Теорема Нивена

The only rational angles in first quadrant whose sine is rational are 0, 30 and 90 degrees

В математике теорема Нивена , названная в честь Ивана Нивена , утверждает , что единственными рациональными значениями θ в интервале 0° ≤  θ  ≤ 90°, для которых синус θ  градусов также является рациональным числом, являются: [ ^1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin 0^{\circ }&=0,\\[10pt]\sin 30^{\circ }&={\frac {1}{2}},\\[10pt]\sin 90^{\circ }&=1.\end{aligned}}}$

В радианах можно было бы потребовать, чтобы 0 ≤  x  ≤  π /2, чтобы x / π было рациональным, и чтобы sin  x был рациональным. Вывод тогда заключается в том, что единственными такими значениями являются sin 0 = 0, sin  π /6 = 1/2 и sin  π /2 = 1.

Теорема появляется как следствие 3.12 в книге Нивена об иррациональных числах . ^[2]

Теорема распространяется и на другие тригонометрические функции . ^[2] Для рациональных значений θ единственными рациональными значениями синуса или косинуса являются 0, ±1/2 и ±1; единственными рациональными значениями секанса или косеканса являются ±1 и ±2; и единственными рациональными значениями тангенса или котангенса являются 0 и ±1. ^[3]

История

Доказательство Нивеном своей теоремы представлено в его книге «Иррациональные числа». Ранее теорема была доказана Д. Х. Лемером и Дж. М. Х. Олмстедом. ^[2] В своей статье 1933 года Лемер доказал теорему для косинуса, доказав более общий результат. А именно, Лемер показал, что для относительно простых целых чисел и с число является алгебраическим числом степени , где обозначает функцию Эйлера . Поскольку рациональные числа имеют степень 1, мы должны иметь или и, следовательно, единственными возможностями являются Далее он доказал соответствующий результат для синуса, используя тригонометрическое тождество . ^[4] В 1956 году Нивен распространил результат Лемера на другие тригонометрические функции. ^[2] В последующие годы другие математики дали новые доказательства. ^[3] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle 2\cos(2\pi k/n)}$ ${\displaystyle \varphi (n)/2}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n\leq 2}$ ${\displaystyle \varphi (n)=2}$ ${\displaystyle n=1,2,3,4,6.}$ ${\displaystyle \sin(\theta )=\cos(\theta -\pi /2)}$

Смотрите также

• Пифагоровы тройки образуют прямоугольные треугольники, в которых тригонометрические функции всегда будут принимать рациональные значения, хотя острые углы не являются рациональными.
• Тригонометрические функции
• Тригонометрическое число

Ссылки

1. Шаумбергер, Норман (1974). «Теорема для класса о тригонометрических иррациональностях». Журнал двухгодичной колледжской математики . 5 (1): 73–76. doi :10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
2. Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа . Математические монографии Каруса . Математическая ассоциация Америки . стр. 41. MR  0080123.
3. Доказательство для случая косинуса представлено как Лемма 12 в Bennett, Curtis D.; Glass, AMW; Székely, Gábor J. (2004). "Последняя теорема Ферма для рациональных экспонент". American Mathematical Monthly . 111 (4): 322–329. doi :10.2307/4145241. JSTOR  4145241. MR  2057186.
4. Лемер, Деррик Х. (1933). «Заметка о тригонометрических алгебраических числах». The American Mathematical Monthly . 40 (3): 165–166. doi :10.2307/2301023. JSTOR  2301023.

Дальнейшее чтение

• Olmsted, JMH (1945). «Рациональные значения тригонометрических функций». The American Mathematical Monthly . 52 (9): 507–508. JSTOR  2304540.
• Янель, Йорг (2010). «Когда (ко)синус рационального угла равен рациональному числу?». arXiv : 1006.2938 [math.HO].

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Нивена». Математический мир .
• Теорема Нивена на ProofWiki