Теорема Карно (термодинамика)

Максимально достижимый КПД любого теплового двигателя

В термодинамике теорема Карно , разработанная в 1824 году Николя Леонаром Сади Карно , также называемая правилом Карно , представляет собой принцип, определяющий пределы максимального КПД , который может получить любой тепловой двигатель .

Теорема Карно утверждает, что все тепловые двигатели, работающие между одними и теми же двумя тепловыми или тепловыми резервуарами, не могут иметь КПД , превышающий эффективность обратимой тепловой машины, работающей между теми же самыми резервуарами. Следствием этой теоремы является то, что каждая обратимая тепловая машина, работающая между парой тепловых резервуаров, одинаково эффективна, независимо от используемого рабочего вещества или деталей работы. Поскольку тепловая машина Карно также является обратимой машиной, то КПД всех обратимых тепловых машин определяется как КПД тепловой машины Карно, который зависит исключительно от температур ее горячего и холодного резервуаров.

Максимальный КПД (т. е. КПД тепловой машины Карно) тепловой машины, работающей между горячим и холодным резервуарами, обозначаемый как и соответственно, представляет собой отношение разности температур между резервуарами к температуре горячего резервуара, выраженное уравнением ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \eta _{\text{max}}={\frac {T_{\mathrm {H} }-T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}},}$

где и - абсолютные температуры горячего и холодного резервуаров соответственно, а КПД - это отношение работы, совершаемой двигателем (к окружающей среде ), к теплу, отведенному из горячего резервуара (к двигателю). ${\displaystyle T_{\mathrm {H} }}$ ${\displaystyle T_{\mathrm {C} }}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$ больше нуля тогда и только тогда, когда существует разница температур между двумя тепловыми резервуарами. Поскольку это верхний предел всех обратимых и необратимых кпд теплового двигателя, делается вывод, что работа от теплового двигателя может быть произведена тогда и только тогда, когда существует разница температур между двумя тепловыми резервуарами, подключаемыми к двигателю. ${\displaystyle \eta _{\text{max}}}$

Теорема Карно является следствием второго закона термодинамики . Исторически он был основан на современной теории теплорода и предшествовал установлению второго закона. ^[1]

Доказательство

Невозможная ситуация: тепловая машина не может привести в движение менее эффективную обратимую тепловую машину, не нарушив при этом второй закон термодинамики. Величины на этом рисунке представляют собой абсолютные значения передачи энергии (тепла и работы).

Доказательство теоремы Карно — это доказательство от противного или доведение до абсурда (метод доказательства утверждения путем предположения его ложности и логического вывода ложного или противоречивого утверждения из этого предположения), основанное на ситуации, подобной правой фигуре, где два нагреваются. двигатели с разным КПД работают между двумя тепловыми резервуарами при разной температуре. Относительно более горячий резервуар называется горячим резервуаром, а другой резервуар называется холодным резервуаром. Тепловая машина (не обязательно обратимая ) с более высоким КПД приводит в движение обратимую тепловую машину с меньшим КПД , заставляя последнюю действовать как тепловой насос . Требование реверсивности двигателя необходимо для объяснения работы и тепла , связанных с ним, с использованием его известного КПД. Однако, поскольку , чистый тепловой поток будет направлен назад, т. е. в горячий резервуар: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta _{_{L}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}>\eta _{_{L}}}$

${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{_{M}}}{\eta _{_{L}}}}Q=Q_{\text{h}}^{\text{in}},}$

где представляет собой тепло для поступления в объект, обозначенный нижним индексом, для вывода из объекта, обозначенного нижним индексом, и для горячего теплового резервуара. Если тепло течет из горячего резервуара, то оно имеет знак +, а если из горячего резервуара, то оно имеет знак -. Это выражение можно легко получить, используя определение эффективности теплового двигателя, где работа и тепло в этом выражении представляют собой чистые количества за цикл двигателя, а также сохранение энергии для каждого двигателя, как показано ниже. Используется соглашение о знаках работы , при котором знак + обозначает работу, совершаемую двигателем с окружающей средой. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\text{in}}}$ ${\displaystyle {\text{out}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$ ${\displaystyle Q_{\text{h}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle \eta =W/Q_{h}^{in}}$ ${\displaystyle W}$

Вышеприведенное выражение означает, что тепла в горячий резервуар от пары двигателей (можно рассматривать как один двигатель) больше, чем тепла в пару двигателей из горячего резервуара (т. е. горячий резервуар непрерывно получает энергию). Реверсивная тепловая машина с низким КПД передает больше тепла (энергии) горячему резервуару за определенное количество работы (энергии) для этого двигателя, когда он работает как тепловой насос. Все это означает, что тепло может передаваться из холодных мест в горячие без внешней работы, а такая передача тепла невозможна по второму началу термодинамики .

• Может показаться странным, что гипотетический реверсивный тепловой насос с низким КПД используется для нарушения второго закона термодинамики, но для холодильных агрегатов показателем качества является не КПД, а коэффициент полезного действия (КПД), ^[2] именно здесь он имеет знак, противоположный указанному выше (+ за работу, проделанную двигателем). ${\displaystyle W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$ ${\displaystyle Q_{\text{c}}^{\text{out}}/W}$ ${\displaystyle W}$

Давайте найдем значения работы и тепла, изображенные на рисунке справа, где обратимая тепловая машина с меньшим КПД приводится в движение как тепловой насос тепловой машиной с более высоким КПД . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta _{_{L}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta _{_{M}}}$

КПД определяется для каждого двигателя, и можно составить следующие выражения: ${\displaystyle \eta =W/Q_{\text{h}}^{\text{out}}}$

${\displaystyle \eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{\text{h}}^{{\text{out}},M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},}$

${\displaystyle \eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{h}^{{\text{out}},L}}}={\frac {-\eta _{M}Q}{-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.}$

Знаменатель второго выражения, , сделан для того, чтобы сделать выражение согласованным, и помогает заполнить значения работы и тепла для двигателя . ${\displaystyle Q_{h}^{{\text{out}},L}=-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}$ ${\displaystyle L}$

Для каждого двигателя абсолютное значение энергии, поступающей в двигатель, должно быть равно абсолютному значению энергии, выходящей из двигателя, . В противном случае энергия постоянно накапливается в двигателе или сохранение энергии нарушается из-за того, что от двигателя отбирается больше энергии, чем поступает в двигатель: ${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{in}}}$ ${\displaystyle E_{\text{abs}}^{\text{out}}}$

${\displaystyle E_{\text{M,abs}}^{\text{in}}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{M,abs}}^{\text{out}},}$

${\displaystyle E_{\text{L,abs}}^{\text{in}}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{L,abs}}^{\text{out}}.}$

Во втором выражении используется для нахождения члена , описывающего количество тепла, отнятого из холодного резервуара, дополняя абсолютные значения выражений работы и тепла на правом рисунке. ${\textstyle \left|Q_{h}^{{\text{out}},L}\right|=\left|-{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q\right|}$ ${\textstyle \eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)}$

Установив, что значения правых цифр верны, можно доказать теорему Карно для необратимых и обратимых тепловых двигателей, как показано ниже. ^[3]

Реверсивные двигатели

Чтобы увидеть, что каждый обратимый двигатель , работающий между резервуарами при температурах , должен иметь одинаковый КПД, предположим, что два обратимых тепловых двигателя имеют разный КПД, и позвольте относительно более эффективному двигателю управлять относительно менее эффективным двигателем в качестве теплового насоса. Как показано на рисунке справа, это приведет к переходу тепла от холодного резервуара к горячему без внешней работы, что нарушает второй закон термодинамики. Следовательно, обе (обратимые) тепловые машины имеют одинаковый КПД, и мы заключаем, что: ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Все обратимые тепловые двигатели, работающие между одними и теми же двумя тепловыми ( тепловыми ) резервуарами, имеют одинаковый КПД.

КПД обратимой тепловой машины можно определить, анализируя тепловую машину Карно как одну из обратимых тепловых машин.

Этот вывод является важным результатом, поскольку помогает установить теорему Клаузиуса , из которой следует, что изменение энтропии уникально для всех обратимых процессов: ^[4] ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \Delta S=\int _{a}^{b}{\frac {dQ_{\text{rev}}}{T}}}$

поскольку изменение энтропии, которое происходит при переходе от состояния термодинамического равновесия к состоянию в пространстве VT (объем-температура), одинаково на всех обратимых путях процесса между этими двумя состояниями. Если бы этот интеграл не был независимым от пути, то энтропия не была бы переменной состояния . ^[5] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Необратимые двигатели

Рассмотрим два двигателя и , которые являются необратимыми и обратимыми соответственно. Построим машину, показанную на рисунке справа, с приводом в качестве теплового насоса. Тогда, если более эффективен, чем , машина нарушит второй закон термодинамики. Поскольку тепловая машина Карно является обратимой тепловой машиной, а все обратимые тепловые машины работают с одинаковым КПД в одних и тех же резервуарах, мы имеем первую часть теоремы Карно: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$

Ни одна необратимая тепловая машина не является более эффективной, чем тепловая машина Карно, работающая между теми же двумя тепловыми резервуарами.

Определение термодинамической температуры

КПД теплового двигателя — это работа, совершаемая двигателем, деленная на тепло, поступившее в двигатель за цикл двигателя, или

где - работа, совершаемая двигателем, - тепло, поступающее в холодный резервуар от двигателя, и - тепло, поступающее к двигателю из горячего резервуара за цикл. Таким образом, эффективность зависит только от . ^[6] ${\displaystyle w_{cy}}$ ${\displaystyle q_{C}}$ ${\displaystyle q_{H}}$ ${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}}$

Поскольку все обратимые тепловые двигатели, работающие в разных температурах , должны иметь одинаковый КПД, КПД обратимого теплового двигателя является функцией только двух температур пласта: ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$

Кроме того, обратимая тепловая машина, работающая между температурами , должна иметь такой же КПД, как и машина, состоящая из двух циклов, один между и другой (промежуточной) температурой , а второй между и ( ). Это может быть только в том случае, если ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}<T_{2}<T_{3}}$

Специально для случая фиксированной эталонной температуры: температура тройной точки воды равна 273,16. (Конечно, можно использовать любую эталонную температуру и любое положительное числовое значение — выбор здесь соответствует шкале Кельвина .) Тогда для любого и , ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.}$

Следовательно, если термодинамическая температура определяется выражением

${\displaystyle T'=273.16\cdot f(T_{1},T),}$

тогда функция, рассматриваемая как функция термодинамической температуры, равна

${\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}'}{T_{2}'}}.}$

Отсюда сразу следует, что

Подстановка этого уравнения обратно в приведенное выше уравнение дает соотношение эффективности с точки зрения термодинамических температур: ${\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}$

Применимость к топливным элементам

Поскольку топливные элементы могут генерировать полезную энергию, когда все компоненты системы имеют одинаковую температуру ( ), они явно не ограничены теоремой Карно, которая утверждает, что никакая энергия не может генерироваться, когда . Это связано с тем, что теорема Карно применима к двигателям, преобразующим тепловую энергию в работу, тогда как топливные элементы вместо этого преобразуют химическую энергию в работу. ^[7] Тем не менее, второй закон термодинамики по-прежнему накладывает ограничения на преобразование энергии топливных элементов. ^[8] ${\displaystyle T=T_{H}=T_{C}}$ ${\displaystyle T_{H}=T_{C}}$

Батарея Карно — это тип системы хранения энергии, которая накапливает электроэнергию в накопителе тепла и преобразует накопленное тепло обратно в электричество посредством термодинамических циклов. ^[9]

Смотрите также

• Эффективность Чамбадала – Новикова
• Границы эффективности отопления и охлаждения

Рекомендации

1. Джон Мюррелл (2009). «Очень краткая история термодинамики» . Проверено 2 мая 2014 г.Архивная копия в Интернет-архиве  PDF (142, архивировано 22 ноября 2009 г., в базе знаний Wayback Machine )
2. Типлер, Пол; Моска, Г. (2008). «19,2, 19,7». Физика для ученых и инженеров (6-е изд.). Фримен. ISBN 9781429201322.
3. «Лекция 10: Теорема Карно» (PDF) . 7 февраля 2005 г. Проверено 5 октября 2010 г.
4. Оганян, Ганс (1994). Принципы физики . WW Norton and Co. p. 438. ИСБН 039395773X.
5. http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/ThermLaw2/ThermalProcesses.html. Архивировано 28 декабря 2013 г. на Wayback Machine и http://www.itp.phys.ethz.ch/education/. hs10/stat/slides/Laws_TD.pdf. Архивировано 13 декабря 2013 г. в Wayback Machine . Оба получены 13 декабря 2013 года.
6. Знак q _C > 0 для отходящего тепла, теряемого системой, нарушает соглашение о знаках тепла .
7. «Топливный элемент против эффективности Карно» . Проверено 20 февраля 2011 г.
8. Джейкоб, Калларакель Т; Джайн, Саураб (июль 2005 г.). Новое определение эффективности топливных элементов: пересмотр предела Карно. 1 квартал – Девятый международный симпозиум по твердооксидным топливным элементам (ТОТЭ IX). США. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 г. Проверено 23 апреля 2013 г.
9. Дюмон, Оливье; Фрерате, Гвидо Франческо; Пиллаи, Адитья; Лекомпт, Стивен; Де Папе, Мишель; Леморт, Винсент (2020). «Батарейная технология Карно: современный обзор». Журнал хранения энергии . 32 : 101756. doi : 10.1016/j.est.2020.101756. hdl : 2268/251473 . ISSN  2352-152Х. S2CID  225019981.