Слабая формулировка

Математические инструменты

Слабые формулировки являются важными инструментами для анализа математических уравнений , которые позволяют переносить концепции линейной алгебры для решения задач в других областях, таких как уравнения с частными производными . В слабой формулировке уравнения или условия больше не обязаны выполняться абсолютно (и это даже не определено), а вместо этого имеют слабые решения только относительно определенных «тестовых векторов» или « тестовых функций ». В сильной формулировке пространство решений строится таким образом, что эти уравнения или условия уже выполнены.

Теорема Лакса–Милгрэма , названная в честь Питера Лакса и Артура Милгрэма , которые доказали ее в 1954 году, дает слабые формулировки для некоторых систем в гильбертовых пространствах .

Общая концепция

Пусть будет банаховым пространством , пусть будет двойственным пространством , пусть , ^{[ необходимо разъяснение ]} и пусть . Вектор является решением уравнения ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\colon V\to V'}$ ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

тогда и только тогда, когда для всех , ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle (Au)(v)=f(v).}$$

Конкретный выбор называется тестовым вектором (в общем случае) или тестовой функцией (если является функциональным пространством). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V}$

Чтобы привести это к общей форме слабой формулировки, найдите такое, что ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$$

путем определения билинейной формы

$${\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}$$

Пример 1: линейная система уравнений

Теперь пусть и — линейное отображение . Тогда слабая формулировка уравнения ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A:V\to V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

включает в себя нахождение такого, что для всех выполняется следующее уравнение: ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$$

где обозначает скалярное произведение . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Поскольку — линейное отображение, достаточно провести проверку с базисными векторами , и мы получим ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

На самом деле, разлагая , получаем матричную форму уравнения ${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$$

где и . ${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$ ${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, имеет вид

$${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$$

Пример 2: Уравнение Пуассона

Решить уравнение Пуассона

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$$

на области с на ее границе , и чтобы позже указать пространство решений , можно использовать - скалярное произведение ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$$

для вывода слабой формулировки. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями дает ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Левую часть этого уравнения можно сделать более симметричной путем интегрирования по частям, используя тождество Грина и предполагая, что на : ${\displaystyle v=0}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Это то, что обычно называют слабой формулировкой уравнения Пуассона . Функции в пространстве решений должны быть равны нулю на границе и иметь квадратично интегрируемые производные . Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является пространство Соболева функций со слабыми производными в и с нулевыми граничными условиями, поэтому . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

Общая форма получается путем присвоения

$${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$$

и

$${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

Теорема Лакса–Милгрэма

Это формулировка теоремы Лакса–Мильгрэма , которая опирается на свойства симметричной части билинейной формы . Это не самая общая форма.

Пусть будет гильбертовым пространством и билинейная форма на , которая есть ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle V}$

1. ограниченный : и ${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}$
2. принудительный : ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}$

Тогда для любого ограниченного существует единственное решение уравнения ${\displaystyle f\in V'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$$

и он держит

$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}$$

Применение к примеру 1

Здесь применение теоремы Лакса–Милгрэма дает более сильный результат, чем требуется.

• Ограниченность: все билинейные формы на ограничены. В частности, имеем ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}$$
• Коэрцитивность: это фактически означает, что действительные части собственных значений не меньше . Поскольку это подразумевает , в частности, что ни одно собственное значение не равно нулю, система разрешима. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$

Кроме того, это дает оценку , где — минимальная действительная часть собственного значения . $${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}$$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$

Применение к примеру 2

Здесь выбирайте по норме ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$ $${\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}$$

где норма справа — это - норма на (это дает истинную норму на по неравенству Пуанкаре ). Но мы видим, что и по неравенству Коши–Шварца , . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}$ ${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}$

Следовательно, для любого существует единственное решение уравнения Пуассона и мы имеем оценку ${\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}$ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}$$

Смотрите также

• Теорема Бабушки–Лакса–Милгрэма
• Теорема Лайонса–Лакса–Милгрэма

Ссылки

• Лакс, Питер Д .; Милгрэм, Артур Н. (1954), «Параболические уравнения», Вклад в теорию дифференциальных уравнений с частными производными , Annals of Mathematics Studies, т. 33, Принстон, Нью-Джерси : Princeton University Press , стр. 167–190, doi : 10.1515/9781400882182-010, ISBN 9781400882182, MR  0067317, Zbl  0058.08703

Внешние ссылки

• Страница MathWorld о теореме Лакса–Милгрэма