В математике теорема Z* Джорджа Глаубермана формулируется следующим образом:
Теорема Z*: Пусть G — конечная группа , причем O ( G ) — ее максимальная нормальная подгруппа нечетного порядка . Если T — силовская 2-подгруппа группы G, содержащая инволюцию, не сопряженную в G ни с каким другим элементом группы T , то инволюция лежит в Z* ( G ), которая является прообразом в G центра группы G / O ( G ) .
Это обобщает теорему Брауэра–Сузуки (и доказательство использует теорему Брауэра–Сузуки для рассмотрения некоторых небольших случаев).
В оригинальной статье Глаубермана (1966) было дано несколько критериев для элемента, лежащего вне Z* ( G ). Его теорема 4 гласит:
Для элемента t из T необходимо и достаточно, чтобы t лежал вне Z* ( G ), чтобы существовали некоторый g из G и абелева подгруппа U из T, удовлетворяющие следующим свойствам:
- g нормализует как U , так и централизатор C T ( U ), то есть g содержится в N = N G ( U ) ∩ N G ( C T ( U ))
- t содержится в U и tg ≠ gt
- U генерируется N -сопряженными элементами t
- показатель степени U равен порядку t
Более того, g может быть выбран так, чтобы иметь порядок степени простого числа, если t находится в центре T , и g может быть выбран в T в противном случае.
Простым следствием является то, что элемент t из T не принадлежит Z* ( G ) тогда и только тогда, когда существует некоторое s ≠ t такое, что s и t коммутируют, а s и t являются G -сопряженными.
Обобщение на нечетные простые числа было записано в Guralnick & Robinson (1993): если t — элемент простого порядка p и коммутатор [ t , g ] имеет порядок, взаимно простой с p для всех g , то t является центральным по модулю p ′-ядра . Это также было обобщено на нечетные простые числа и компактные группы Ли в Mislin & Thévenaz (1991), который также содержит несколько полезных результатов в конечном случае.
Хенке и Семераро (2015) также изучили расширение теоремы Z* на пары групп ( G , H ), где H является нормальной подгруппой G.