В теории моделей , разделе математической логики , полная теория первого порядка T называется стабильной относительно λ (бесконечное кардинальное число ), если пространство Стоуна каждой модели T размера ≤ λ имеет размер ≤ λ. T называется стабильной теорией , если не существует верхней границы для кардиналов κ такой, что T стабильна относительно κ. Спектр стабильности T — это класс всех кардиналов κ таких, что T стабильна относительно κ.
Для счетных теорий существует только четыре возможных спектра стабильности. Соответствующие разделительные линии — это линии полной трансцендентности , суперстабильности и стабильности . Этот результат принадлежит Сахарону Шелаху , который также определил стабильность и суперстабильность.
Теорема. Каждая счетная полная теория первого порядка T попадает в один из следующих классов:
Условие на λ в третьем случае выполняется для кардиналов вида λ = κ ω , но не для кардиналов λ конфинальности ω (так как λ < λ cof λ ).
Полная теория первого порядка T называется полностью трансцендентной , если каждая формула имеет ограниченный ранг Морли , т.е. если RM(φ) < ∞ для каждой формулы φ( x ) с параметрами в модели T , где x может быть кортежем переменных. Достаточно проверить, что RM( x = x ) < ∞, где x — одна переменная.
Для счетных теорий полная трансцендентность эквивалентна устойчивости в ω, и поэтому счетные полностью трансцендентные теории часто называют ω-устойчивыми для краткости. Полностью трансцендентная теория устойчива в каждом λ ≥ | T |, следовательно, счетная ω-устойчивая теория устойчива во всех бесконечных кардиналах.
Каждая несчетно категоричная счетная теория является полностью трансцендентной. Это включает в себя полные теории векторных пространств или алгебраически замкнутых полей. Теории групп конечного ранга Морли являются еще одним важным примером полностью трансцендентных теорий.
Полная теория первого порядка T является сверхстабильной, если существует ранговая функция на полных типах, которая имеет по существу те же свойства, что и ранг Морли в полностью трансцендентной теории. Каждая полностью трансцендентная теория является сверхстабильной. Теория T является сверхстабильной тогда и только тогда, когда она стабильна во всех кардиналах λ ≥ 2 | T | .
Теория, которая стабильна в одном кардинале λ ≥ | T |, стабильна во всех кардиналах λ, которые удовлетворяют λ = λ | T | . Поэтому теория стабильна тогда и только тогда, когда она стабильна в некотором кардинале λ ≥ | T |.
Большинство математически интересных теорий попадают в эту категорию, включая сложные теории, такие как любое полное расширение теории множеств ZF, и относительно простые теории, такие как теория действительных замкнутых полей. Это показывает, что спектр устойчивости — сравнительно грубый инструмент. Чтобы получить несколько более точные результаты, можно посмотреть на точные мощности пространств Стоуна по моделям размера ≤ λ, а не просто спрашивать, не больше ли они λ.
Для общей стабильной теории T в возможно несчетном языке спектр стабильности определяется двумя кардиналами κ и λ 0 , такими, что T стабильна по λ точно тогда, когда λ ≥ λ 0 и λ μ = λ для всех μ < κ. Таким образом, λ 0 — наименьший бесконечный кардинал, для которого T стабильна. Эти инварианты удовлетворяют неравенствам
Когда | T | счетно, 4 возможности для его спектра устойчивости соответствуют следующим значениям этих кардиналов: