Форма убийства

В математике форма Киллинга , названная в честь Вильгельма Киллинга , является симметричной билинейной формой , которая играет основную роль в теориях групп Ли и алгебр Ли . Критерии Картана (критерий разрешимости и критерий полупростоты) показывают, что форма Киллинга имеет тесную связь с полупростотой алгебр Ли. ^[1]

История и название

Форма Киллинга была по существу введена в теорию алгебры Ли Эли Картаном (1894) в его диссертации. В историческом обзоре теории Ли Борель (2001) описал, как термин «форма Киллинга» впервые появился в 1951 году во время одного из его собственных докладов для семинара Бурбаки ; он возник как неправильное название , поскольку форма ранее использовалась теоретиками Ли без прикрепления имени. Некоторые другие авторы теперь используют термин « форма Картана-Киллинга » . ^[2] В конце 19-го века Киллинг заметил, что коэффициенты характеристического уравнения регулярного полупростого элемента алгебры Ли инвариантны относительно присоединенной группы, из чего следует, что форма Киллинга (т. е. коэффициент степени 2) инвариантна, но он не особо использовал этот факт. Основным результатом, который использовал Картан, был критерий Картана , который утверждает, что форма Киллинга невырождена тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простых алгебр Ли . ^[2]

Определение

Рассмотрим алгебру Ли над полем $K.$ Каждый элемент $x$ из определяет сопряженный эндоморфизм $ad($ $x$ $)$ (также записываемый как $ad$ $x$ ) из с помощью скобки Ли, как ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].

Теперь, предположив, что имеет конечную размерность, след композиции двух таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму ${\mathfrak {g}}$

B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),

со значениями в $K$ , форма Киллинга на . ${\mathfrak {g}}$

Характеристики

Из приведенного выше определения вытекают следующие свойства как теоремы.

Форма Киллинга $B$ является билинейной и симметричной.
Форма Киллинга является инвариантной формой, как и все другие формы, полученные из операторов Казимира . Вывод операторов Казимира исчезает; для формы Киллинга это исчезновение можно записать как

B([x,y],z)=B(x,[y,z])

где [ , ] — скобка Ли .

Если — простая алгебра Ли , то любая инвариантная симметричная билинейная форма на является скалярным кратным формы Киллинга. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$
Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов $s$ алгебры , то есть, ${\mathfrak {g}}$

B(s(x),s(y))=B(x,y)

для

с

в .

{\mathfrak {g}}

Критерий Картана утверждает, что алгебра Ли является полупростой тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена .
Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли тождественно равна нулю.
Если $I, J$ — два идеала в алгебре Ли с нулевым пересечением, то $I$ и $J$ — ортогональные подпространства относительно формы Киллинга. ${\mathfrak {g}}$
Ортогональное дополнение относительно $B$ идеала снова является идеалом. ^[3]
Если данная алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов $I$ $1$ $,...,$ $I$ $n$ , то форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга отдельных слагаемых. ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Элементы матрицы

При наличии базиса $e i$ алгебры Ли матричные элементы формы Киллинга задаются выражением ${\mathfrak {g}}$

B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).

Здесь

\left({\textrm {ad}}(e_{i})\circ {\textrm {ad}}(e_{j})\right)(e_{k})=[e_{i},[e_{j},e_{k}]]=[e_{i},{c_{jk}}^{m}e_{m}]={c_{im}}^{n}{c_{jk}}^{m}e_{n}

в нотации суммирования Эйнштейна , где $c ij k$ — структурные коэффициенты алгебры Ли. Индекс $k$ действует как индекс столбца, а индекс $n$ — как индекс строки в матрице $ad(e i)ad(e j)$ . Взятие следа равносильно подстановке $k = n$ и суммированию, и поэтому мы можем записать

B_{ij}={c_{im}}^{n}{c_{jn}}^{m}

Форма Киллинга — это простейший 2- тензор , который может быть сформирован из структурных констант. Сама форма тогда $B=B_{ij}e^{i}\otimes e^{j}.$

В приведенном выше индексированном определении мы тщательно различаем верхние и нижние индексы ( ко- и контравариантные индексы). Это связано с тем, что во многих случаях форма Киллинга может использоваться как метрический тензор на многообразии, и в этом случае это различие становится важным для свойств преобразования тензоров. Когда алгебра Ли полупроста над полем нулевой характеристики, ее форма Киллинга невырождена и, следовательно, может использоваться как метрический тензор для повышения и понижения индексов. В этом случае всегда можно выбрать базис для такой, что структурные константы со всеми верхними индексами будут полностью антисимметричными . ${\mathfrak {g}}$

Форма Киллинга для некоторых алгебр Ли имеет вид (для $X$ $,$ $Y$ , рассматриваемых в их фундаментальном матричном представлении): ^[^{необходима ссылка}^] ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Из таблицы видно, что индекс Дынкина для присоединенного представления равен удвоенному двойственному числу Кокстера .

Связь с реальными формами

Предположим, что — полупростая алгебра Ли над полем действительных чисел . По критерию Картана форма Киллинга невырождена и может быть диагонализирована в подходящем базисе с диагональными элементами $\pm1$ . По закону инерции Сильвестра число положительных элементов является инвариантом билинейной формы, т. е. не зависит от выбора диагонализующего базиса и называется индексом алгебры Ли . Это число между $0$ и размерностью , которое является важным инвариантом действительной алгебры Ли. В частности, действительная алгебра Ли называется компактной, если форма Киллинга отрицательно определена (или отрицательно полуопределена, если алгебра Ли не является полупростой). Обратите внимание, что это одно из двух неэквивалентных определений, обычно используемых для компактности алгебры Ли; другое утверждает, что алгебра Ли компактна, если она соответствует компактной группе Ли. Определение компактности в терминах отрицательной определенности формы Киллинга является более строгим, поскольку с помощью этого определения можно показать, что при соответствии Ли компактные алгебры Ли соответствуют компактным группам Ли . ${\mathfrak {g}}$ $\mathbb {R}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {g}}$

Если — полупростая алгебра Ли над комплексными числами , то существует несколько неизоморфных вещественных алгебр Ли, комплексификация которых есть , которые называются ее вещественными формами . Оказывается, что каждая комплексная полупростая алгебра Ли допускает единственную (с точностью до изоморфизма) компактную вещественную форму . Вещественные формы данной комплексной полупростой алгебры Ли часто помечаются положительным индексом инерции их формы Киллинга. ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }$ ${\mathfrak {g}}$

Например, комплексная специальная линейная алгебра имеет две действительные формы, действительную специальную линейную алгебру, обозначаемую , и специальную унитарную алгебру , обозначаемую . Первая из них некомпактна, так называемая расщепляемая действительная форма , и ее форма Киллинга имеет сигнатуру $(2, 1)$ . Вторая — компактная действительная форма , и ее форма Киллинга отрицательно определена, т.е. имеет сигнатуру $(0, 3)$ . Соответствующие группы Ли — некомпактная группа 2 $\times 2$ действительных матриц с единичным определителем и специальная унитарная группа , которая компактна. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$ ${\mathfrak {su}}(2)$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SU} (2)$

Формы следов

Пусть — конечномерная алгебра Ли над полем , а — представление алгебры Ли. Пусть — функционал следа на . Тогда мы можем определить форму следа для представления как ${\mathfrak {g}}$ $K$ $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)$ ${\text{Tr}}_{V}:{\text{End}}(V)\rightarrow K$ $V$ $\rho$

{\text{Tr}}_{\rho }:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow K,

{\text{Tr}}_{\rho }(X,Y)={\text{Tr}}_{V}(\rho (X)\rho (Y)).

Тогда форма Киллинга является частным случаем, когда представление является присоединенным представлением, . ${\text{Tr}}_{\text{ad}}=B$

Легко показать, что это симметрично, билинейно и инвариантно для любого представления . $\rho$

Если при этом является простым и неприводимым, то можно показать, где находится индекс представления. ${\mathfrak {g}}$ $\rho$ ${\text{Tr}}_{\rho }=I(\rho )B$ $I(\rho )$

Смотрите также

Цитаты

^ Кириллов 2008, стр. 102.
^ ab Borel 2001, стр. 5
^ Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.См. стр. 207.

Ссылки

Борель, Арманд (2001), Очерки истории групп Ли и алгебраических групп, История математики, т. 21, Американское математическое общество и Лондонское математическое общество, ISBN 0821802887
Бамп, Дэниел (2004), Группы Ли , Graduate Texts In Mathematics, т. 225, Springer, doi : 10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN 978-0-387-21154-1
Картан, Эли (1894), Sur la Structure des Groupes de Transformations Finis et Continus, Thesis, Nony
Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press , ISBN 0-521-48412-X
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
«Убийственная форма», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Кириллов, Александр младший (2008), Введение в группы Ли и алгебры Ли, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 113, Cambridge University Press , CiteSeerX 10.1.1.173.1452 , doi :10.1017/CBO9780511755156, ISBN 978-0-521-88969-8, МР 2440737