Теорема об исчерпывании

Теорема алгебраической топологии

В алгебраической топологии , разделе математики , теорема об вырезании является теоремой об относительной гомологии и одной из аксиом Эйленберга–Стинрода . Если задано топологическое пространство и подпространства и такое, что является также подпространством , теорема утверждает, что при определенных обстоятельствах мы можем вырезать ( вырезать ) из обоих пространств так, что относительные гомологии пар в будут изоморфны. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$ ${\displaystyle (X,A)}$

Это помогает в вычислении сингулярных групп гомологии , поскольку иногда после вырезания соответствующим образом выбранного подпространства мы получаем что-то более простое для вычисления.

Теорема

Заявление

Если они такие, как указано выше, мы говорим, что их можно вырезать, если отображение включения пары в индуцирует изоморфизм на относительных гомологиях: ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X\setminus U,A\setminus U)}$ ${\displaystyle (X,A)}$

${\displaystyle H_{n}(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_{n}(X,A)}$

Теорема утверждает, что если замыкание содержится внутри , то его можно вырезать. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U}$

Зачастую подпространства, не удовлетворяющие этому критерию включения, все равно могут быть вырезаны — достаточно уметь находить деформационный ретракт подпространств на подпространства, удовлетворяющие этому критерию.

Эскиз доказательства

Доказательство теоремы об вырезании довольно интуитивно понятно, хотя детали довольно сложны. Идея состоит в том, чтобы подразделить симплексы в относительном цикле на , чтобы получить другую цепочку, состоящую из «меньших» симплексов (это можно сделать с помощью барицентрического подразделения ^[1] ), и продолжать процесс до тех пор, пока каждый симплекс в цепи не окажется полностью внутри или внутри . Поскольку они образуют открытое покрытие для , а симплексы компактны , мы в конечном итоге можем сделать это за конечное число шагов. Этот процесс оставляет исходный гомологический класс цепи неизменным (это говорит о том, что оператор подразделения цепочечно гомотопен тождественному отображению на гомологии). В относительной гомологии , таким образом, это говорит о том, что все члены, содержащиеся полностью внутри , могут быть отброшены без влияния на гомологический класс цикла. Это позволяет нам показать, что отображение включения является изоморфизмом, поскольку каждый относительный цикл эквивалентен тому, который полностью избегает . ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}(X,A)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Приложения

Аксиомы Эйленберга–Стинрода

Теорема об вырезании считается одной из аксиом Эйленберга–Стинрода .

Последовательности Майера–Виеториса

Последовательность Майера–Виеториса может быть получена с помощью комбинации теоремы об вырезании и длинной точной последовательности. ^[2]

Теорема о приостановке для гомологии

Теорема об отсечении может быть использована для вывода теоремы о приостановке для гомологии, которая гласит, что для всех , где есть приостановка . [ ^3] ${\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(X)\cong {\tilde {H}}_{n+1}(SX)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$

Инвариантность размерности

Если непустые открытые множества и гомеоморфны, то m = n . Это следует из теоремы об вырезании, длинной точной последовательности для пары и того факта, что деформация стягивается на сферу. В частности, не гомеоморфно , если . ^[4] ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}-x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\neq n}$

Смотрите также

• Теорема об иссечение гомотопии

Ссылки

1. См. Хэтчер 2002, стр. 119.
2. См., например, Хэтчер 2002, стр. 149.
3. См., например, Хэтчер 2002, стр. 132.
4. См. Хэтчер 2002, стр. 135.

Библиография

• Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag, ISBN  0-387-96678-1
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Кембридж, 2002.