Теорема Альвена

Теорема магнитной гидродинамики

В идеальной магнитогидродинамике теорема Альвена или теорема о вмороженном потоке утверждает, что электропроводящие жидкости и встроенные магнитные поля вынуждены двигаться вместе в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса . Он назван в честь Ханнеса Альфвена , выдвинувшего эту идею в 1943 году.

Из теоремы Альвена следует, что магнитная топология жидкости в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса не может измениться. Это приближение не работает в токовых слоях , где может произойти магнитное пересоединение .

История

Концепция магнитных полей, вмороженных в жидкости с бесконечной электропроводностью , была впервые предложена Ханнесом Альфвеном в статье 1943 года под названием «О существовании электромагнитно-гидродинамических волн», опубликованной в журнале Arkiv for matematik, astronomi och fysik . Он написал: ^[1]

Ввиду бесконечной проводимости любое движение (перпендикулярное полю) жидкости относительно силовых линий запрещено, поскольку оно создаст бесконечные вихревые токи . Таким образом, вещество жидкости «привязывается» к силовым линиям...

«О существовании электромагнитно-гидродинамических волн» интерпретирует результаты более ранней статьи Альфвена «Существование электромагнитно-гидродинамических волн», опубликованной в журнале Nature в 1942 году. ^[2]

Позже Альфвен посоветовал не использовать свою собственную теорему. ^[3]

Обзор

Неформально, теорема Альвена относится к фундаментальному результату идеальной магнитогидродинамической теории , согласно которому электропроводящие жидкости и магнитные поля внутри них вынуждены двигаться вместе в пределе больших магнитных чисел Рейнольдса ( R _m ) , например, когда жидкость является идеальным проводником или когда масштабы скорости и длины бесконечно велики. Их движения ограничены тем, что все движения объемной жидкости, перпендикулярные магнитному полю, приводят к согласованному перпендикулярному движению поля с той же скоростью, и наоборот.

Формально связь между движением жидкости и движением магнитного поля детализируется в двух основных результатах, часто называемых сохранением магнитного потока и сохранением линии магнитного поля . Сохранение магнитного потока подразумевает, что магнитный поток через поверхность, движущуюся со скоростью объемной жидкости, является постоянным, а сохранение линии магнитного поля подразумевает, что, если два элемента жидкости соединены линией магнитного поля, они всегда будут такими. ^[4]

Трубки магнитного потока и силовые линии

Поверхности S ₁ и S ₂ представляют собой поперечные сечения магнитной трубки; магнитный поток через _S1 равен магнитному потоку _через S2 .

Теорема Альвена часто выражается в терминах трубок магнитного потока и силовых линий магнитного поля.

Трубка магнитного потока представляет собой область пространства, похожую на трубку или цилиндр , содержащую магнитное поле, так что ее стороны повсюду параллельны полю. Следовательно, магнитный поток через эти стороны равен нулю, а сечения по длине трубки имеют постоянный, равный магнитный поток. В пределе большого магнитного числа Рейнольдса теорема Альвена требует, чтобы эти поверхности с постоянным потоком перемещались вместе с жидкостью, в которой они заключены. Таким образом, трубки магнитного потока вморожены в жидкость.

Пересечение сторон двух трубок магнитного потока образует силовую линию магнитного поля — кривую, которая всюду параллельна магнитному полю. Из этого следует, что в жидкостях, где трубки магнитного потока вморожены, линии магнитного поля также должны быть вморожены. Однако условия вмороженности силовых линий слабее, чем условия вмороженности силовых трубок или, что то же самое, сохранения потока. ^{[5] : 25}

Математическое утверждение

В математических терминах теорема Альвена утверждает, что в электропроводящей жидкости в пределе большого магнитного числа Рейнольдса магнитный поток Φ B _через ориентируемую открытую поверхность материала адвектируется макроскопическим, зависящим от пространства и времени полем скорости ^{[ примечание 1]} v является постоянным, или

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0,}$

где D / Dt = ∂/∂ t + ( v ⋅ ∇) — адвективная производная .

Сохранение потока

В идеальной магнитогидродинамике магнитная индукция доминирует над магнитной диффузией на изучаемых масштабах скорости и длины. При этом предполагается, что диффузионный член в основном уравнении индукции мал по сравнению с индукционным членом, и им пренебрегают. Тогда уравнение индукции сводится к идеальной форме:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$

Сохранение магнитного потока через материальные поверхности, погруженные в жидкость, следует непосредственно из идеального уравнения индукции и предположения об отсутствии магнитных монополей согласно закону Гаусса для магнетизма . ^{[6] [7]}

Замкнутая поверхность _{, образованная} S1 , S2 и _S3 .

В электропроводящей жидкости с зависящим от пространства и времени магнитным полем B и полем скорости v произвольная ориентируемая открытая поверхность S ₁ в момент времени t адвектируется под действием v за малое время δt к поверхности S ₂ . Тогда скорость изменения магнитного потока через поверхность при его переносе от S ₁ к S ₂ равна

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {S} _{1}}{\delta t}}.}$

Поверхностный интеграл по S ₂ можно выразить, применив закон Гаусса для магнетизма, предположив, что магнитный поток через замкнутую поверхность, образованную S ₁ , S ₂ , и поверхность S ₃ , соединяющую границы S ₁ и S _2, равен нуль. В момент времени t + δt эту связь можно выразить как

${\displaystyle 0=-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}+\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}+\iint _{S_{3}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{3},}$

где направление S _{1 было изменено на противоположное} , так что d S ₁ указывает наружу из замкнутого объема. В поверхностном интеграле по S ₃ дифференциальный элемент поверхности d S ₃ = d l × v δt , где d l — линейный элемент вокруг границы ∂ S ₁ поверхности S ₁ . Тогда решение поверхностного интеграла по S _{2 дает}

${\displaystyle \iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}=\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \ \delta t\times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} ,}$

где последний член был переписан с использованием свойств скалярных тройных произведений и взято приближение первого порядка . Подставив это в выражение для D Φ _B / Dt и упростив, получим

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}\iint _{S_{1}}{\frac {\mathbf {B} (t+\delta t)-\mathbf {B} (t)}{\delta t}}\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} .\end{aligned}}}$

Применение определения частной производной к подынтегральной функции первого члена, применение теоремы Стокса ко второму члену и объединение полученных поверхностных интегралов дает

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\iint _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\cdot d\mathbf {S} _{1}.}$

Используя идеальное уравнение индукции, подынтегральная функция обращается в нуль, и

${\displaystyle {\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0.}$

Сохранение линии поля

Сохранение силовой линии также можно вывести математически, используя уравнение идеальной индукции, закон магнетизма Гаусса и уравнение неразрывности массы. ^[5]

Идеальное уравнение индукции можно переписать, используя векторное тождество и закон Гаусса для магнетизма, как

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} -\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {v} ).}$

Используя уравнение неразрывности массы,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\rho =-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,}$

идеальное уравнение индукции можно дополнительно перестроить, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)=\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} .}$

Аналогично, для отрезка линии δ l , где v — объемная скорость плазмы на одном конце, а v + δ v — скорость на другом конце, дифференциальная скорость между двумя концами равна δ v = ( δ l ⋅ ∇) v и

${\displaystyle {\frac {D\delta \mathbf {l} }{Dt}}=(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$,

которое имеет тот же вид, что и уравнение, полученное ранее для B / ρ . Следовательно, если δ l и B изначально параллельны, они останутся параллельными.

Хотя сохранение потока подразумевает сохранение силовой линии (см. § Трубки магнитного потока и силовые линии), условия для последнего слабее, чем условия для первого. В отличие от условий сохранения потока, условия сохранения силовой линии могут выполняться, когда в идеальном уравнении индукции присутствует дополнительный источник, параллельный магнитному полю.

Математически, чтобы линии поля были вморожены, жидкость должна удовлетворять условиям

${\displaystyle \left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\times \mathbf {B} =0,}$

тогда как для сохранения потока жидкость должна удовлетворять более сильному условию, налагаемому идеальным уравнением индукции. ^{[8] [9]}

Теорема Кельвина о циркуляции

Теорема Кельвина о циркуляции утверждает, что вихревые трубки , движущиеся с идеальной жидкостью , вморожены в жидкость, аналогично тому, как трубки магнитного потока, движущиеся с идеально проводящей идеальной МГД-жидкостью, вморожены в жидкость. Идеальное уравнение индукции принимает тот же вид, что и уравнение завихренности ω = ∇ × v в идеальной жидкости, где v — поле скорости:

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}).}$

Однако уравнение индукции является линейным, тогда как в уравнении завихренности существует нелинейная связь между ∇ × v и v ^{. [9]}

Подразумеваемое

Теорема Альвена показывает, что топология магнитного поля не может измениться в идеально проводящей жидкости. Однако в случае сложных или турбулентных потоков это приведет к сильно запутанным магнитным полям с очень сложной топологией, которые должны препятствовать движению жидкости. Астрофизическая плазма с высокой электропроводностью обычно не демонстрирует таких сложных запутанных полей. Магнитное пересоединение, по-видимому, происходит в этой плазме в отличие от того, что можно было бы ожидать от условий замораживания потока. Это имеет важные последствия для магнитных динамо . Фактически, очень высокая электропроводность приводит к высоким магнитным числам Рейнольдса, что указывает на то, что плазма будет турбулентной. ^[10]

Резистивные жидкости

Даже для неидеального случая, когда электропроводность не бесконечна, аналогичный результат можно получить, определив скорость переноса магнитного потока следующим образом:

${\displaystyle \nabla \times ({\bf {{w}\times {\bf {{B})=\eta \nabla ^{2}{\bf {{B}+\nabla \times ({\bf {{v}\times {\bf {{B}),}}}}}}}}}}}$

в котором вместо скорости жидкости v использовалась скорость потока w . Хотя в некоторых случаях это поле скоростей можно найти с помощью уравнений магнитогидродинамики , существование и единственность этого векторного поля зависит от лежащих в его основе условий. ^[11]

Стохастическое замораживание потока

Традиционные представления о замораживании потока в высокопроводящей плазме несовместимы с явлением спонтанной стохастичности. К сожалению, даже в учебниках стал стандартным аргумент, что замораживание магнитного потока должно сохраняться все лучше, поскольку магнитная диффузия стремится к нулю (недиссипативный режим). Но тонкость в том, что очень большие магнитные числа Рейнольдса (т. е. малое электрическое сопротивление или высокая электропроводность) обычно связаны с высокими кинетическими числами Рейнольдса (т. е. с очень малой вязкостью). Если кинематическая вязкость стремится к нулю одновременно с удельным сопротивлением и если плазма становится турбулентной (связанной с высокими числами Рейнольдса), то лагранжевы траектории перестанут быть уникальными. Обычный аргумент «наивного» замораживания потока, обсуждавшийся выше, в целом неприменим, и необходимо использовать стохастическое замораживание потока. ^[12]

Теорема стохастического замораживания потока для резистивной магнитогидродинамики обобщает обычное замораживание потока, обсуждавшееся выше. Эта обобщенная теорема утверждает, что силовые линии мелкозернистого магнитного поля B «вморожены» в стохастические траектории, решая следующее стохастическое дифференциальное уравнение , известное как уравнение Ланжевена :

${\displaystyle d{\bf {x}}={\bf {u}}({\bf {x}},t)dt+{\sqrt {2\eta }}d{\bf {W}}(t)}$

где η — коэффициент магнитной диффузии, а W — трехмерный гауссовский белый шум (см. также Винеровский процесс ). Многие «виртуальные» векторы поля, приходящие в одну и ту же конечную точку, должны быть усреднены, чтобы получить физическое магнитное поле в этой точке. . ^[13]

Смотрите также

• Альфвеновская волна
• Магнитное давление
• Магнитное напряжение

Заметки с пояснениями

1. В магнитогидродинамике (МГД) поле объемной скорости v представляет собой линейную комбинацию средних движений отдельных видов, взвешенных по соответствующей массе видов. Согласно теореме Альвена, магнитное поле может двигаться с этой объемной скоростью, но не обязательно со скоростью отдельных видов. Таким образом, теорема Альвена не гарантирует, что отдельные частицы внутри жидкости будут ограничены в движении вместе с магнитным полем, и токи могут течь перпендикулярно магнитному полю при условии, что объемная скорость соответствует скорости магнитного поля. ^{[ нужна цитата ]}

Рекомендации

1. Альфвен, Ханнес (1943). «О существовании электромагнитно-гидродинамических волн» (PDF) . Архив по математике, астрономии и физике . 29Б(2): 1–7.
2. Альфвен, Ханнес (1942). «Существование электромагнитно-гидродинамических волн». Природа . 150 (3805): 405. Бибкод : 1942Natur.150..405A. дои : 10.1038/150405d0. S2CID  4072220.
3. Альфвен, Х. (август 1976 г.). «О вмороженных силовых линиях и переподключении силовых линий». Журнал геофизических исследований . 81 (22): 4019–4021. Бибкод : 1976JGR....81.4019A. дои : 10.1029/JA081i022p04019.
4. Священник, Э. (2016). «МГД-структуры в трехмерном пересоединении». Магнитное пересоединение . Библиотека астрофизики и космических наук. Том. 427. стр. 101–142. дои : 10.1007/978-3-319-26432-5_3. ISBN 978-3-319-26430-1.
5. Священник, Эрик; Форбс, Терри (2000). Магнитное пересоединение: теория МГД и приложения (первое изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48179-1.
6. Блэкман, Эрик Дж. (1 марта 2013 г.). «О получении замораживания потока в магнитогидродинамике прямым дифференцированием». Европейский журнал физики . 34 (2): 489–494. arXiv : 1301.3562 . Бибкод : 2013EJPh...34..489B. дои : 10.1088/0143-0807/34/2/489. S2CID  119247916.
7. Лю, Лин-Сяо (2010). Элементарная физика космической плазмы (PDF) . Тайбэй: Airiti Press Inc., стр. 173–176. ISBN 978-9868270954. Проверено 12 января 2023 г.
8. Эйинк, Грегори Л.; Алуие, Хусейн (ноябрь 2006 г.). «Нарушение теоремы Альвена в потоках идеальной плазмы: необходимые условия и физические гипотезы». Физика D: Нелинейные явления . 223 (1): 82–92. arXiv : физика/0607073 . Бибкод : 2006PhyD..223...82E. doi :10.1016/j.physd.2006.08.009. S2CID  16529234.
9. Габбинс, Дэвид; Эрреро-Бервера, Эмилио, ред. (2007). Энциклопедия геомагнетизма и палеомагнетизма. Дордрехт: Спрингер. стр. 7–11. дои : 10.1007/978-1-4020-4423-6. ISBN 978-1-4020-3992-8.
10. Эйинк, Грегори; Алуие, Хусейн (2006). «Нарушение теоремы Альвена в потоках идеальной плазмы: необходимые условия и физические гипотезы». Физика D: Нелинейные явления . 223 (1): 82. arXiv : физика/0607073 . Бибкод : 2006PhyD..223...82E. doi :10.1016/j.physd.2006.08.009. S2CID  16529234.
11. Уилмот-Смит, Алабама; Священник, скорая помощь; Хоринг, Г. (2005). «Магнитная диффузия и движение силовых линий». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика . 99 (2): 177–197. Бибкод : 2005GApFD..99..177W. дои : 10.1080/03091920500044808. S2CID  51997635.
12. Эйинк, Грегори (2011). «Стохастическое замораживание потока и магнитное динамо». Физический обзор E . 83 (5): 056405. arXiv : 1008.4959 . Бибкод : 2011PhRvE..83e6405E. дои : 10.1103/PhysRevE.83.056405 . ПМИД  21728673.
13. Лалеску, Кристиан К.; Ши, И-Кан; Эйинк, Грегори; Дривас, Теодор Д.; Вишняк, Итан; Лазариан, Алекс (2015). «Пересоединение инерционного диапазона в магнитогидродинамической турбулентности и солнечном ветре». Письма о физических отзывах . 115 (2): 025001. arXiv : 1503.00509 . Бибкод : 2015PhRvL.115b5001L. doi : 10.1103/PhysRevLett.115.025001 . ПМИД  26207472.