В математике теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна некоторому полю множеств . Теорема имеет основополагающее значение для более глубокого понимания булевой алгебры , возникшей в первой половине 20-го века. Теорема была впервые доказана Маршаллом Х. Стоуном . [1] Стоун пришел к ней , изучая спектральную теорию операторов в гильбертовом пространстве .
Каждая булева алгебра B имеет связанное топологическое пространство , обозначаемое здесь S ( B ), называемое ее пространством Стоуна . Точки в S ( B ) являются ультрафильтрами на B , или, что эквивалентно, гомоморфизмами из B в двухэлементную булеву алгебру . Топология на S ( B ) порождается базисом, состоящим из всех множеств вида , где b является элементом B . Эти множества также замкнуты и, следовательно , являются открыто-замкнутыми (как замкнутыми, так и открытыми). Это топология поточечной сходимости сетей гомоморфизмов в двухэлементную булеву алгебру.
Для каждой булевой алгебры B , S ( B ) является компактным полностью несвязным хаусдорфовым пространством ; такие пространства называются пространствами Стоуна (также проконечными пространствами ). Обратно, для любого топологического пространства X совокупность подмножеств X , которые являются открыто-замкнутыми, является булевой алгеброй.
Простая версия теоремы Стоуна о представлении утверждает, что каждая булева алгебра B изоморфна алгебре открыто-замкнутых подмножеств своего пространства Стоуна S ( B ). Изоморфизм отправляет элемент в множество всех ультрафильтров, содержащих b . Это открыто-замкнутое множество из-за выбора топологии на S ( B ) и потому, что B является булевой алгеброй.
Переформулируем теорему на языке теории категорий ; теорема утверждает, что существует двойственность между категорией булевых алгебр и категорией пространств Стоуна. Эта двойственность означает, что в дополнение к соответствию между булевыми алгебрами и их пространствами Стоуна, каждый гомоморфизм из булевой алгебры A в булеву алгебру B естественным образом соответствует непрерывной функции из S ( B ) в S ( A ). Другими словами, существует контравариантный функтор , который задает эквивалентность между категориями. Это был ранний пример нетривиальной двойственности категорий.
Теорема является частным случаем двойственности Стоуна , более общей структуры для двойственностей между топологическими пространствами и частично упорядоченными множествами .
Доказательство требует либо аксиому выбора , либо ее ослабленную форму. В частности, теорема эквивалентна теореме о простом идеале Буля , ослабленному принципу выбора, который утверждает, что каждая булева алгебра имеет простой идеал.
Расширение классической двойственности Стоуна на категорию булевых пространств (то есть нульмерных локально компактных хаусдорфовых пространств) и непрерывных отображений (соответственно, совершенных отображений) было получено Г. Д. Димовым (соответственно, Х. П. Доктором). [2] [3]
