Теорема Арцела–Асколи

О том, когда семейство действительных непрерывных функций имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность

Теорема Арцела –Асколи является фундаментальным результатом математического анализа, дающим необходимые и достаточные условия для решения вопроса, имеет ли каждая последовательность заданного семейства действительных -значных непрерывных функций, определенных на замкнутом и ограниченном интервале, равномерно сходящуюся подпоследовательность . Главным условием является равностепенная непрерывность семейства функций. Теорема является основой многих доказательств в математике, включая доказательство теоремы существования Пеано в теории обыкновенных дифференциальных уравнений , теоремы Монтеля в комплексном анализе и теоремы Петера–Вейля в гармоническом анализе , а также различных результатов, касающихся компактности интегральных операторов .

Понятие равностепенной непрерывности было введено в конце 19 века итальянскими математиками Чезаре Арцела и Джулио Асколи . Слабая форма теоремы была доказана Асколи (1883–1884), который установил достаточное условие компактности, и Арцела (1895), который установил необходимое условие и дал первое ясное представление результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906) для множеств действительнозначных непрерывных функций с областью определения компактное метрическое пространство (Dunford & Schwartz 1958, стр. 382). Современные формулировки теоремы допускают, что область определения является компактным Хаусдорфовым , а область значений — произвольным метрическим пространством. Существуют более общие формулировки теоремы, которые дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы семейство функций из компактно порожденного Хаусдорфова пространства в однородное пространство было компактным в компактно-открытой топологии ; см. Келли (1991, стр. 234).

Заявление и первые последствия

По определению последовательность непрерывных функций на интервале I = [ a , b ] равномерно ограничена , если существует число M такое, что ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leq M}$

для каждой функции f _{n ,} принадлежащей последовательности, и каждого x ∈ [ a , b ] . (Здесь M должно быть независимым от n и x .)  

Последовательность называется равномерно равностепенно непрерывной , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }$

всякий раз, когда | x − y | < δ  для всех функций f _n в последовательности. (Здесь δ может зависеть от ε , но не от x , y или n .)  

Одну из версий теоремы можно сформулировать следующим образом:

Рассмотрим последовательность действительных непрерывных функций {  f _n  } _{n ∈ N,} определенных на замкнутом и ограниченном интервале [ a , b ] действительной прямой . Если эта последовательность равномерно ограничена и равномерно равностепенно непрерывна , то существует подпоследовательность {  f _{n k}  } _{k ∈ N} , которая сходится равномерно .

Обратное также верно, в том смысле, что если каждая подпоследовательность {  f _n  } сама имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, то {  f _n  } равномерно ограничена и равностепенно непрерывна.

Доказательство

Доказательство по существу основано на аргументе диагонализации . Простейший случай — это действительнозначные функции на замкнутом и ограниченном интервале:

• Пусть I = [ a , b ] ⊂ R — замкнутый и ограниченный интервал. Если F — бесконечное множество функций f   : I → R , которое равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, то существует последовательность f _n элементов F такая, что f _n сходится равномерно на I . 

Зафиксируем перечисление { x _i } _{i ∈ N} рациональных чисел в I . Поскольку F равномерно ограничено, множество точек { f ( x ₁ )} _{f ∈ F} ограничено, и, следовательно, по теореме Больцано–Вейерштрасса существует последовательность { f _{n 1} } различных функций в F такая, что { f _{n 1} ( x ₁ )} сходится. Повторяя то же самое рассуждение для последовательности точек { f _{n 1} ( x ₂ )} , существует подпоследовательность { f _{n 2} } из { f _{n 1} } такая, что { f _{n 2} ( x ₂ )} сходится.

По индукции этот процесс можно продолжать вечно, и таким образом возникает цепочка подпоследовательностей

${\displaystyle \left\{f_{n_{1}}\right\}\supseteq \left\{f_{n_{2}}\right\}\supseteq \cdots }$

так что для каждого k = 1, 2, 3, ... подпоследовательность { f _{n k} } сходится в x ₁ , ..., x _k . Теперь сформируем диагональную подпоследовательность { f } , m - й член которой f _m является m -м членом в m -й подпоследовательности { f _{n m} } . По построению f _m сходится в каждой рациональной точке I .

Следовательно, если задано любое ε > 0 и рациональное x _k в I , то существует целое число N = N ( ε , x _k ) такое, что

${\displaystyle |f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|<{\tfrac {\varepsilon }{3}},\qquad n,m\geq N.}$

Поскольку семейство F равностепенно непрерывно, для этого фиксированного ε и для каждого x из I существует открытый интервал U _x, содержащий x, такой что

${\displaystyle |f(s)-f(t)|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$

для всех f  ∈  F и всех s ,  t из I таких, что s , t ∈ U _x .

Набор интервалов U _x , x  ∈ I , образует открытое покрытие I . Поскольку I замкнуто и ограничено, по теореме Гейне–Бореля I компактно , что подразумевает, что это покрытие допускает конечное подпокрытие U ₁ , ..., U _J . Существует целое число K такое , что каждый открытый интервал U _j , 1 ≤ j ≤ J , содержит рациональное число x _k с 1 ≤ k ≤ K . Наконец, для любого t  ∈  I существуют j и k такие, что t и x _k принадлежат одному и тому же интервалу U _j . Для этого выбора k ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|&\leq \left|f_{n}(t)-f_{n}(x_{k})\right|+|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|+|f_{m}(x_{k})-f_{m}(t)|\\&<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\end{aligned}}}$

для всех n , m > N = max{ N ( ε , x ₁ ), ..., N ( ε , x _K )}. Следовательно, последовательность { f _n } является равномерно Коши и, следовательно, сходится к непрерывной функции, как и утверждается. Это завершает доказательство.

Непосредственные примеры

Дифференцируемые функции

Условия теоремы удовлетворяются равномерно ограниченной последовательностью {  f _n  } дифференцируемых функций с равномерно ограниченными производными. Действительно , равномерная ограниченность производных влечет по теореме о среднем значении, что для всех x и y ,

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|,}$

где K — супремум производных функций в последовательности и не зависит от n . Итак, при ε > 0 пусть δ = ⁠ε/2 К⁠ для проверки определения равностепенной непрерывности последовательности. Это доказывает следующее следствие:

• Пусть { f _n } — равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных дифференцируемых функций на [ a , b ] такая, что производные { f _n ′} равномерно ограничены. Тогда существует подпоследовательность { f _{n k} } , которая сходится равномерно на [ a , b ] .

Если, кроме того, последовательность вторых производных также равномерно ограничена, то производные также сходятся равномерно (с точностью до подпоследовательности) и т. д. Другое обобщение справедливо для непрерывно дифференцируемых функций . Предположим, что функции f _n непрерывно дифференцируемы с производными f _n ′ . Предположим, что f _n ′ равномерно равностепенно непрерывны и равномерно ограничены, и что последовательность {  f _n  } поточечно ограничена (или ограничена только в одной точке). Тогда существует подпоследовательность {  f _n  } , равномерно сходящаяся к непрерывно дифференцируемой функции.  

Аргумент диагонализации можно также использовать для того, чтобы показать, что семейство бесконечно дифференцируемых функций, производные каждого порядка которых равномерно ограничены, имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность, все производные которой также равномерно сходятся. Это особенно важно в теории распределений.

Непрерывные функции Липшица и Гёльдера

Приведенный выше аргумент доказывает немного больше, а именно:

• Если {  f _n  } — равномерно ограниченная последовательность вещественных функций на [ a , b ] такая, что каждая f _n является липшицевой с той же константой Липшица K :

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|}$

для всех x , y ∈ [ a , b ] и всех f _n существует подпоследовательность, которая сходится равномерно на [ a , b ] .  

Предельная функция также является липшицевой с тем же значением K для константы Липшица. Небольшое уточнение:

• Множество F функций f на [ a , b ] , которое равномерно ограничено и удовлетворяет условию Гёльдера порядка α , 0 < α ≤ 1 , с фиксированной константой M ,  

${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|x-y|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]}$

относительно компактен в C([ a , b ]) . В частности, единичный шар пространства Гельдера C ^{0, α} ([ a , b ]) компактен в C([ a , b ]) .

Это справедливо в более общем случае для скалярных функций на компактном метрическом пространстве X, удовлетворяющих условию Гёльдера относительно метрики на X.

Обобщения

Евклидовы пространства

Теорема Арцела–Асколи верна, в более общем случае, если функции f _n принимают значения в d -мерном евклидовом пространстве R ^d , и доказательство очень простое: просто примените R -значную версию теоремы Арцела–Асколи d раз, чтобы извлечь подпоследовательность, которая сходится равномерно по первой координате, затем подподпоследовательность, которая сходится равномерно по первым двум координатам, и т. д. Приведенные выше примеры легко обобщаются на случай функций со значениями в евклидовом пространстве.  

Компактные метрические пространства и компактные хаусдорфовы пространства

Определения ограниченности и равностепенной непрерывности можно обобщить на случай произвольных компактных метрических пространств и, в более общем случае, компактных хаусдорфовых пространств . Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, а C ( X ) — пространство действительнозначных непрерывных функций на X . Подмножество F ⊂ C ( X ) называется равностепенно непрерывным, если для каждого x  ∈ X и каждого ε > 0 у x есть окрестность U _x такая, что

${\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon .}$

Множество F ⊂ C ( X , R ) называется поточечно ограниченным, если для каждого x  ∈ X ,

${\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .}$

Версия теоремы справедлива также в пространстве C ( X ) действительнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве X (Dunford & Schwartz 1958, §IV.6.7):

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство. Тогда подмножество F пространства C ( X ) относительно компактно в топологии, индуцированной равномерной нормой , тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно и поточечно ограничено.

Таким образом, теорема Арцела–Асколи является фундаментальным результатом в изучении алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве .

Возможны различные обобщения приведенного выше результата. Например, функции могут принимать значения в метрическом пространстве или (Хаусдорфовом) топологическом векторном пространстве с минимальными изменениями в утверждении (см., например, Kelley & Namioka (1982, §8), Kelley (1991, Глава 7)):

Пусть X — компактное хаусдорфово пространство, а Y — метрическое пространство. Тогда F ⊂ C ( X , Y ) компактно в компактно-открытой топологии тогда и только тогда, когда оно равностепенно непрерывно , поточечно относительно компактно и замкнуто.

Здесь точечно относительно компактный означает, что для каждого x  ∈  X множество F _x = {  f  ( x ) :   f   ∈ F } относительно компактно в Y .

В случае, когда Y является полным , доказательство, приведенное выше, может быть обобщено способом, который не опирается на отделимость области. Например, на компактном хаусдорфовом пространстве X равностепенная непрерывность используется для извлечения для каждого ε = 1/ n конечного открытого покрытия X такого, что колебание любой функции в семействе меньше ε на каждом открытом множестве в покрытии. Роль рациональных чисел тогда может играть набор точек, взятых из каждого открытого множества в каждом из счетного числа покрытий, полученных таким образом, и основная часть доказательства продолжается точно так же, как и выше. Аналогичное рассуждение используется как часть доказательства для общей версии, которая не предполагает полноты Y .

Функции на некомпактных пространствах

Теорема Арцела-Асколи обобщается на функции , где не является компактным. Особенно важны случаи, когда является топологическим векторным пространством . Напомним, что если является топологическим пространством и является равномерным пространством (таким как любое метрическое пространство или любая топологическая группа , метризуемая или нет), то существует топология компактной сходимости на множестве функций ; она настроена так, что последовательность (или, в более общем смысле, фильтр или сеть ) функций сходится тогда и только тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве . Пусть будет подпространством , состоящим из непрерывных функций, снабженным топологией компактной сходимости. Тогда одна из форм теоремы Арцела-Асколи выглядит следующим образом: ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$

Пусть — топологическое пространство, равномерное Хаусдорфово пространство и равностепенно непрерывное множество непрерывных функций, такое, что относительно компактно в для каждого . Тогда относительно компактно в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$ ${\displaystyle \{h(x):h\in H\}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$

Эта теорема немедленно дает более специализированные утверждения выше в случаях, когда является компактным и равномерная структура задается метрикой. Существует несколько других вариантов в терминах топологии предкомпактной сходимости или других связанных топологий на . Также возможно расширить утверждение на функции, которые непрерывны только при ограничении множествами покрытия компактными подмножествами. Подробности можно узнать в Bourbaki (1998), Глава X, § 2, № 5. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$

Ненепрерывные функции

Решения численных схем для параболических уравнений обычно кусочно-постоянны и, следовательно, не непрерывны во времени. Поскольку их скачки, тем не менее, имеют тенденцию становиться малыми по мере того, как шаг по времени приближается к , можно установить свойства равномерной во времени сходимости, используя обобщение на ненепрерывные функции классической теоремы Арцела–Асколи (см., например, Droniou & Eymard (2016, Приложение)). ${\displaystyle 0}$

Обозначим через пространство функций от до , наделенное равномерной метрикой ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).}$

Тогда имеем следующее:

Пусть будет компактным метрическим пространством и полным метрическим пространством. Пусть будет последовательность в такая, что существует функция и последовательность, удовлетворяющие ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle \omega :X\times X\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,}$

${\displaystyle \forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.}$

Предположим также, что для всех является относительно компактным в . Тогда является относительно компактным в , и любой предел в этом пространстве принадлежит . ${\displaystyle t\in X}$ ${\displaystyle \{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$

Необходимость

В то время как большинство формулировок теоремы Арцела–Асколи утверждают достаточные условия для того, чтобы семейство функций было (относительно) компактным в некоторой топологии, эти условия обычно также являются необходимыми. Например, если множество F компактно в C ( X ), банаховом пространстве действительнозначных непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве относительно его равномерной нормы, то оно ограничено в равномерной норме на C ( X ) и, в частности, поточечно ограничено. Пусть N ( ε , U ) — множество всех функций из F , осцилляция которых по открытому подмножеству U ⊂ X меньше ε :

${\displaystyle N(\varepsilon ,U)=\{f\mid \operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.}$

Для фиксированных x ∈ X и ε множества N ( ε , U ) образуют открытое покрытие F при изменении U по всем открытым окрестностям x . Выбор конечного подпокрытия тогда дает равностепенную непрерывность.

Дополнительные примеры

• Каждой функции g , которая является p -интегрируемой на [0, 1] , где 1 < p ≤ ∞ , сопоставим функцию G, определенную на [0, 1] формулой

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Пусть F — множество функций G, соответствующих функциям g в единичном шаре пространства L ^p ([0, 1]) . Если q — сопряжение Гельдера с p , определяемое как ⁠1/п⁠ + ⁠1/д⁠ = 1 , то неравенство Гёльдера подразумевает, что все функции из F удовлетворяют условию Гёльдера с α = ⁠1/д⁠ и константа М = 1 .

Отсюда следует, что F компактен в C ([0, 1]) . Это означает, что соответствие g → G определяет компактный линейный оператор T между банаховыми пространствами L ^p ([0, 1]) и C ([0, 1]) . Составляя с инъекцией C ([0, 1]) в L ^p ([0, 1]) , видим, что T действует компактно из L ^p ([0, 1]) в себя. Случай p = 2 можно рассматривать как простой пример того факта, что инъекция из пространства Соболева в L ² (Ω) для Ω — ограниченного открытого множества в R ^d , является компактной. ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

• Когда T — компактный линейный оператор из банахова пространства X в банахово пространство Y , его транспонированный оператор T ^∗ является компактным из (непрерывного) сопряженного Y ^∗ в X ^∗ . Это можно проверить с помощью теоремы Арцела–Асколи.

Действительно, образ T ( B ) замкнутого единичного шара B пространства X содержится в компактном подмножестве K пространства Y . Единичный шар B ^∗ пространства Y ^∗ определяет, ограничивая Y на K , множество F (линейных) непрерывных функций на K , которое ограничено и равностепенно непрерывно. По Арцела–Асколи, для каждой последовательности { y^∗
_н}, в B ^∗ существует подпоследовательность, которая сходится равномерно на K , и это означает, что образ этой подпоследовательности является образом Коши в X ^∗ . ${\displaystyle T^{*}(y_{n_{k}}^{*})}$

• Когда f голоморфна в открытом круге D ₁ = B ( z ₀ , r ) с модулем , ограниченным M , то (например, по формуле Коши ) ее производная f  ′ имеет модуль, ограниченный ⁠   2 М/г⁠ в меньшем диске D ₂ = B ( z ₀ , ⁠г/2⁠ ). Если семейство голоморфных функций на D ₁ ограничено M на D ₁ , то отсюда следует, что семейство F ограничений на D ₂ равностепенно непрерывно на D ₂ . Следовательно, можно извлечь последовательность, сходящуюся равномерно на D ₂ . Это первый шаг в направлении теоремы Монтеля .
• Пусть наделено равномерной метрикой Предположим, что является последовательностью решений некоторого частного дифференциального уравнения (ЧДУ), где ЧДУ обеспечивает следующие априорные оценки: является равностепенно непрерывным для всех , является равноплотным для всех и для всех достаточно мало , когда достаточно мало. Тогда по теореме Фреше–Колмогорова можно заключить, что является относительно компактным в . Следовательно, по (обобщению) теоремы Арцела–Асколи можно заключить, что является относительно компактным в ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ ${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.}$ ${\displaystyle u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (t,t')\in [0,T]\times [0,T]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}$ ${\displaystyle |t-t'|}$ ${\displaystyle \{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle \{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).}$

Смотрите также

• Теорема выбора Хелли
• Теорема Фреше–Колмогорова

Ссылки

• Арсела, Чезаре (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Аккад. наук. Ист. Болонья Кл. наук. Фис. Мат. , 5 (5): 55–74.
• Арсела, Чезаре (1882–1883), «Un'osservazione intorno alle serie di funzioni», Rend. Делл Аккад. Р. Делле Ски. dell'Istituto di Bologna : 142–159 ..
• Асколи, Г. (1883–1884), «Ограниченная кривая разнообразия данных кривой», Атти делла Р. Аккад. Dei Lincei Memorie della Cl. наук. Фис. Мат. Нат. , 18 (3): 521–586.
• Бурбаки, Николас (1998), Общая топология. Главы 5–10 , Элементы математики, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64563-4, г-н  1726872.
• Дьедонне, Жан (1988), Основы современного анализа , Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
• Droniou, Jérôme; Eymard, Robert (2016), "Равномерная во времени сходимость численных методов для нелинейных вырождающихся параболических уравнений", Numer. Math. , 132 (4): 721–766, arXiv : 2003.09067 , doi : 10.1007/s00211-015-0733-6, S2CID  5287603.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том 1 , Wiley-Interscience.
• Фреше, Морис (1906), «Sur quelques Points du Calcul Fonctionnel», Rend. Цирк. Мат. Палермо , 22 : 1–74, doi : 10.1007/BF03018603, hdl : 10338.dmlcz/100655, S2CID  123251660.
• Теорема Арцела-Асколи в Encyclopaedia of Mathematics
• Келли, Дж. Л. (1991), Общая топология , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1
• Келли, Дж. Л.; Намиока, И. (1982), Линейные топологические пространства , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8

В данной статье использованы материалы из теоремы Асколи–Арцела из PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .