Теорема о теннисной ракетке

Твердое тело с тремя различными осями инерции неустойчиво при вращении вокруг средней оси.

Главные оси теннисной ракетки.

Композитное видео вращения теннисной ракетки вокруг трех осей – средняя переворачивается со светлого края на темный край

Титульный лист книги "Новая теория ротации корпусов", печать 1852 года.

Теорема о теннисной ракетке или теорема о промежуточной оси — кинетическое явление классической механики , описывающее движение твёрдого тела с тремя различными главными моментами инерции . Его также называют эффектом Джанибекова , в честь советского космонавта Владимира Джанибекова , который заметил одно из логических следствий теоремы, находясь в космосе в 1985 году. ^[1] Эффект был известен по крайней мере за 150 лет до этого, будучи описанным Луи Пуансо в 1834 году ^{[2] [3]} и включенным в стандартные учебники физики, такие как «Классическая механика» Герберта Гольдштейна на протяжении всего 20-го века.

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта вокруг его первой и третьей главных осей является устойчивым, тогда как вращение вокруг его второй главной оси (или промежуточной оси) — нет.

Это можно продемонстрировать с помощью следующего эксперимента: возьмите теннисную ракетку за ручку, при этом ее лицевая сторона должна быть горизонтальной, и подбросьте ее в воздух так, чтобы она совершила полный оборот вокруг своей горизонтальной оси, перпендикулярной ручке (ê ₂ на схеме), а затем поймайте ручку. Почти во всех случаях во время этого вращения лицевая сторона также совершит полуоборот, так что другая грань теперь будет вверху. Напротив, легко бросить ракетку так, чтобы она вращалась вокруг оси ручки (ê ₁ ) без сопутствующего полуоборота вокруг другой оси; также возможно заставить ее вращаться вокруг вертикальной оси, перпендикулярной ручке (ê ₃ ) без какого-либо сопутствующего полуоборота.

Эксперимент можно провести с любым объектом, имеющим три различных момента инерции, например, с книгой, пультом дистанционного управления или смартфоном. Эффект возникает всякий раз, когда ось вращения лишь немного отличается от второй главной оси объекта; сопротивление воздуха или гравитация не являются необходимыми. ^[4]

Теория

Демонстрация эффекта Джанибекова в условиях микрогравитации , НАСА .

Теорему о теннисной ракетке можно качественно проанализировать с помощью уравнений Эйлера . В условиях отсутствия крутящего момента они принимают следующий вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$$

Здесь обозначают главные моменты инерции объекта, и мы предполагаем . Угловые скорости вокруг трех главных осей объекта равны , а их производные по времени обозначаются . ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$

Устойчивое вращение вокруг первой и третьей главных осей

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции . Для определения характера равновесия предположим малые начальные угловые скорости вдоль двух других осей. В результате, согласно уравнению (1), очень мало. Поэтому зависимостью от времени можно пренебречь. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$

Теперь, дифференцируя уравнение (2) и подставляя из уравнения (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}$$

потому что и . ${\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}$ ${\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}$

Обратите внимание, что , является противоположным, поэтому вращение вокруг этой оси является устойчивым для объекта. ${\displaystyle \omega _{2}}$

Аналогичные рассуждения показывают, что вращение вокруг оси с моментом инерции также устойчиво. ${\displaystyle I_{3}}$

Неустойчивое вращение вокруг второй главной оси

Теперь применим тот же анализ к оси с моментом инерции Это время очень мало. Поэтому зависимостью от времени можно пренебречь. ${\displaystyle I_{2}.}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}}$

Теперь, дифференцируя уравнение (1) и подставляя из уравнения (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что не противостоит (и, следовательно, будет расти), и поэтому вращение вокруг второй оси нестабильно . Поэтому даже небольшое возмущение в виде очень малого начального значения или заставляет объект «переворачиваться». ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$

Матричный анализ

Если объект в основном вращается вокруг своей третьей оси, так что , мы можем предположить, что не сильно меняется, и записать уравнения движения в виде матричное уравнение: которое имеет нулевой след и положительный определитель , подразумевая, что движение представляет собой устойчивое вращение вокруг начала координат — нейтральной точки равновесия. Аналогично, точка является нейтральной точкой равновесия, но является седловой точкой. ${\displaystyle |\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\omega _{1},0,0)}$ ${\displaystyle (0,\omega _{2},0)}$

Геометрический анализ

Визуализация неустойчивости промежуточной оси. Величина момента импульса и кинетическая энергия вращающегося объекта сохраняются. В результате вектор угловой скорости остается на пересечении двух эллипсоидов. Здесь желтый эллипсоид является эллипсоидом момента импульса, а расширяющийся синий эллипсоид является эллипсоидом энергии.

Во время движения энергия и квадрат момента импульса сохраняются, таким образом, мы имеем две сохраняющиеся величины: и поэтому для любого начального условия траектория должна оставаться на кривой пересечения двух эллипсоидов, определяемой выражением Это показано на анимации слева. $${\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}}$$

Рассматривая уравнения Эйлера, мы видим, что подразумевает, что два компонента равны нулю, то есть объект вращается точно вокруг одной из главных осей. Во всех других ситуациях должен оставаться в движении. ${\displaystyle \omega (t)=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$

По уравнениям Эйлера, если является решением, то таковым является и для любой константы . В частности, движение тела в свободном пространстве (полученное путем интегрирования ) точно такое же , просто завершается быстрее в соотношении . ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle c\omega (ct)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c\omega (ct)dt}$ ${\displaystyle c}$

Следовательно, мы можем проанализировать геометрию движения с фиксированным значением , и варьировать на фиксированном эллипсоиде постоянного квадрата углового момента. При изменении изменяется и значение — таким образом, давая нам изменяющийся эллипсоид постоянной энергии. Это показано на анимации как фиксированный оранжевый эллипсоид и увеличивающийся синий эллипсоид. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle 2E}$

Для конкретности рассмотрим , тогда главные оси эллипсоида углового момента находятся в соотношении , а главные оси эллипсоида энергии находятся в соотношении . Таким образом, эллипсоид углового момента является и более плоским, и более острым, как видно на анимации. В общем случае эллипсоид углового момента всегда более «преувеличен», чем эллипсоид энергии. ${\displaystyle I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3}$ ${\displaystyle 1:1/2:1/3}$ ${\displaystyle 1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}}$

Теперь впишем на фиксированный эллипсоид его кривые пересечения с эллипсоидом , при увеличении от нуля до бесконечности. Мы можем видеть, что кривые развиваются следующим образом: ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle 2E}$ ${\displaystyle 2E}$

Все кривые пересечения эллипсоида момента импульса с эллипсоидом энергии (не показаны).

• При малой энергии пересечения нет, поскольку нам нужен минимум энергии, чтобы оставаться на эллипсоиде углового момента.
• Эллипсоид энергии впервые пересекает эллипсоид импульса, когда , в точках . Это происходит, когда тело вращается вокруг своей оси с наибольшим моментом инерции. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{3}}$ ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$
• Они пересекаются в двух циклах вокруг точек . Поскольку каждый цикл не содержит точки, в которой , движение должно быть периодическим движением вокруг каждого цикла. ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Они пересекаются на двух "диагональных" кривых, которые пересекаются в точках , когда . Если начать где-нибудь на диагональных кривых, то он приблизится к одной из точек, расстояние экспоненциально уменьшается, но никогда не достигнет точки. Другими словами, у нас есть 4 гетероклинические орбиты между двумя седловыми точками. ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$ ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{2}}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Они пересекаются в двух циклах вокруг точек . Поскольку каждый цикл не содержит точки, в которой , движение должно быть периодическим движением вокруг каждого цикла. ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Эллипсоид энергии в последний раз пересекает эллипсоид импульса, когда , в точках . Это происходит, когда тело вращается вокруг своей оси с наименьшим моментом инерции. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{1}}$ ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$

Эффект теннисной ракетки возникает, когда находится очень близко к седловой точке. Тело задерживается около седловой точки, затем быстро перемещается к другой седловой точке, около , снова задерживается на долгое время и т. д. Движение повторяется с периодом . ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle T}$

Весь вышеприведенный анализ выполнен с точки зрения наблюдателя, который вращается вместе с телом. Наблюдатель, наблюдающий за движением тела в свободном пространстве, увидел бы, что вектор его углового момента сохраняется, в то время как вектор его угловой скорости и момент инерции претерпевают сложные движения в пространстве. В начале наблюдатель увидел бы, что оба они в основном выровнены со второй главной осью . Через некоторое время тело совершает сложное движение и в итоге оказывается в , и снова оба в основном выровнены со второй главной осью . ${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle {\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle I(T/2)}$

Следовательно, есть две возможности: либо вторая главная ось твердого тела находится в том же направлении, либо она имеет противоположное направление. Если она все еще находится в том же направлении, то рассматриваемые в системе отсчета твердого тела также в основном находятся в том же направлении. Однако мы только что это видели и находимся вблизи противоположных седловых точек . Противоречие. ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$

Итак, качественно вот что наблюдатель, наблюдающий в свободном пространстве, мог бы наблюдать:

• Тело некоторое время вращается вокруг своей второй большой оси.
• Тело быстро совершает сложное движение, пока его вторая главная ось не изменит направление на противоположное.
• Тело снова вращается вокруг своей второй большой оси некоторое время. Повторить.

Это можно легко увидеть на видеодемонстрации в условиях микрогравитации.

С рассеиванием

Когда тело не совсем жесткое, но может изгибаться и сгибаться или содержать жидкость, которая плещется вокруг, оно может рассеивать энергию через свои внутренние степени свободы. В этом случае тело все еще имеет постоянный угловой момент, но его энергия будет уменьшаться, пока не достигнет минимальной точки. Как геометрически проанализировано выше, это происходит, когда угловая скорость тела точно совпадает с его осью максимального момента инерции.

Это произошло с Explorer 1 , первым спутником, запущенным Соединенными Штатами в 1958 году. Удлиненный корпус космического корабля был спроектирован так, чтобы вращаться вокруг своей длинной (наименее инерционной ) оси, но отказался это делать и вместо этого начал прецессировать из-за рассеивания энергии гибкими структурными элементами.

В общем, небесные тела, большие или малые, сходятся к постоянному вращению вокруг своей оси максимального момента инерции. Всякий раз, когда небесное тело находится в сложном вращательном состоянии, это либо из-за недавнего удара или приливного взаимодействия, либо является фрагментом недавно разрушенного прародителя. ^[5]

Смотрите также

• Углы Эйлера  – Описание ориентации твердого тела
• Момент инерции  – скалярная мера вращательной инерции относительно фиксированной оси вращения.
• Эллипсоид Пуансо  – Геометрический метод визуализации вращающегося твердого тела
• Полоде  – кривая, образованная вектором угловой скорости на эллипсоиде инерции

Ссылки

1. Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 июля 2009 г. (на русском языке) . Программу можно скачать здесь
2. Пуансо (1834) Новая теория вращения корпуса, Башелье, Париж
3. Дерек Мюллер (19 сентября 2019 г.). Странное поведение вращающихся тел, объясненное. Veritasium . Получено 16 февраля 2020 г. .
4. Леви, Марк (2014). Классическая механика с вариационным исчислением и оптимальным управлением: интуитивное введение. Американское математическое общество. С. 151–152. ISBN 9781470414443.
5. Эфроимский, Майкл (март 2002 г.). «Эйлер, Якоби и миссии к кометам и астероидам». Advances in Space Research . 29 (5): 725–734. arXiv : astro-ph/0112054 . Bibcode : 2002AdSpR..29..725E. doi : 10.1016/S0273-1177(02)00017-0. S2CID  1110286.

Внешние ссылки

• Дэн Рассел (5 марта 2010 г.). «Замедленная демонстрация эффекта Джанибекова с ракетками для настольного тенниса» . Получено 2 февраля 2017 г. – через YouTube.
• западловский (16 июня 2010 г.). «Демонстрация эффекта Джанибекова» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube.на Международной космической станции «Мир»
• Вячеслав Мезенцев (7 сентября 2011 г.). «Эффект Джанибекова, смоделированный в Mathcad 14» . Проверено 2 февраля 2017 г. - через YouTube.
• Луи Пуансо , Новая теория вращения корпусов, Париж, Башелье, 1834, 170 стр. OCLC  457954839: исторически первое математическое описание этого эффекта.
• «Эллипсоиды и странное поведение вращающихся тел». YouTube . 24 июля 2020 г.- наглядное видеообъяснение от Мэтта Паркера
• «Эффект Джанибекова» — упражнение в механике или вымысел? Объясните математически видео с космической станции, [1]
• Странное поведение вращающихся тел, Veritasium [2]