Теорему можно применить к сложному (самопересекающемуся) четырехугольнику.
В планарной геометрии теорема Ван Аубеля описывает соотношение между квадратами, построенными на сторонах четырехугольника . Начиная с заданного выпуклого четырехугольника, постройте квадрат , внешний по отношению к четырехугольнику, на каждой стороне. Теорема Ван Аубеля утверждает, что два отрезка между центрами противоположных квадратов имеют одинаковую длину и находятся под прямым углом друг к другу. Другой способ сказать то же самое — это то, что центральные точки четырех квадратов образуют вершины равнодиагонального ортодиагонального четырехугольника . Теорема названа в честь бельгийского математика Хенрикуса Хубертуса (Анри) Ван Аубеля (1830–1906), который опубликовал ее в 1878 году. [1]
Теорема верна также для входящих четырехугольников, [2] и когда квадраты построены внутри данного четырехугольника. [3] Для сложных (самопересекающихся) четырехугольников внешние и внутренние конструкции для квадратов не определяются. В этом случае теорема верна, когда конструкции выполняются более общим способом: [3]
проследите вершины четырехугольника в последовательном направлении и постройте каждый квадрат с правой стороны каждой стороны данного четырехугольника.
Проследите вершины четырехугольника в том же последовательном направлении и постройте каждый квадрат с левой стороны каждой стороны данного четырехугольника.
Отрезки, соединяющие центры квадратов, построенных снаружи (или изнутри) четырехугольника по двум противоположным сторонам, называются отрезками Ван Обеля . Точки пересечения двух равных и ортогональных отрезков Ван Обеля (полученные при необходимости) называются точками Ван Обеля : [3] первая или внешняя точка Ван Обеля для внешнего построения, вторая или внутренняя точка Ван Обеля для внутреннего.
Конфигурация теоремы Ван Обеля имеет ряд важных особенностей, среди которых:
Точки Ван Обеля являются центрами двух описанных квадратов четырехугольника. [4]
Точки Ван Обеля, середины диагоналей четырехугольника и середины отрезков Ван Обеля лежат на одной окружности. [3]
Несколько расширений теоремы, рассматривающих подобные прямоугольники, подобные ромбы и подобные параллелограммы, построенные на сторонах данного четырехугольника, были опубликованы в The Mathematical Gazette . [5] [6]
^ Ван Обель, Х. (1878), «Примечание, касающееся les center de carrés construits sur les côtés d'un multigon quelconque», Nouvelle Correspondance Mathématique (на французском языке), 4 : 40–44.
^ Коксетер, Х. С. М. и Грейтцер, Сэмюэл Л. 1967. Возвращение к геометрии , стр. 52.
^ abcd D. Pellegrinetti: «Шестиконечная окружность для четырехугольника». International Journal of Geometry , Vol. 8 (октябрь 2019 г.), № 2, стр. 5–13.
^ Ch. van Tienhoven, D. Pellegrinetti: «Геометрия четырехугольника: описанные квадраты и точки Ван Обеля». Журнал геометрии и графики , т. 25 (июль 2021 г.), № 1, стр. 53–59.
^ М. де Вильерс: «Двойственные обобщения теоремы Ван Аубеля». The Mathematical Gazette , том 82 (ноябрь 1998 г.), стр. 405-412.
^ JR Silvester: «Расширения теоремы Ван Аубеля». The Mathematical Gazette , том 90 (март 2006 г.), стр. 2–12.
Внешние ссылки
Викискладе есть медиафайлы, связанные с теоремой Ван Обеля .
