Теорема выбора

В функциональном анализе , разделе математики, теорема выбора — это теорема, которая гарантирует существование однозначной функции выбора из заданного многозначного отображения . Существуют различные теоремы выбора, и они важны в теориях дифференциальных включений , оптимального управления и математической экономики . ^[1]

Предварительные

Дано два множества X и Y , пусть F будет функцией множества из X и Y. Эквивалентно, является функцией из X в множество мощности Y. ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Говорят, что функция является выбором F , если ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle \forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.}$

Другими словами, при заданном входе x, для которого исходная функция F возвращает несколько значений, новая функция f возвращает одно значение. Это особый случай функции выбора .

Аксиома выбора подразумевает, что функция выбора всегда существует; однако часто важно, чтобы выбор имел некоторые "хорошие" свойства, такие как непрерывность или измеримость . Вот где вступают в действие теоремы выбора: они гарантируют, что если F удовлетворяет определенным свойствам, то у него есть выбор f, который является непрерывным или имеет другие желаемые свойства.

Теоремы выбора для многозначных функций

Теорема Майкла о селекции ^{[2] гласит, что для существования} непрерывной селекции достаточны следующие условия :

• X — паракомпактное пространство;
• Y — банахово пространство ;
• F – нижний полунепрерывный ;
• для всех x из X множество F ( x ) непусто, выпукло и замкнуто .

Теорема приближенного выбора ^[3] утверждает следующее:

Предположим, что X — компактное метрическое пространство, Y — непустое компактное , выпуклое подмножество нормированного векторного пространства , а Φ: X → мультифункция, все значения которой компактны и выпуклы. Если graph(Φ) замкнут, то для любого ε > 0 существует непрерывная функция f  : X → Y с graph( f ) ⊂ [graph(Φ)] _ε . ${\displaystyle {\mathcal {P}}(Y)}$

Здесь обозначает -дилатацию , то есть объединение радиусов -открытых шаров с центрами в точках из . Теорема подразумевает существование непрерывного приближенного выбора. ${\displaystyle [S]_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle S}$

Другой набор достаточных условий для существования непрерывного приближенного выбора дается теоремой Дойча–Кендерова ^[4] , условия которой являются более общими, чем условия теоремы Майкла (и, таким образом, выбор является лишь приближенным):

• X — паракомпактное пространство;
• Y — нормированное векторное пространство ;
• F почти хеминепрерывна снизу , то есть при каждом для каждой окрестности существует окрестность такая , что ; ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$
• для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло .

В более поздней заметке Сюй доказал, что теорема Дойча–Кендерова также верна, если — локально выпуклое топологическое векторное пространство . ^[5] ${\displaystyle Y}$

Теорема отбора Яннелиса -Прабхакара ^{[6] гласит, что для существования} непрерывного отбора достаточны следующие условия :

• X — паракомпактное хаусдорфово пространство ;
• Y — линейное топологическое пространство ;
• для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло ;
• для всех y из Y обратное множество F ⁻¹ ( y ) является открытым множеством в X .

Теорема Куратовского и Рылль-Нардзевского об измеримом выборе гласит, что если X — польское пространство , а его борелевская σ-алгебра — множество непустых замкнутых подмножеств X , — измеримое пространство , и — слабо измеримое отображение (то есть для каждого открытого подмножества, которое у нас есть ), то существует выборка , которая является измеримой . [ ^7] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} (X)}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle \{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})}$

Другие теоремы выбора для многозначных функций включают в себя:

• Теорема Брессана–Коломбо о направленно непрерывном выборе
• Теорема о представлении Кастэнга
• Выбор разложимой карты Фришковского
• Теорема выбора Хелли
• Теорема выбора Майкла для нуль-мерного случая
• Теорема Роберта Ауманна об измеримом выборе

Теоремы выбора для последовательностей со значениями множества

• Теорема отбора Блашке
• Теорема максимума

Ссылки

1. Бордер, Ким С. (1989). Теоремы о неподвижной точке с приложениями к экономике и теории игр . Cambridge University Press. ISBN 0-521-26564-9.
2. Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывные выборки. I». Annals of Mathematics . Вторая серия. 63 (2): 361–382. doi :10.2307/1969615. hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR  1969615. MR  0077107.
3. Шапиро, Джоэл Х. (2016). Фарраго с фиксированной точкой. Международное издательство Спрингер. стр. 68–70. ISBN 978-3-319-27978-7. OCLC  984777840.
4. Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывные выборки и приближенные выборки для отображений со значениями множеств и их применение к метрическим проекциям». Журнал SIAM по математическому анализу . 14 (1): 185–194. doi :10.1137/0514015.
5. Сюй, Юйгуан (декабрь 2001 г.). «Заметка о непрерывной приближенной теореме выбора». Журнал теории приближений . 113 (2): 324–325. doi : 10.1006/jath.2001.3622 .
6. Яннелис, Николас К.; Прабхакар, Н.Д. (1983-12-01). «Существование максимальных элементов и равновесий в линейных топологических пространствах». Журнал математической экономики . 12 (3): 233–245. CiteSeerX 10.1.1.702.2938 . doi :10.1016/0304-4068(83)90041-1. ISSN  0304-4068. 
7. В.И. Богачев, «Теория меры» Том II, стр. 36.