$

Вторая интегральная когомология группы петель соответствующей простой компактной группы Ли изоморфна целым числам. Центральные расширения аффинной группы Ли одним генератором являются топологически расслоениями окружностей над этой свободной группой петель, которые классифицируются двуклассом, известным как первый класс Черна расслоения . Таким образом, центральные расширения аффинной группы Ли классифицируются одним параметром k , который в физической литературе называется уровнем , где он впервые появился. Унитарные представления с наивысшим весом аффинных компактных групп существуют только тогда, когда k — натуральное число. В более общем случае, если рассматривать полупростую алгебру, то для каждого простого компонента существует центральный заряд.

Структура

Базис Картана–Вейля

Как и в конечном случае, определение базиса Картана–Вейля является важным шагом в определении структуры аффинных алгебр Ли.

Зафиксируем конечномерную, простую, комплексную алгебру Ли с подалгеброй Картана и конкретной корневой системой . Вводя обозначение , можно попытаться расширить базис Картана–Вейля для до базиса для аффинной алгебры Ли, заданной , с образованием абелевой подалгебры. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X_{n}=X\otimes t^{n},}$ ${\displaystyle \{H^{i}\}\cup \{E^{\alpha }|\alpha \in \Delta \}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{H_{n}^{i}\}\cup \{c\}\cup \{E_{n}^{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{H_{0}^{i}\}\cup \{c\}}$

Собственные значения и на равны и соответственно и независимо от . Поэтому корень бесконечно вырожден относительно этой абелевой подалгебры. Добавление вывода, описанного выше, к абелевой подалгебре превращает абелеву подалгебру в подалгебру Картана для аффинной алгебры Ли с собственными значениями для ${\displaystyle ad(H_{0}^{i})}$ ${\displaystyle ad(c)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha ^{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{dim{\mathfrak {h}}},0,n)}$ ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }.}$

Форма убийства

Форму Киллинга можно почти полностью определить, используя ее свойство инвариантности. Используя обозначения для формы Киллинга на и для формы Киллинга на аффинной алгебре Каца–Муди, где только последнее уравнение не фиксируется инвариантностью и вместо этого выбирается по соглашению. Примечательно, что ограничение на подпространство дает билинейную форму с сигнатурой . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},Y_{m})=B(X,Y)\delta _{n+m,0},}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}(X_{n},c)=0,{\hat {B}}(X_{n},d)=0}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}(c,c)=0,{\hat {B}}(c,d)=1,{\hat {B}}(d,d)=0,}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle (+,-)}$

Запишите аффинный корень, связанный с . Определив , это можно переписать ${\displaystyle E_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=(\alpha ;0;n)}$ ${\displaystyle \delta =(0,0,1)}$ $${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\alpha +n\delta .}$$

Полный набор корней равен Тогда необычен, поскольку имеет нулевую длину: где — билинейная форма на корнях, индуцированная формой Киллинга. $${\displaystyle {\hat {\Delta }}=\{\alpha +n\delta |n\in \mathbb {Z} ,\alpha \in \Delta \}\cup \{n\delta |n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\}.}$$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (\delta ,\delta )=0}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$

Аффинный простой корень

Чтобы получить базис простых корней для аффинной алгебры, необходимо добавить дополнительный простой корень, который задается как , где — наибольший корень , используя обычное понятие высоты корня. Это позволяет определить расширенную матрицу Картана и расширенные диаграммы Дынкина . $${\displaystyle \alpha _{0}=-\theta +\delta }$$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теория представления

Теория представлений для аффинных алгебр Ли обычно разрабатывается с использованием модулей Верма . Как и в случае полупростых алгебр Ли, это модули с наивысшим весом . Конечномерных представлений не существует; это следует из того факта, что нулевые векторы конечномерного модуля Верма обязательно равны нулю; тогда как для аффинных алгебр Ли это не так. Грубо говоря, это следует из того, что форма Киллинга является лоренцевой в направлениях, поэтому иногда называется «координатами светового конуса» на струне. «Радиально упорядоченные» произведения операторов тока можно понимать как упорядоченные по времени нормально , взяв с направлением по времени вдоль мирового листа струны и пространственным направлением. ${\displaystyle c,\delta }$ ${\displaystyle (z,{\bar {z}})}$ ${\displaystyle z=\exp(\tau +i\sigma )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Вакуумное представление рангак

Более подробно представления строятся следующим образом. ^[1]

Зафиксируем алгебру Ли и базис . Тогда является базисом для соответствующей алгебры петель, а является базисом для аффинной алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \{J^{\rho }\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}=\{J^{\rho }\otimes t^{n}\}}$ ${\displaystyle \{J_{n}^{\rho }\}\cup \{c\}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$

Вакуумное представление ранга ${\displaystyle k}$ , обозначаемое как , является комплексным представлением с базисом и где действие на задается выражением: ${\displaystyle V_{k}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \{v_{\,n_{1}\,\cdots \,n_{m}}^{\,\rho _{1}\,\cdots \,\rho _{m}}:n_{1}\geq \cdots \geq n_{m}\geq 1,\rho _{1}\leq \cdots \leq \rho _{m}\}\cup \{\Omega \},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle V=V_{k}({\mathfrak {g}})}$ $${\displaystyle c=k\,{\text{id}}_{V},\qquad J_{n}^{\rho }\Omega =0,\ \mathrm {for} \ n\geq 0,\qquad J_{-n}^{\rho }\Omega =v_{n}^{\rho },\ \mathrm {for} \ n>0,}$$ $${\displaystyle \mathrm {and} \ J_{-n}^{\rho }v_{\,n_{1}\cdots n_{m}}^{\,\rho _{1}\cdots \rho _{m}}=v_{\,n\,n_{1}\cdots n_{m}}^{\,\rho \,\rho _{1}\cdots \rho _{m}}.}$$

Аффинная вершинная алгебра

Вакуумное представление на самом деле может быть снабжено структурой вершинной алгебры, в этом случае оно называется аффинной вершинной алгеброй ранга ${\displaystyle k}$ . Аффинная алгебра Ли естественным образом расширяется до алгебры Каца–Муди, причем дифференциал представлен оператором трансляции в вершинной алгебре. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T}$

Группа Вейля и персонажи

Группа Вейля аффинной алгебры Ли может быть записана как полупрямое произведение группы Вейля алгебры нулевого режима (алгебры Ли, используемой для определения алгебры петель ) и решетки кокорней.

Формула характера Вейля для алгебраических характеров аффинных алгебр Ли обобщается до формулы характера Вейля-Каца . Из них следует ряд интересных конструкций. Можно построить обобщения тета-функции Якоби . Эти тета-функции преобразуются под действием модулярной группы . Обычные тождества знаменателя полупростых алгебр Ли также обобщаются; поскольку характеры могут быть записаны как «деформации» или q-аналоги наивысших весов, это привело ко многим новым комбинаторным тождествам, включая многие ранее неизвестные тождества для эта-функции Дедекинда . Эти обобщения можно рассматривать как практический пример программы Ленглендса .

Приложения

Благодаря конструкции Сугавары универсальная обертывающая алгебра любой аффинной алгебры Ли имеет алгебру Вирасоро в качестве подалгебры. Это позволяет аффинным алгебрам Ли служить алгебрами симметрии конформных теорий поля, таких как модели WZW или модели косетов. Как следствие, аффинные алгебры Ли также появляются в описании мировой поверхности теории струн .

Пример

Алгебра Гейзенберга ^[2], определяемая генераторами, удовлетворяющими коммутационным соотношениям, может быть реализована как аффинная алгебра Ли . ${\displaystyle a_{n},n\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle [a_{m},a_{n}]=m\delta _{m+n,0}c}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathfrak {u}}}(1)}$

Ссылки

1. Шоттенлохер, Мартин (11 сентября 2008 г.). Математическое введение в конформную теорию поля. Lecture Notes in Physics. Vol. 759 (2-е изд.). Berlin: Springer-Verlag. pp. 196–7. doi :10.1007/978-3-540-68628-6. ISBN 978-3-540-68625-5. Получено 16 января 2023 г. .
2. П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля , 1997, ISBN 0-387-94785-X 

• Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
• Годдард, Питер ; Олив, Дэвид (1988), Алгебры Каца-Муди и Вирасоро: Переиздание тома для физиков , Продвинутая серия по математической физике, т. 3, World Scientific, ISBN 9971-5-0419-7
• Кац, Виктор (1990), Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46693-8
• Коно, Тоситаке (1998), Конформная теория поля и топология , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-2130-X
• Прессли, Эндрю; Сигал, Грэм (1986), Группы циклов , Oxford University Press, ISBN 0-19-853535-X