Теорема Букингема π

Теорема в размерном анализе

Эдгар Бекингем около 1886 г.

В инженерии , прикладной математике и физике теорема Букингема π является ключевой теоремой размерного анализа . Она является формализацией метода Рэлея размерного анализа . В общих чертах теорема утверждает, что если существует физически осмысленное уравнение, включающее определенное число n физических переменных, то исходное уравнение можно переписать в терминах набора p  =  n  −  k безразмерных параметров π ₁ , π ₂ , ..., π _{p ,} построенных из исходных переменных, где k — число задействованных физических измерений; она получается как ранг конкретной матрицы .

Теорема предоставляет метод вычисления наборов безразмерных параметров из заданных переменных, или безразмерности , даже если вид уравнения пока неизвестен.

Теорема Бекингема π указывает на то, что справедливость законов физики не зависит от конкретной системы единиц . Утверждение этой теоремы заключается в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество , включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля — они обратно пропорциональны ). Если бы значения безразмерных комбинаций изменялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождеством, и теорема не была бы верна.

История

Хотя теорема π названа в честь Эдгара Бекингема , она была впервые доказана французским математиком Жозефом Бертраном в 1878 году. ^[1] Бертран рассмотрел только частные случаи задач из электродинамики и теплопроводности, но его статья содержит в отдельных терминах все основные идеи современного доказательства теоремы и ясно указывает на полезность теоремы для моделирования физических явлений. Методика использования теоремы («метод размерностей») стала широко известна благодаря работам Рэлея . Первое применение теоремы π в общем случае ^{[примечание 1]} к зависимости падения давления в трубе от управляющих параметров, вероятно, относится к 1892 году, ^[2] эвристическое доказательство с использованием разложений в ряды — к 1894 году. ^[3]

Формальное обобщение теоремы о π для случая произвольного числа величин было впервые дано А. Ваши  [fr] в 1892 году ^{[4] [5],} затем в 1911 году — по-видимому, независимо — А. Федерманом ^[6] и Д. Рябушинским [ ^7] и снова в 1914 году Бекингемом. ^[8] Именно в статье Бекингема было введено использование символа « » для безразмерных переменных (или параметров), и это является источником названия теоремы. ${\displaystyle \pi _{i}}$

Заявление

Более формально, число безразмерных членов, которые могут быть сформированы, равно нулю размерной матрицы и является рангом . Для экспериментальных целей различные системы, которые имеют одинаковое описание в терминах этих безразмерных чисел, эквивалентны. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

В математических терминах, если у нас есть физически осмысленное уравнение, например, где — любые физические переменные, и существует максимальное размерно независимое подмножество размера , ^{[примечание 2],} то приведенное выше уравнение можно переформулировать как где — безразмерные параметры, построенные из безразмерных уравнений — так называемых групп Пи — вида , где показатели степени — рациональные числа. (Их всегда можно считать целыми числами, переопределив как возведенные в степень, которая очищает все знаменатели.) Если в игре участвуют фундаментальные единицы, то . $${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,}$$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,}$$ ${\displaystyle \pi _{1},\ldots ,\pi _{p}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p=n-k}$ $${\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},}$$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p\geq n-\ell }$

Значение

Теорема Букингема π предоставляет метод вычисления наборов безразмерных параметров из заданных переменных, даже если форма уравнения остается неизвестной. Однако выбор безразмерных параметров не является уникальным; теорема Букингема предоставляет только способ генерации наборов безразмерных параметров и не указывает на наиболее «физически значимые».

Две системы, у которых эти параметры совпадают, называются подобными (как и в случае подобных треугольников , они отличаются только масштабом); они эквивалентны для целей уравнения, и экспериментатор, желающий определить вид уравнения, может выбрать наиболее удобный из них. Самое главное, теорема Бекингема описывает связь между числом переменных и фундаментальными размерностями.

Доказательство

Для простоты будем считать, что пространство фундаментальных и производных физических единиц образует векторное пространство над действительными числами , с фундаментальными единицами в качестве базисных векторов, и с умножением физических единиц в качестве операции «векторного сложения», и возведением в степень в качестве операции «скалярного умножения»: представьте размерную переменную как набор показателей, необходимых для фундаментальных единиц (со степенью, равной нулю, если конкретная фундаментальная единица отсутствует). Например, стандартная гравитация имеет единицы (длина по времени в квадрате), поэтому она представлена ​​как вектор относительно базиса фундаментальных единиц (длина, время). Мы также могли бы потребовать, чтобы показатели степеней фундаментальных единиц были рациональными числами, и соответствующим образом изменить доказательство, в этом случае показатели степеней в группах пи всегда можно взять как рациональные числа или даже целые числа. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathsf {L}}/{\mathsf {T}}^{2}={\mathsf {L}}^{1}{\mathsf {T}}^{-2}}$ ${\displaystyle (1,-2)}$

Изменение масштаба единиц

Предположим, что у нас есть величины , где единицы содержат длину, возведенную в степень . Если мы изначально измеряем длину в метрах, но затем переходим на сантиметры, то численное значение будет изменено на коэффициент . Любой физически значимый закон должен быть инвариантным относительно произвольного изменения масштаба каждой фундаментальной единицы; это тот факт, на котором основана теорема о числе пи. ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle 100^{c_{i}}}$

Формальное доказательство

При наличии системы размерных переменных в фундаментальных (базисных) измерениях размерная матрица — это матрица , строки которой соответствуют фундаментальным измерениям, а столбцы — размерностям переменных: th-й элемент (где и ) — это степень th-го фундаментального измерения в th-й переменной. Матрицу можно интерпретировать как принятие комбинации переменных величин и выдачу размерностей комбинации в терминах фундаментальных измерений. Таким образом, вектор (столбец), который получается в результате умножения, состоит из единиц в терминах фундаментальных независимых (базисных) единиц. ^{[примечание 3]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell \times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ell \times 1}$ $${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$ ${\displaystyle \ell }$

Если мы изменим масштаб фундаментальной единицы th на коэффициент , то изменяет масштаб на , где th элемент размерной матрицы. Чтобы преобразовать это в задачу линейной алгебры, мы берем логарифмы (основание не имеет значения), что дает что является действием на . Мы определяем физический закон как произвольную функцию, такую ​​что является допустимым набором значений для физической системы, когда . Далее мы требуем, чтобы она была инвариантной относительно этого действия. Следовательно, она сводится к функции . Остается только продемонстрировать изоморфизм между и , (логарифмическим) пространством групп пи . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$ ${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$

Мы строим матрицу , столбцы которой являются базисом для . Она говорит нам, как встроить в в качестве ядра . То есть, у нас есть точная последовательность ${\displaystyle n\times p}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ker {M}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

Транспонирование дает другую точную последовательность

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

Первая теорема об изоморфизме производит требуемый изоморфизм, который переводит смежный класс в . Это соответствует переписыванию кортежа в группы pi, происходящие из столбцов . ${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$ ${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$ ${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$ ${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$ ${\displaystyle K}$

Международная система единиц определяет семь основных единиц, которые являются ампер , кельвин , секунда , метр , килограмм , кандела и моль . Иногда бывает полезно ввести дополнительные основные единицы и методы для усовершенствования техники размерного анализа. (См. ориентационный анализ и ссылки. ^[9] )

Примеры

Скорость

Этот пример элементарный, но служит для демонстрации процедуры.

Предположим, что автомобиль едет со скоростью 100 км/ч. Сколько времени ему потребуется, чтобы проехать 200 км?

В этом вопросе рассматриваются размерные переменные: расстояние, время и скорость , и мы ищем некий закон вида Любые две из этих переменных размерно независимы, но три вместе взятые — нет. Таким образом, существует безразмерная величина. ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$ ${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$

Матрица размеров — это матрица, в которой строки соответствуют базисным измерениям , а столбцы — рассматриваемым измерениям , где последнее обозначает измерение скорости. Элементы матрицы соответствуют степеням, в которые должны быть возведены соответствующие измерения. Например, третий столбец утверждает, что представленный вектором-столбцом выражается в терминах базисных измерений, поскольку $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$ ${\displaystyle (1,-1),}$ ${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$ ${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$ ${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

Для безразмерной константы мы ищем векторы, такие, что произведение матрицы на вектор равно нулевому вектору. В линейной алгебре множество векторов с этим свойством известно как ядро ​​(или нулевое пространство) размерной матрицы. В этом конкретном случае ее ядро ​​одномерно. Размерная матрица, как записано выше, находится в приведенной ступенчатой ​​форме строк , поэтому можно считать ненулевой вектор ядра с точностью до мультипликативной константы: ${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$ ${\displaystyle M\mathbf {a} }$ ${\displaystyle [0,0].}$ $${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

Если бы размерная матрица не была уже редуцирована, можно было бы выполнить исключение Гаусса–Жордана на размерной матрице, чтобы легче определить ядро. Из этого следует, что безразмерная константа, заменяющая размерности соответствующими размерными переменными, может быть записана: $${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

Поскольку ядро ​​определено только с точностью до мультипликативной константы, указанная выше безразмерная константа, возведенная в любую произвольную степень, дает другую (эквивалентную) безразмерную константу.

Таким образом, размерный анализ дал общее уравнение, связывающее три физические переменные: или, обозначив нуль функции , которую можно записать в желаемой форме (которая, напомним, была ), как $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F,}$ $${\displaystyle \pi =C,}$$ ${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$ $${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

Фактическая связь между тремя переменными просто Другими словами, в этом случае имеет один физически значимый корень, и это единица. Тот факт, что подойдет только одно значение и что оно равно 1, не раскрывается техникой размерного анализа. ${\displaystyle d=vt.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$

Простой маятник

Мы хотим определить период малых колебаний в простом маятнике . Будем считать, что это функция длины, массы и ускорения силы тяжести на поверхности Земли , которая имеет размерность длины, деленной на время в квадрате. Модель имеет вид ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle g,}$ $${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

(Обратите внимание, что это записано как отношение, а не как функция: здесь не записано как функция от ) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$

Период, масса и длина независимы по размерности, но ускорение может быть выражено через время и длину, что означает, что четыре переменные, взятые вместе, не являются независимыми по размерности. Таким образом, нам нужен только безразмерный параметр, обозначаемый как , и модель может быть перевыражена как , где дается как для некоторых значений ${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$ ${\displaystyle \pi ,}$ $${\displaystyle F(\pi )=0,}$$ ${\displaystyle \pi }$ $${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

Размерности размерных величин следующие: $${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

Размерная матрица имеет вид: $${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(Строки соответствуют измерениям и , а столбцы — размерным переменным. Например, 4-й столбец указывает, что переменная имеет размерности ) ${\displaystyle t,m,}$ ${\displaystyle \ell ,}$ ${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$ ${\displaystyle (-2,0,1),}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$

Мы ищем вектор ядра, такой, что матричное произведение на дает нулевой вектор. Размерная матрица, как записано выше, находится в форме сокращенного ступенчатого ряда, поэтому можно считать вектор ядра в пределах мультипликативной константы: ${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [0,0,0].}$ $${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Если бы она уже не была уменьшена, можно было бы выполнить исключение Гаусса–Жордана на размерной матрице, чтобы легче определить ядро. Из этого следует, что безразмерную константу можно записать: В фундаментальных терминах: что безразмерно. Поскольку ядро ​​определено только с точностью до мультипликативной константы, если вышеуказанную безразмерную константу возвести в любую произвольную степень, это даст другую эквивалентную безразмерную константу. $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$ $${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$

В этом примере три из четырех размерных величин являются фундаментальными единицами, поэтому последняя (которая равна ) должна быть комбинацией предыдущей. Обратите внимание, что если бы (коэффициент ) был ненулевым, то не было бы возможности отменить значение; поэтому должно быть нулевым. Анализ размерностей позволил нам сделать вывод, что период маятника не является функцией его массы (В трехмерном пространстве степеней массы, времени и расстояния мы можем сказать, что вектор массы линейно независим от векторов трех других переменных. С точностью до масштабного коэффициента это единственный нетривиальный способ построения вектора безразмерного параметра.) ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$

Теперь модель можно выразить следующим образом: $${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

Тогда это подразумевает, что для некоторого нуля функции Если есть только один ноль, назовем его тогда Требуется больше физического понимания или эксперимента, чтобы показать, что действительно есть только один ноль и что константа на самом деле задается выражением ${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$ ${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

Для больших колебаний маятника анализ усложняется дополнительным безразмерным параметром — максимальным углом качания. Приведенный выше анализ является хорошим приближением, поскольку угол стремится к нулю .

Электроэнергия

Чтобы продемонстрировать применение теоремы π , рассмотрим потребление энергии мешалкой заданной формы. Мощность, P , в измерениях [M · L ² /T ³ ], является функцией плотности , ρ [ M/L ³ ], и вязкости перемешиваемой жидкости, μ [M/(L · T)], а также размера мешалки, заданного ее диаметром , D [ L], и угловой скоростью мешалки, n [1/T]. Таким образом, у нас есть всего n = 5 переменных, представляющих наш пример. Эти n = 5 переменных построены из k = 3 независимых измерений, например, длины: L ( единицы СИ : м ), времени: T ( с ) и массы: M ( кг ).

Согласно π -теореме, n = 5 переменных можно сократить на k = 3 измерения, чтобы сформировать p = n − k = 5 − 3 = 2 независимых безразмерных числа. Обычно эти величины выбираются как , обычно называемое числом Рейнольдса , которое описывает режим течения жидкости, и , число мощности , которое является безразмерным описанием мешалки. ${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$

Обратите внимание, что две безразмерные величины не являются уникальными и зависят от того, какая из n = 5 переменных выбрана в качестве k = 3 размерно независимых базисных переменных, которые в этом примере появляются в обеих безразмерных величинах. Число Рейнольдса и степенное число выпадают из приведенного выше анализа, если , n и D выбраны в качестве базисных переменных. Если вместо этого выбраны , n и D , число Рейнольдса восстанавливается, в то время как вторая безразмерная величина становится . Заметим, что является произведением числа Рейнольдса и степенного числа. ${\textstyle \rho }$ ${\textstyle \mu }$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$ ${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$

Другие примеры

Пример размерного анализа можно найти для случая механики тонкого, сплошного и параллельностороннего вращающегося диска. Имеется пять задействованных переменных, которые сводятся к двум безразмерным группам. Связь между ними может быть определена с помощью численного эксперимента, например, с использованием метода конечных элементов. ^[10]

Теорема также использовалась в других областях, помимо физики, например, в спортивной науке . ^[11]

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Взрывная волна
• Безразмерная величина
• Натуральные единицы
• Подобие (модель)
• Число Рейнольдса

Ссылки

Примечания

1. Когда при применении π -теоремы возникает произвольная функция безразмерных чисел.
2. Размерно независимый набор переменных — это такой набор, для которого единственными показателями, дающими безразмерную величину, являются . Это и есть понятие линейной независимости . ${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{k}^{a_{k}}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=\cdots =0}$
3. Если эти базисные единицы и если единицы для каждого , то так что, например, единицы в терминах этих базисных единиц Для конкретного примера предположим, что фундаментальными единицами являются метры и секунды и что существуют размерные переменные: По определению векторного сложения и скалярного умножения единиц, так что По определению безразмерные переменные — это те, чьи единицы — это , которые являются в точности векторами в Это можно проверить прямым вычислением: которое действительно безразмерно. Следовательно, если некоторые физические законы утверждают, что обязательно связаны (предположительно неизвестным) уравнением вида для некоторой (неизвестной) функции с (то есть кортеж обязательно является нулем ), то существует некоторая (также неизвестная) функция , которая зависит только от переменной, безразмерной переменной (или любой ненулевой рациональной степени , где ), такая, что выполняется (если используется вместо , то можно заменить на и снова выполняется). Таким образом, в терминах исходных переменных должно выполняться (в качестве альтернативы, если используется , например, то должно выполняться). Другими словами, теорема Бекингема о π подразумевает, что если так случится, что эта константа имеет ровно один ноль, назовем ее , то уравнение обязательно будет выполнено (теорема не дает информации о том, каким будет точное значение константы , и не гарантирует, что она имеет ровно один ноль). ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{\ell }}$ ${\displaystyle q_{j}=m_{1j}b_{1}+\cdots +m_{\ell j}b_{\ell }}$ ${\displaystyle 1\leq j\leq n}$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&\cdots &m_{1j}&\cdots &m_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\m_{\ell 1}&\cdots &m_{\ell j}&\cdots &m_{\ell n}\\\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle q_{1}}$ $${\displaystyle M\left(\left[1\ 0\ \cdots \ 0\right]^{\operatorname {T} }\right)={\begin{bmatrix}m_{11}\\\vdots \\m_{\ell 1}\\\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle b_{1}=m}$ ${\displaystyle b_{2}=s,}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle q_{1}=m/s^{2},q_{2}=1/m,q_{3}=s/m.}$ $${\displaystyle q_{1}=ms^{-2}=1m+(-2)s,\quad q_{2}=m^{-1}=(-1)m+0s,\quad {\text{and}}\quad q_{3}=m^{-1}s=(-1)m+1s,}$$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&m_{13}\\m_{21}&m_{22}&m_{23}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle m^{0}s^{0},}$ $${\displaystyle \ker M=\operatorname {span} \left\{[1,-1,2]^{\operatorname {T} }\right\}=\left\{\left(q_{1}-q_{2}+2q_{3}\right)^{s}:s\in \mathbb {Q} \right\}.}$$ $${\displaystyle q_{1}-q_{2}+2q_{3}=\left(ms^{-2}\right)^{1}+\left(m^{-1}\right)^{-1}+\left(sm^{-1}\right)^{2}=m^{1}s^{-2}+m^{1}+m^{-2}s^{2}=m^{1+1+(-2)}s^{-2+0+2}=m^{0}s^{0},}$$ ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3}}$ ${\displaystyle f\left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} (f)\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left(q_{1},q_{2},q_{3}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p=3-2=1}$ ${\displaystyle \pi _{1}:=q_{1}-q_{2}+2q_{3}=q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1},}$ ${\displaystyle 0\neq s\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F\left(\pi _{1}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{s}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {F}}(x):=F\left(x^{1/s}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\hat {\pi }}_{1}\right)=0}$ ${\displaystyle F\left(q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\right)=0}$ ${\displaystyle {\hat {\pi }}_{1}:=\pi _{1}^{1/2}={\sqrt {\pi _{1}}}}$ ${\displaystyle {\hat {F}}\left({\sqrt {q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}}}\right)=0}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}\in F^{-1}(0),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle q_{1}q_{3}^{2}/q_{2}=C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$

Цитаты

1. Бертран, Дж. (1878). «Sur l'homogénéité dans les Formulas de Physique». Комптес Рендус . 86 (15): 916–920.
2. Рэлей (1892). «К вопросу об устойчивости течения жидкостей». Philosophical Magazine . 34 (206): 59–70. doi :10.1080/14786449208620167.
3. Стратт, Джон Уильям (1896). Теория звука. Т. II (2-е изд.). Macmillan.
4. Цитаты из статьи Ваши с его формулировкой π–теоремы можно найти в: Macagno, EO (1971). «Историко-критический обзор размерного анализа». Журнал Института Франклина . 292 (6): 391–402. doi :10.1016/0016-0032(71)90160-8.
5. Де А. Мартинс, Роберто (1981). «Происхождение размерного анализа». Журнал Института Франклина . 311 (5): 331–337. doi :10.1016/0016-0032(81)90475-0.
6. Федерман, А. (1911). «О некоторых общих методах интеграции легких с частными производными первого порядка». Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики . 16 (1): 97–155.(Федерман А., О некоторых общих методах интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, Труды Санкт-Петербургского политехнического института. Секция техники, естествознания и математики)
7. Рябушинский, Д. (1911). «Метод переменных нулевого измерения и его применение в аэродинамике». Л'Аэрофил : 407–408.
8. Бекингем, 1914.
9. Шлик, Р.; Ле Сержент, Т. (2006). «Проверка моделей SCADE на правильность использования физических единиц». Безопасность, надежность и защита компьютеров . Конспект лекций по информатике. Том 4166. Берлин: Springer. С. 358–371. doi :10.1007/11875567_27. ISBN 978-3-540-45762-6.
10. Рэмси, Ангус. «Анализ размеров и численные эксперименты для вращающегося диска». Ramsay Maunder Associates . Получено 15 апреля 2017 г.
11. Блондо, Дж. (2020). «Влияние размера поля, размера ворот и количества игроков на среднее количество голов, забитых за игру в разновидностях футбола и хоккея: теорема Пи, примененная к командным видам спорта». Журнал количественного анализа в спорте . 17 (2): 145–154. doi :10.1515/jqas-2020-0009. S2CID  224929098.

Библиография

• Биркгофф, Гарретт (2015) [1960]. "4. Моделирование и размерный анализ §63 Теорема Пи". Гидродинамика (2-е изд.). Princeton University Press. стр. 93–. ISBN 978-1-4008-7777-5.
• Ханче-Олсен, Харальд (2004). «Пи-теорема Букингема» (PDF) . НТНУ . Проверено 9 апреля 2007 г.
• Харт, Джордж У. (1995). Многомерный анализ: алгебры и системы для науки и техники. Springer. ISBN 978-0-387-94417-3.
• Клайн, Стивен Дж. (1986). "2. Анализ размерностей и единицы измерения теоремы Пи". Теория подобия и аппроксимации. Springer. стр. 8–35. ISBN 978-0-387-16518-9.
• Хартке, Ян-Дэвид (2019). «О Π-теореме Бекингема». arXiv : 1912.08744 .
• Ван, Фредерик YM (1989). Математические модели и их анализ . Harper & Row. ISBN 978-0-06-046902-3.
• Vignaux, GA (1991). "Размерный анализ в моделировании данных" (PDF) . Университет Виктории в Веллингтоне . Получено 15 декабря 2005 г. .
• Шеппард, Майк (2008). «Систематический поиск выражений безразмерных констант с использованием базы данных физических констант NIST». Архивировано из оригинала 28.09.2012.
• Гиббингс, Дж. К. (2011). Анализ размерностей . Springer. ISBN 978-1-84996-316-9.
• Шуринг, Дитрих Дж. (1977). Масштабные модели в инженерии: основы и приложения . Pergamon Press, Оксфорд. ISBN 978-0080208602.

Первоисточники

• Ваши, А. (1892). «Сюр-ле-лоис де подобие в телосложении». Телеграфные Анналы . 19 : 25–28.
• Рябушинский, Д. (1911). «Метод переменных нулевого измерения и его применение в аэродинамике». Л'Аэрофил : 407–408.
• Бакингем, Э. (1914). «О физически подобных системах; иллюстрации использования размерных уравнений». Physical Review . 4 (4): 345–376. Bibcode :1914PhRv....4..345B. doi :10.1103/PhysRev.4.345. hdl : 10338.dmlcz/101743 .
• Бекингем, Э. (1915). «Принцип подобия». Nature . 96 (2406): 396–397. Bibcode :1915Natur..96..396B. doi :10.1038/096396d0. S2CID  3956628.
• Бакингем, Э. (1915). «Модельные эксперименты и формы эмпирических уравнений». Труды Американского общества инженеров-механиков . 37 : 263–296. doi :10.1115/1.4059754.
• Тейлор, сэр Г. (1950). «Формирование взрывной волны при очень интенсивном взрыве. I. Теоретическое обсуждение». Труды Королевского общества A. 201 ( 1065): 159–174. Bibcode : 1950RSPSA.201..159T. doi : 10.1098/rspa.1950.0049. S2CID  54070514.
• Тейлор, сэр Г. (1950). «Формирование взрывной волны при очень интенсивном взрыве. II. Атомный взрыв 1945 года». Труды Королевского общества A. 201 ( 1065): 175–186. Bibcode : 1950RSPSA.201..175T. doi : 10.1098/rspa.1950.0050 .

Внешние ссылки

• Некоторые обзоры и оригинальные источники по истории теоремы Пи и теории подобия (на русском языке)