Теорема Эрншоу

Утверждение о равновесии в электромагнетизме

Теорема Эрншоу утверждает, что совокупность точечных зарядов не может поддерживаться в стабильной стационарной равновесной конфигурации исключительно за счет электростатического взаимодействия зарядов. Впервые это было доказано британским математиком Сэмюэлем Эрншоу в 1842 году. Обычно это цитируется в отношении магнитных полей , но впервые оно было применено к электростатическому полю .

Теорема Эрншоу применима к классическим силам закона обратных квадратов (электрическим и гравитационным ), а также к магнитным силам постоянных магнитов , если магниты твердые (сила магнитов не меняется в зависимости от внешних полей). Теорема Эрншоу запрещает магнитную левитацию во многих распространенных ситуациях.

Если материалы не твердые, расширение Браунбека показывает, что материалы с относительной магнитной проницаемостью больше единицы ( парамагнетизм ) дополнительно дестабилизируют, но материалы с проницаемостью меньше единицы ( диамагнитные материалы) допускают стабильные конфигурации.

Объяснение

Неформально случай точечного заряда в произвольном статическом электрическом поле является простым следствием закона Гаусса . Чтобы частица находилась в устойчивом равновесии, небольшие возмущения («толчки») частицы в любом направлении не должны нарушать равновесие; частица должна «вернуться» в прежнее положение. Это означает, что все линии силового поля вокруг положения равновесия частицы должны быть направлены внутрь, к этому положению. Если все окружающие силовые линии направлены к точке равновесия, то дивергенция поля в этой точке должна быть отрицательной (т. е. эта точка действует как сток). Однако закон Гаусса гласит, что дивергенция любого возможного электрического силового поля равна нулю в свободном пространстве. В математических обозначениях электрическая сила F ( r ) , вытекающая из потенциала U ( r ), всегда будет бездивергентной (удовлетворять уравнению Лапласа ):

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot (-\nabla U)=-\nabla ^{2}U=0.}$$

Следовательно, в свободном пространстве нет локальных минимумов или максимумов потенциала поля, а есть только седловые точки . Устойчивого равновесия частицы не может существовать и должна быть неустойчивость в каком-то направлении. Этого аргумента может быть недостаточно, если все вторые производные U равны нулю . ^[1]

Строго говоря, существование устойчивой точки не требует, чтобы все соседние векторы сил были направлены точно в сторону устойчивой точки; векторы сил могут, например, двигаться по спирали к стабильной точке. Один из способов решения этой проблемы заключается в том, что помимо дивергенции ротор любого электрического поля в свободном пространстве также равен нулю (при отсутствии каких-либо магнитных токов).

Эту теорему также можно доказать непосредственно из уравнений силы/энергии для статических магнитных диполей (ниже). Однако интуитивно понятно, что если теорема справедлива для одного точечного заряда, то она будет справедлива и для двух противоположных точечных зарядов, соединенных вместе. В частности, это будет справедливо в пределе, когда расстояние между зарядами уменьшается до нуля при сохранении дипольного момента, то есть это будет справедливо для электрического диполя . Но если теорема справедлива для электрического диполя, то она будет справедлива и для магнитного диполя, поскольку (статические) уравнения силы/энергии принимают одинаковую форму как для электрического, так и для магнитного диполя.

Как практическое следствие, эта теорема также утверждает, что не существует возможной статической конфигурации ферромагнетиков , которая могла бы стабильно левитировать объект против силы тяжести, даже если магнитные силы сильнее гравитационных сил.

Теорема Эрншоу была даже доказана для общего случая протяженных тел, и это так, даже если они гибкие и проводящие, при условии, что они не диамагнитны , ^{[2] [3],} поскольку диамагнетизм представляет собой (малую) силу отталкивания, но не Привлечение.

Однако из правил есть несколько исключений, которые допускают магнитную левитацию .

Лазейки

Теорема Эрншоу не имеет исключений для неподвижных постоянных ферромагнетиков . Однако теорема Ирншоу не обязательно применима к движущимся ферромагнетикам, ^[4] некоторым электромагнитным системам, псевдолевитации и диамагнетикам. Таким образом, это может показаться исключением, хотя на самом деле они используют ограничения теоремы.

Магнитная левитация, стабилизированная вращением : вращающиеся ферромагнетики (такие как левитрон ) могут во время вращения магнитно левитировать, используя только постоянные ферромагнетики, при этом система добавляет гироскопические силы. ^[4] (Вращающийся ферромагнетик не является «неподвижным ферромагнетиком»).

Переключение полярности электромагнита или системы электромагнитов может поднять систему в воздух за счет непрерывного расхода энергии. Поезда на магнитной подвеске — одно из применений.

Псевдолевитация ограничивает движение магнитов, обычно используя какой-либо трос или стену. Это работает, поскольку теорема показывает лишь наличие некоторого направления, в котором будет наблюдаться нестабильность. Ограничение движения в этом направлении позволяет левитировать менее чем в полных трех измерениях, доступных для движения (обратите внимание, что теорема доказана для трех измерений, а не для одномерных или двухмерных).

Диамагнетики исключаются, поскольку они обладают только отталкиванием от магнитного поля, тогда как теорема требует материалов, обладающих как отталкиванием, так и притяжением. Примером тому является знаменитая левитирующая лягушка (см. Диамагнетизм ).

Теорема Эрншоу применима в инерциальной системе отсчета. Но иногда более естественно работать во вращающейся системе отсчета, содержащей фиктивную центробежную силу , нарушающую предположения теоремы Эрншоу. Точки, неподвижные во вращающейся системе отсчета (но движущиеся в инерциальной системе отсчета), могут быть абсолютно устойчивыми или абсолютно неустойчивыми. Например, в ограниченной задаче трех тел эффективный потенциал фиктивной центробежной силы позволяет точкам Лагранжа L4 и L5 находиться в локальных максимумах эффективного потенциального поля, даже если в этих местах имеется лишь незначительная масса. (Несмотря на то, что эти точки Лагранжа лежат в локальных максимумах потенциального поля, а не в локальных минимумах, они все еще абсолютно стабильны в определенном режиме параметров из-за фиктивной зависящей от скорости силы Кориолиса , которая не захватывается скалярным потенциальным полем.)

Влияние на физику

В течение некоторого времени теорема Эрншоу ставила поразительный вопрос о том, почему материя стабильна и удерживается вместе, поскольку было найдено множество доказательств того, что материя удерживается вместе электромагнитно, несмотря на доказанную нестабильность конфигураций статического заряда. Поскольку теорема Эрншоу применима только к стационарным зарядам, были попытки объяснить стабильность атомов с помощью планетарных моделей, таких как модель Сатурна Нагаоки (1904 г.) и планетарная модель Резерфорда (1911 г.), в которой точечные электроны вращаются вокруг положительного точечного заряда в центре. . Однако устойчивость подобных планетарных моделей сразу же была поставлена ​​под сомнение: электроны при движении по окружности имеют ненулевое ускорение, а значит, излучали бы энергию через нестационарное электромагнитное поле. Модель Бора 1913 года формально запретила это излучение, не давая объяснения его отсутствия.

С другой стороны, теорема Эрншоу применима только к точечным зарядам, но не к распределенным зарядам. Это привело Дж. Дж. Томсона в 1904 году к его модели сливового пудинга , в которой отрицательные точечные заряды (электроны или «сливы») встроены в распределенный положительный заряд « пудинг », где они могли быть либо неподвижными, либо перемещаться по кругам; это конфигурация, которая представляет собой неточечные положительные заряды (а также нестационарные отрицательные заряды), не охватываемую теоремой Эрншоу. В конечном итоге это привело к модели Шредингера 1926 года , в которой существование безызлучательных состояний, в которых электрон является не точкой, а скорее распределенной плотностью заряда, разрешает вышеупомянутую загадку на фундаментальном уровне: не только не было противоречия с моделью Эрншоу. теорема, но также результирующая плотность заряда и плотность тока являются стационарными, как и соответствующее электромагнитное поле, больше не излучающее энергию в бесконечность. Это дало квантовомеханическое объяснение стабильности атома.

На более практическом уровне можно сказать, что принцип запрета Паули и существование дискретных электронных орбиталей ответственны за жесткость объемной материи.

Доказательства для магнитных диполей

Введение

Хотя возможно более общее доказательство, здесь рассматриваются три конкретных случая. Первый случай — магнитный диполь постоянной величины, имеющий быструю (фиксированную) ориентацию. Второй и третий случаи представляют собой магнитные диполи, в которых ориентация меняется, оставаясь параллельной или антипараллельной силовым линиям внешнего магнитного поля. В парамагнетиках и диамагнетиках диполи ориентированы параллельно и антипараллельно силовым линиям соответственно.

Фон

Рассматриваемые здесь доказательства основаны на следующих принципах.

Энергия U магнитного диполя с магнитным дипольным моментом M во внешнем магнитном поле B определяется выражением $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).}$$

Диполь будет стабильно левитировать только в тех точках, где энергия имеет минимум. Энергия может иметь минимум только в тех точках, где лапласиан энергии больше нуля. То есть где $${\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}>0.}$$

Наконец, поскольку и дивергенция, и ротор магнитного поля равны нулю (в отсутствие тока или изменяющегося электрического поля), лапласианы отдельных компонент магнитного поля равны нулю. То есть, $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}=\nabla ^{2}B_{y}=\nabla ^{2}B_{z}=0.}$$

Это доказано в самом конце статьи, поскольку оно имеет решающее значение для понимания общего доказательства.

Краткое изложение доказательств

Для магнитного диполя фиксированной ориентации (и постоянной величины) энергия будет определяться формулой где M _x , My _y и M _z постоянны. В этом случае лапласиан энергии всегда равен нулю, поэтому диполь не может иметь ни минимума, ни максимума энергии. То есть в свободном пространстве нет точки, где диполь был бы либо стабилен во всех направлениях, либо неустойчив во всех направлениях. $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}U=0,}$$

Магнитные диполи, ориентированные параллельно или антипараллельно внешнему полю с величиной диполя, пропорциональной внешнему полю, будут соответствовать парамагнитным и диамагнитным материалам соответственно. В этих случаях энергия будет определяться формулой где k — константа, большая нуля для парамагнетиков и меньше нуля для диамагнитных материалов. $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right),}$$

В этом случае будет показано то, что в сочетании с константой k показывает, что парамагнитные материалы могут иметь максимумы энергии, но не минимумы энергии, а диамагнитные материалы могут иметь минимумы энергии, но не максимумы энергии. То есть парамагнетики могут быть нестабильны во всех направлениях, но не стабильны во всех направлениях, а диамагнитные материалы могут быть стабильны во всех направлениях, но не нестабильны во всех направлениях. Конечно, оба материала могут иметь седловые точки. $${\displaystyle \nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0,}$$

Наконец, магнитный диполь ферромагнитного материала (постоянный магнит), ориентированный параллельно или антипараллельно магнитному полю, будет иметь вид $${\displaystyle \mathbf {M} =k{\mathbf {B} \over |\mathbf {B} |},}$$

поэтому энергия будет даваться $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }{|\mathbf {B} |}}=-k{\frac {|\mathbf {B} |^{2}}{|\mathbf {B} |}}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{\frac {1}{2}};}$$

но это всего лишь квадратный корень из энергии для обсуждавшегося выше парамагнитного и диамагнитного случая, и, поскольку функция квадратного корня монотонно возрастает, любой минимум или максимум в парамагнитном и диамагнитном случае будет минимумом или максимумом и здесь. Однако не существует известных конфигураций постоянных магнитов, которые стабильно левитируют, поэтому могут быть и другие, не обсуждаемые здесь причины, почему невозможно поддерживать постоянные магниты в ориентации, антипараллельной магнитным полям (по крайней мере, не без вращения - см. Магнитные, стабилизированные по вращению). левитация .

Подробные доказательства

Теорема Эрншоу была первоначально сформулирована для электростатики (точечных зарядов), чтобы показать, что не существует стабильной конфигурации набора точечных зарядов. Доказательства, представленные здесь для отдельных диполей, должны быть обобщены на совокупность магнитных диполей, поскольку они сформулированы в терминах энергии, которая является аддитивной. Однако строгое рассмотрение этой темы в настоящее время выходит за рамки данной статьи.

Магнитный диполь фиксированной ориентации

Будет доказано, что во всех точках свободного пространства $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla U)=\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial z}^{2}}=0.}$$

Энергия U магнитного диполя M во внешнем магнитном поле B определяется выражением $${\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-M_{x}B_{x}-M_{y}B_{y}-M_{z}B_{z}.}$$

Лапласиан будет $${\displaystyle \nabla ^{2}U=-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)}$$

Раскрывая и переставляя члены (и отмечая, что диполь M постоянен), мы имеем $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}U&=-M_{x}\left({\partial ^{2}B_{x} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{y}\left({\partial ^{2}B_{y} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{z}\left({\partial ^{2}B_{z} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial z}^{2}}\right)\\[3pt]&=-M_{x}\nabla ^{2}B_{x}-M_{y}\nabla ^{2}B_{y}-M_{z}\nabla ^{2}B_{z}\end{aligned}}}$$

но лапласианы отдельных компонент магнитного поля равны нулю в свободном пространстве (не считая электромагнитного излучения), поэтому $${\displaystyle \nabla ^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0,}$$

что завершает доказательство.

Магнитный диполь, ориентированный на линии внешнего поля

Сначала рассматривается случай парамагнитного или диамагнитного диполя. Энергия определяется $${\displaystyle U=-k|\mathbf {B} |^{2}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right).}$$

Расширение и перестановка терминов, $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}}$$

но поскольку лапласиан каждой отдельной компоненты магнитного поля равен нулю, $${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}\right);}$$

и поскольку квадрат величины всегда положителен, $${\displaystyle \nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}\geq 0.}$$

Как обсуждалось выше, это означает, что лапласиан энергии парамагнитного материала никогда не может быть положительным (нет стабильной левитации), а лапласиан энергии диамагнитного материала никогда не может быть отрицательным (нет нестабильности во всех направлениях).

Кроме того, поскольку энергия диполя фиксированной величины, ориентированная по внешнему полю, будет равна квадратному корню из приведенной выше энергии, применим тот же анализ.

Лапласиан отдельных компонент магнитного поля

Здесь доказано, что лапласиан каждой отдельной компоненты магнитного поля равен нулю. Это показывает необходимость использования свойств магнитных полей, согласно которым дивергенция магнитного поля всегда равна нулю, а ротор магнитного поля равен нулю в свободном пространстве. (То есть в отсутствие тока или изменяющегося электрического поля.) См. уравнения Максвелла для более подробного обсуждения этих свойств магнитных полей.

Рассмотрим лапласиан x-компоненты магнитного поля $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}B_{x}&={\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$

Поскольку ротор B равен нулю, мы имеем $${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial B_{y}}{\partial x}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}},}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}.}$$

Но поскольку B _x непрерывен, порядок дифференцирования не имеет значения, учитывая $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}\left({\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}\right)={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} ).}$$

Дивергенция B равна нулю, поэтому $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}B_{x}={\partial \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} )=0.}$$

Лапласиан y - компоненты магнитного поля B _y field и лапласиан z -компоненты магнитного поля B _z вычисляются аналогично. В качестве альтернативы можно использовать тождество , при котором оба члена в скобках исчезают. $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right),}$$

Смотрите также

• Электростатическая левитация
• Магнитная левитация

Рекомендации

1. Вайнсток, Роберт (1976). «Об ошибочном доказательстве теоремы Эрншоу». Американский журнал физики . 44 (4): 392–393. Бибкод : 1976AmJPh..44..392W. дои : 10.1119/1.10449.
2. Гиббс, Филип; Гейм, Андре. «Левитация возможна». Лаборатория сильнополевых магнитов. Архивировано из оригинала 8 сентября 2012 г. Проверено 26 мая 2021 г.
3. Эрншоу, С. (1842). «О природе молекулярных сил, регулирующих строение светоносного эфира». Труды Кембриджского философского общества . 7 : 97–112.
4. Саймон, Мартин Д.; Хефлингер, Ли О.; Риджуэй, СЛ (1996). «Спин-стабилизированная магнитная левитация». Американский журнал физики . 65 (4): 286–292. дои : 10.1119/1.18488.

• Скотт, WT (1959). «Кто был Эрншоу?». Американский журнал физики . 27 (6): 418–419. Бибкод : 1959AmJPh..27..418S. дои : 10.1119/1.1934886.

Внешние ссылки

• «Возможна левитация», обсуждение теоремы Эрншоу и ее последствий для левитации, а также нескольких способов левитации с помощью электромагнитных полей.