Теорема Коши–Адамара

Теорема, определяющая радиус сходимости степенного ряда.

В математике теорема Коши –Адамара — это результат комплексного анализа, названный в честь французских математиков Огюстена Луи Коши и Жака Адамара , описывающий радиус сходимости степенного ряда . Она была опубликована в 1821 году Коши, ^[1] но оставалась относительно неизвестной, пока Адамар не открыл ее заново. ^[2] Первая публикация Адамара этого результата была в 1888 году; ^[3] он также включил его в свою докторскую диссертацию 1892 года. ^[4]

Теорема для одной комплексной переменной

Рассмотрим формальный степенной ряд по одной комплексной переменной z вида , где $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$$ ${\displaystyle a,c_{n}\in \mathbb {C} .}$

Тогда радиус сходимости f в точке a определяется как , где lim sup обозначает предел выше , предел при n , стремящемся к бесконечности супремума значений последовательности после n -й позиции. Если значения последовательности неограниченны, так что lim sup равен ∞, то степенной ряд не сходится вблизи a , тогда как если lim sup равен 0, то радиус сходимости равен ∞, что означает, что ряд сходится на всей плоскости. ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }\left(|c_{n}|^{1/n}\right)}$$

Доказательство

Без потери общности предположим, что . Сначала покажем, что степенной ряд сходится при , а затем — что он расходится при . ${\displaystyle a=0}$ ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle |z|>R}$

Сначала предположим . Пусть не будет или Для любого существует только конечное число таких, что . Теперь для всех, кроме конечного числа , поэтому ряд сходится, если . Это доказывает первую часть. ${\displaystyle |z|<R}$ ${\displaystyle t=1/R}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pm \infty .}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\varepsilon }$ ${\displaystyle |c_{n}|\leq (t+\varepsilon )^{n}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}c_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle |z|<1/(t+\varepsilon )}$

Наоборот, для , для бесконечного числа , поэтому если , то мы видим, что ряд не может сходиться, поскольку его n- й член не стремится к 0. ^[5] ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle |c_{n}|\geq (t-\varepsilon )^{n}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle |z|=1/(t-\varepsilon )>R}$

Теорема для нескольких комплексных переменных

Пусть будет n -мерным вектором натуральных чисел ( ) с , тогда сходится с радиусом сходимости с тогда и только тогда, когда к многомерному степенному ряду ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle ||\alpha ||=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \rho =(\rho _{1},\cdots ,\rho _{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \rho ^{\alpha }=\rho _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \rho _{n}^{\alpha _{n}}}$ $${\displaystyle \limsup _{||\alpha ||\to \infty }{\sqrt[{||\alpha ||}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1}$$ $${\displaystyle \sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}}$$

Доказательство

Из ^[6]

Установите , затем ${\displaystyle z=a+t\rho }$ ${\displaystyle (z_{i}=a_{i}+t\rho _{i})}$

${\displaystyle \sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }=\sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }\rho ^{\alpha }t^{||\alpha ||}=\sum _{\mu \geq 0}\left(\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }\right)t^{\mu }}$

Это степенной ряд с одной переменной , который сходится при и расходится при . Следовательно, по теореме Коши-Адамара для одной переменной ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |t|<1}$ ${\displaystyle |t|>1}$

${\displaystyle \limsup _{\mu \to \infty }{\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1}$

Установка дает нам оценку ${\displaystyle |c_{m}|\rho ^{m}=\max _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}$

${\displaystyle |c_{m}|\rho ^{m}\leq \sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }\leq (\mu +1)^{n}|c_{m}|\rho ^{m}}$

Потому что как ${\displaystyle {\sqrt[{\mu }]{(\mu +1)^{n}}}\to 1}$ ${\displaystyle \mu \to \infty }$

${\displaystyle {\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\leq {\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}\leq {\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\implies {\sqrt[{\mu }]{\sum _{||\alpha ||=\mu }|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}={\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}\qquad (\mu \to \infty )}$

Поэтому

${\displaystyle \limsup _{||\alpha ||\to \infty }{\sqrt[{||\alpha ||}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=\limsup _{\mu \to \infty }{\sqrt[{\mu }]{|c_{m}|\rho ^{m}}}=1}$

Примечания

1. Коши, AL (1821), Анализ алгебры.
2. Боттаццини, Умберто (1986), Высшее исчисление: История действительного и комплексного анализа от Эйлера до Вейерштрасса, Springer-Verlag, стр. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Перевод с итальянского Уоррена Ван Эгмонда.
3. Адамар, Ж. , "Sur le rayon de Convergence des séries ordonnées suivant les puissance d'unevariable", CR Acad. наук. Париж , 106 : 259–262..
4. Адамар, Дж. (1892), "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 ^e Série, VIII. Также в «Тезисах, представленных на факультете естественных наук Парижа для получения степени доктора математических наук» , Париж: Готье-Вилларс и дети, 1892.
5. Ланг, Серж (2002), Комплексный анализ: четвертое издание , Springer, стр. 55–56, ISBN 0-387-98592-1Тексты для аспирантов по математике
6. Шабат, Б. В. (1992), Введение в комплексный анализ Часть II. Функции многих переменных , Американское математическое общество, стр. 32–33, ISBN 978-0821819753

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Коши-Адамара". MathWorld .