Теорема расширения Титце

Непрерывные отображения на замкнутом подмножестве нормального пространства могут быть расширены

Павел Урысон

В топологии теорема Титце о расширении (также известная как теорема Титце – Урысона – Брауэра или лемма Урысона–Брауэра ^[1] ) утверждает, что любая действительнозначная непрерывная функция на замкнутом подмножестве нормального топологического пространства может быть расширена на все пространство, сохраняя при необходимости ограниченность .

Официальное заявление

Если — нормальное пространство и — непрерывное отображение замкнутого подмножества в действительные числа, несущее стандартную топологию , то существует непрерывное расширение до , то есть существует отображение, непрерывное на всех из с для всех Более того, может быть выбрано таким образом, что , то есть если ограничено , то может быть выбрано ограниченным (с той же границей, что и ). ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X;}$ $${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(a)=f(a)}$ ${\displaystyle a\in A.}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \sup\{|f(a)|:a\in A\}~=~\sup\{|F(x)|:x\in X\},}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

Доказательство

Функция строится итеративно. Во-первых, мы определяем Заметим, что и являются замкнутыми и непересекающимися подмножествами . Взяв линейную комбинацию функции, полученной из доказательства леммы Урысона , существует непрерывная функция такая, что и, кроме того, на . В частности, отсюда следует, что на . Теперь мы используем индукцию для построения последовательности непрерывных функций такой, что Мы показали, что это справедливо для , и предположим, что были построены. Определим и повторим приведенное выше рассуждение, заменив на и заменив на . Затем мы находим, что существует непрерывная функция такая, что По индуктивному предположению, следовательно, мы получаем требуемые тождества, и индукция завершена. Теперь мы определяем непрерывную функцию как Учитывая , Следовательно, последовательность является последовательностью Коши . Поскольку пространство непрерывных функций на вместе с нормой sup является полным метрическим пространством , отсюда следует, что существует непрерывная функция такая, что равномерно сходится к . Поскольку на , то следует, что на . Наконец, мы замечаем, что следовательно ограничено и имеет ту же границу, что и . ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=\sup\{|f(a)|:a\in A\}\\E_{0}&=\{a\in A:f(a)\geq c_{0}/3\}\\F_{0}&=\{a\in A:f(a)\leq -c_{0}/3\}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g_{0}:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{0}&={\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}E_{0}\\g_{0}&=-{\frac {c_{0}}{3}}{\text{ on }}F_{0}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle -{\frac {c_{0}}{3}}\leq g_{0}\leq {\frac {c_{0}}{3}}}$$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{0}|&\leq {\frac {c_{0}}{3}}\\|f-g_{0}|&\leq {\frac {2c_{0}}{3}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (g_{n})_{n=0}^{\infty }}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2^{n+1}c_{0}}{3^{n+1}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle g_{0},...,g_{n-1}}$ $${\displaystyle c_{n-1}=\sup\{|f(a)-g_{0}(a)-...-g_{n-1}(a)|:a\in A\}}$$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle c_{n-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-g_{0}-...-g_{n-1}}$ ${\displaystyle g_{n}:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|g_{n}|&\leq {\frac {c_{n-1}}{3}}\\|f-g_{0}-...-g_{n}|&\leq {\frac {2c_{n-1}}{3}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle c_{n-1}\leq 2^{n}c_{0}/3^{n}}$ ${\displaystyle F_{n}:X\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle F_{n}=g_{0}+...+g_{n}.}$$ ${\displaystyle n\geq m}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|F_{n}-F_{m}|&=|g_{m+1}+...+g_{n}|\\&\leq \left(\left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}+...+\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}\right){\frac {c_{0}}{3}}\\&\leq \left({\frac {2}{3}}\right)^{m+1}c_{0}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (F_{n})_{n=0}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle |f-F_{n}|\leq {\frac {2^{n}c_{0}}{3^{n+1}}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F=f}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle |F_{n}|\leq \sum _{n=0}^{\infty }|g_{n}|\leq c_{0}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \square }$

История

LEJ Brouwer и Henri Lebesgue доказали частный случай теоремы, когда — конечномерное действительное векторное пространство . Генрих Титце распространил ее на все метрические пространства , а Павел Урысон доказал теорему, как она сформулирована здесь, для нормальных топологических пространств. ^{[2] [3]} ${\displaystyle X}$

Эквивалентные утверждения

Эта теорема эквивалентна лемме Урысона (которая также эквивалентна нормальности пространства) и широко применима, поскольку все метрические пространства и все компактные хаусдорфовы пространства нормальны. Ее можно обобщить, заменив на для некоторого индексного множества любой ретракт или любой нормальный абсолютный ретракт вообще. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{J}}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{J},}$

Вариации

Если — метрическое пространство, непустое подмножество и — непрерывная по Липшицу функция с константой Липшица , то ее можно расширить до непрерывной по Липшицу функции с той же константой. Эта теорема справедлива и для непрерывных по Гёльдеру функций , то есть если — непрерывная по Гёльдеру функция с константой, меньшей или равной, то ее можно расширить до непрерывной по Гёльдеру функции с той же константой. ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$

Другой вариант (фактически обобщение) теоремы Титце принадлежит Х. Тонгу и З. Эркану: ^[5] Пусть — замкнутое подмножество нормального топологического пространства Если — полунепрерывная сверху функция, полунепрерывная снизу функция и непрерывная функция такие, что для каждого и для каждого , то существует непрерывное расширение такое , что для каждого Эта теорема также верна с некоторой дополнительной гипотезой, если заменяется общим локально сплошным пространством Рисса . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h:A\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(a)\leq h(a)\leq g(a)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle H:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(x)\leq H(x)\leq g(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Дугунджи (1951) расширяет теорему следующим образом: если — метрическое пространство, — локально выпуклое топологическое векторное пространство , — замкнутое подмножество и — непрерывно, то его можно расширить до непрерывной функции, определенной на всех из . Более того, расширение можно выбрать таким образом, что ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to Y}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(X)\subseteq {\text{conv}}f(A)}$

Смотрите также

• Теорема Блумберга  – Любая действительная функция на R допускает непрерывное ограничение на плотное подмножество R
• Теорема Хана–Банаха  – Теорема о расширении ограниченных линейных функционалов
• Теорема Уитни о расширении  – Частичное обращение теоремы Тейлора

Ссылки

1. "Лемма Урысона-Брауэра", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. "Лемма Урысона-Брауэра", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
3. Урысон, Пол (1925), «Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen», Mathematische Annalen , 94 (1): 262–295, doi : 10.1007/BF01208659, hdl : 10338.dmlcz/101038.
4. МакШейн, Э. Дж. (1 декабря 1934 г.). «Расширение области действия функций». Бюллетень Американского математического общества . 40 (12): 837–843. doi : 10.1090/S0002-9904-1934-05978-0 .
5. Zafer, Ercan (1997). "Расширение и разделение векторнозначных функций" (PDF) . Turkish Journal of Mathematics . 21 (4): 423–430.

• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Титце о расширении». Из MathWorld
• Доказательство системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
• Бонан, Эдмон (1971), «Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 272 : 714–717.