В математической области метрической геометрии Михаил Громов доказал фундаментальную теорему компактности для последовательностей метрических пространств . В частном случае римановых многообразий ключевое предположение его теоремы компактности автоматически выполняется при предположении о кривизне Риччи . Эти теоремы широко использовались в областях геометрической теории групп и римановой геометрии .
Расстояние Громова–Хаусдорфа определяет понятие расстояния между любыми двумя метрическими пространствами , тем самым устанавливая концепцию последовательности метрических пространств, которая сходится к другому метрическому пространству. Это известно как сходимость Громова–Хаусдорфа . Громов нашел условие на последовательность компактных метрических пространств, которое гарантирует, что подпоследовательность сходится к некоторому метрическому пространству относительно расстояния Громова–Хаусдорфа: [1]
Пусть ( X i , d i ) — последовательность компактных метрических пространств с равномерно ограниченным диаметром. Предположим, что для каждого положительного числа ε существует натуральное число N и для каждого i множество X i может быть покрыто N метрическими шарами радиуса ε . Тогда последовательность ( X i , d i ) имеет подпоследовательность, которая сходится относительно расстояния Громова–Хаусдорфа.
Роль этой теоремы в теории сходимости Громова–Хаусдорфа можно рассматривать как аналогичную роли теоремы Арцела–Асколи в теории равномерной сходимости . [2] Громов впервые формально ввел ее в 1981 году в своем решении гипотезы Милнора–Вольфа в области геометрической теории групп , где он применил ее для определения асимптотического конуса некоторых метрических пространств. [3] Эти методы были позднее расширены Громовым и другими с использованием теории ультрафильтров . [4]
Специализируясь на задании геодезически полных римановых многообразий с фиксированной нижней границей кривизны Риччи , решающее условие покрытия в теореме Громова о метрической компактности автоматически выполняется как следствие теоремы Бишопа–Громова о сравнении объемов . Таким образом, следует, что: [5]
Рассмотрим последовательность замкнутых римановых многообразий с равномерной нижней границей кривизны Риччи и равномерной верхней границей диаметра. Тогда существует подпоследовательность, которая сходится относительно расстояния Громова–Хаусдорфа.
Предел сходящейся подпоследовательности может быть метрическим пространством без какой-либо гладкой или римановой структуры. [6] Этот особый случай теоремы о метрической компактности имеет важное значение в области римановой геометрии , поскольку он изолирует чисто метрические следствия нижних границ кривизны Риччи.
Источники.