Теорема Нахбина

Теорема, ограничивающая скорость роста аналитических функций

В математике , в области комплексного анализа , теорема Нахбина (названная в честь Леопольдо Нахбина ) — это результат, используемый для установления границ темпов роста аналитических функций . В частности, теорема Нахбина может быть использована для определения области сходимости обобщенного преобразования Бореля , также называемого суммированием Нахбина .

В этой статье дается краткий обзор темпов роста, включая идею функции экспоненциального типа . Классификация темпов роста на основе типа помогает предоставить более тонкий инструмент, чем большое О или нотация Ландау , поскольку можно сформулировать ряд теорем об аналитической структуре ограниченной функции и ее интегральных преобразованиях .

Экспоненциальный тип

Функция, определенная на комплексной плоскости, называется функцией экспоненциального типа, если существуют константы и такие, что ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\alpha r}}$

в пределе . Здесь комплексная переменная была записана как , чтобы подчеркнуть, что предел должен быть выполнен во всех направлениях . Полагая для обозначения инфимума всех таких , тогда говорят, что функция имеет экспоненциальный тип . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$

Например, пусть . Тогда говорят, что имеет экспоненциальный тип , так как — наименьшее число, ограничивающее рост вдоль мнимой оси. Таким образом, для этого примера теорема Карлсона неприменима, так как она требует функций экспоненциального типа, меньших . ${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sin(\pi z)}$ ${\displaystyle \pi }$

Тип Ψ

Дополнительные типы функций могут быть определены для других ограничивающих функций, помимо экспоненциальной функции. В общем случае функция является функцией сравнения, если она имеет ряд ${\displaystyle \Psi (t)}$

${\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}$

с для всех , и ${\displaystyle \Psi _{n}>0}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Psi _{n+1}}{\Psi _{n}}}=0.}$

Функции сравнения обязательно являются целыми , что следует из теста отношения . Если есть такая функция сравнения, то говорят, что она имеет -тип, если существуют константы и такие, что ${\displaystyle \Psi (t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \left|f\left(re^{i\theta }\right)\right|\leq M\Psi (\tau r)}$

как . Если это инфимум всех таких, то говорят, что он имеет тип . ${\displaystyle r\to \infty }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$

Теорема Нахбина утверждает, что функция с рядом ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}z^{n}}$

имеет -тип тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}}}\right|^{1/n}=\tau .}$

Это естественным образом связано с проверкой корней и может считаться родственником теоремы Коши–Адамара .

Обобщенное преобразование Бореля

Теорема Нахбина имеет непосредственное применение в ситуациях, подобных теореме Коши , и для интегральных преобразований . Например, обобщенное преобразование Бореля задается как

${\displaystyle F(w)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{\Psi _{n}w^{n+1}}}.}$

Если имеет тип , то внешняя часть области сходимости и все ее особые точки содержатся внутри круга ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F(w)}$

${\displaystyle |w|\leq \tau .}$

Кроме того, есть

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }\Psi (zw)F(w)\,dw}$

где контур интегрирования γ охватывает круг . Это обобщает обычное преобразование Бореля для функций экспоненциального типа, где . Интегральная форма для обобщенного преобразования Бореля также следует. Пусть будет функцией, первая производная которой ограничена на интервале и которая удовлетворяет определяющему уравнению ${\displaystyle |w|\leq \tau }$ ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ ${\displaystyle \alpha (t)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Psi _{n}}}=\int _{0}^{\infty }t^{n}\,d\alpha (t)}$

где . Тогда интегральная форма обобщенного преобразования Бореля имеет вид ${\displaystyle d\alpha (t)=\alpha ^{\prime }(t)\,dt}$

${\displaystyle F(w)={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{w}}\right)\,d\alpha (t).}$

Обычное преобразование Бореля восстанавливается путем установки . Обратите внимание, что интегральная форма преобразования Бореля — это преобразование Лапласа . ${\displaystyle \alpha (t)=-e^{-t}}$

Нахбин суммирование

Суммирование Нахбина можно использовать для суммирования расходящихся рядов, которые не суммируются методом Бореля , например, для асимптотического решения интегральных уравнений вида:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)f(t)\,dt}$

где , может быть или не быть экспоненциальным типом, а ядро ​​имеет преобразование Меллина . Решение может быть получено с помощью суммирования Нахбина как с из и с преобразованием Меллина . Примером этого является ряд Грама ${\textstyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle g(s)}$ ${\displaystyle M(n)}$ ${\displaystyle K(u)}$ ${\displaystyle \pi (x)\approx 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log ^{n}(x)}{n\cdot n!\zeta (n+1)}}.}$

В некоторых случаях в качестве дополнительного условия мы требуем , чтобы значение было конечным и ненулевым для ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }K(t)t^{n}\,dt}$ ${\displaystyle n=0,1,2,3,....}$

Пространство Фреше

Совокупности функций экспоненциального типа могут образовывать полное равномерное пространство , а именно пространство Фреше , посредством топологии, индуцированной счетным семейством норм ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \|f\|_{n}=\sup _{z\in \mathbb {C} }\exp \left[-\left(\tau +{\frac {1}{n}}\right)|z|\right]|f(z)|.}$

Смотрите также

• Расходящиеся ряды
• суммирование Бореля
• суммирование Эйлера
• Подведение итогов по Чезаро
• суммирование Ламберта
• Суммирование Миттаг-Леффлера
• Принцип Фрагмена – Линделёфа
• Абелевы и тауберовы теоремы
• Трансформация Ван Вейнгаардена

Ссылки

• Л. Нахбин, «Расширение понятия интегральных функций конечного показательного типа», Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143–147.
• Ральф П. Боас-младший и Р. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций (второе исправленное издание) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263. (Содержит утверждение и доказательство теоремы Нахбина, а также общий обзор этой темы.)
• А.Ф. Леонтьев (2001) [1994], "Функция показательного типа", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• А.Ф. Леонтьев (2001) [1994], "Преобразование Бореля", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС