Теорема фон Штаудта–Клаузена

Определяет дробную часть чисел Бернулли

В теории чисел теорема фон Штаудта–Клаузена — результат, определяющий дробную часть чисел Бернулли , найденный независимо Карлом фон Штаудтом  (1840) и Томасом Клаузеном  (1840).

В частности, если n — положительное целое число и мы прибавляем 1/ p к числу Бернулли B _{2 n} для каждого простого числа p такого, что p − 1 делит 2 n , то мы получаем целое число; то есть,

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .}$

Этот факт сразу позволяет нам охарактеризовать знаменатели ненулевых чисел Бернулли B _{2 n} как произведение всех простых чисел p таких, что p − 1 делит 2 n ; следовательно, знаменатели не содержат квадратов и делятся на 6.

Эти знаменатели:

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (последовательность A002445 в OEIS ).

Последовательность целых чисел : ${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, -6, 56, -528, 6193, -86579, 1425518, -27298230, ... (последовательность A000146 в OEIS ).

Доказательство

Доказательство теоремы фон Штаудта–Клаузена следует из явной формулы для чисел Бернулли, которая имеет вид:

${\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {1}{j+1}}\sum _{m=0}^{j}{(-1)^{m}{j \choose m}m^{2n}}}$

и как следствие:

${\displaystyle B_{2n}=\sum _{j=0}^{2n}{\frac {j!}{j+1}}(-1)^{j}S(2n,j)}$

где S ( n , j ) — числа Стирлинга второго рода .

Кроме того, необходимы следующие леммы:

Пусть p — простое число; тогда

1. Если p – 1 делит 2 n , то

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv {-1}{\pmod {p}}.}$

2. Если p – 1 не делит 2 n , то

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}{(-1)^{m}{p-1 \choose m}m^{2n}}\equiv 0{\pmod {p}}.}$

Доказательство (1) и (2) : Из малой теоремы Ферма следует ,

${\displaystyle m^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

для m = 1, 2, ..., p – 1 .

Если p – 1 делит 2 n , то имеем

${\displaystyle m^{2n}\equiv 1{\pmod {p}}}$

для m = 1, 2, ..., p – 1. После этого имеем

${\displaystyle \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=1}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}{\pmod {p}},}$

откуда (1) следует немедленно.

Если p – 1 не делит 2 n , то по теореме Ферма имеем

${\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-(p-1)}{\pmod {p}}.}$

Если положить ℘ = ⌊ 2 n / ( p – 1) ⌋ , то после итерации получим

${\displaystyle m^{2n}\equiv m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}}$

для m = 1, 2, ..., p – 1 и 0 < 2 n – ℘( p – 1) < p – 1 .

После этого, один имеет

${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n}\equiv \sum _{m=0}^{p-1}(-1)^{m}{\binom {p-1}{m}}m^{2n-\wp (p-1)}{\pmod {p}}.}$

Лемма (2) теперь следует из вышесказанного и того факта, что S ( n , j ) = 0 при j > n .

(3) Легко вывести, что при a > 2 и b > 2 ab делит ( ab – 1)! .

(4) Числа Стерлинга второго рода являются целыми числами .

Теперь мы готовы доказать теорему.

Если j + 1 является составным и j > 3 , то из (3) следует , что j + 1 делит j ! .

Для j = 3 ,

${\displaystyle \sum _{m=0}^{3}(-1)^{m}{\binom {3}{m}}m^{2n}=3\cdot 2^{2n}-3^{2n}-3\equiv 0{\pmod {4}}.}$

Если j + 1 — простое число, то мы используем (1) и (2) , а если j + 1 — составное число, то мы используем (3) и (4), чтобы вывести

${\displaystyle B_{2n}=I_{n}-\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}},}$

где I _n — целое число, по желанию. ^{[1] [2]}

Смотрите также

• Конгруэнтность Куммера

Ссылки

1. Х. Радемахер, Аналитическая теория чисел, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1973.
2. Т. М. Апостол, Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag, 1976.

• Клаузен, Томас (1840), «Теорема», Astronomische Nachrichten , 17 (22): 351–352, doi : 10.1002/asna.18400172204
• Радо, Р. (1934), «Новое доказательство теоремы В. Штаудта», J. London Math. Soc. , 9 (2): 85–88, doi :10.1112/jlms/s1-9.2.85
• фон Штаудт, Ч. (1840), «Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 21 : 372–374, ISSN  0075-4102, ERAM  021.0672cj

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема фон Штаудта-Клаузена». Математический мир .