В математике теорема Кодаиры об исчезновении является основным результатом теории комплексных многообразий и комплексной алгебраической геометрии , описывающим общие условия, при которых группы когомологий пучков с индексами q > 0 автоматически равны нулю. Последствия для группы с индексом q = 0 обычно заключаются в том, что ее размерность — число независимых глобальных сечений — совпадает с голоморфной эйлеровой характеристикой , которая может быть вычислена с помощью теоремы Хирцебруха–Римана–Роха .
Утверждение результата Кунихико Кодаиры заключается в том, что если M — компактное кэлерово многообразие комплексной размерности n , L — любое голоморфное линейное расслоение на M , которое положительно , а K M — каноническое линейное расслоение , то
для q > 0. Здесь обозначает тензорное произведение линейных расслоений . С помощью двойственности Серра также получается обращение в нуль для q < n . Существует обобщение, теорема об исчезновении Кодаиры–Накано , в которой , где Ω n ( L ) обозначает пучок голоморфных ( n ,0)-форм на M со значениями на L , заменяется на Ω r ( L ), пучок голоморфных ( r ,0)-форм со значениями на L . Тогда группа когомологий H q ( M , Ω r ( L )) обращается в нуль всякий раз, когда q + r > n .
Теорема об исчезновении Кодаиры может быть сформулирована на языке алгебраической геометрии без какой-либо ссылки на трансцендентные методы, такие как метрики Кэлера. Положительность линейного расслоения L переводится в то, что соответствующий обратимый пучок является обильным (т.е. некоторая тензорная степень дает проективное вложение). Алгебраическая теорема об исчезновении Кодаиры–Акидзуки–Накано представляет собой следующее утверждение:
Рейно (1978) показал, что этот результат не всегда справедлив для полей характеристики p > 0 и, в частности, неверен для поверхностей Рейно . Позднее Соммезе (1986) приводит контрпример для особых многообразий с нелогарифмически каноническими особенностями [1] , а также Лауритцен и Рао (1997) приводят элементарные контрпримеры, вдохновленные собственными однородными пространствами с нередуцированными стабилизаторами.
До 1987 года единственное известное доказательство в нулевой характеристике, однако, основывалось на комплексном аналитическом доказательстве и теоремах сравнения GAGA . Однако в 1987 году Пьер Делинь и Люк Иллюзи дали чисто алгебраическое доказательство теоремы об исчезновении в (Deligne & Illusie 1987). Их доказательство основано на демонстрации того, что спектральная последовательность Ходжа–де Рама для алгебраических когомологий де Рама вырождается в степени 1. Это показано путем поднятия соответствующего более конкретного результата из характеристики p > 0 — результат для положительной характеристики не выполняется без ограничений, но может быть поднят для получения полного результата.
Исторически теорема вложения Кодаиры была выведена с помощью теоремы о занулении. С применением двойственности Серра зануление различных групп когомологий пучков (обычно связанных с каноническим линейным расслоением) кривых и поверхностей помогает в классификации комплексных многообразий, например, классификации Энриквеса–Кодаиры .
